摘 要：圓的知識(shí)點(diǎn)是初中數(shù)學(xué)圖形知識(shí)的一個(gè)重要組成部分，在中考中占據(jù)很大的比重。在研究考查內(nèi)容中發(fā)現(xiàn)，習(xí)題中對于圓的“隱”性考查較為頻繁，但是由于學(xué)生難以充分地挖掘出隱含條件，以至在解答問題時(shí)困難重重。針對這一問題，本文將分析在考試中出現(xiàn)的各種“隱”圓問題，并論述其特點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：“隱”圓;初中數(shù)學(xué);教學(xué)策略

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-9192（2021）06-0056-02

引? 言

在初中數(shù)學(xué)考試中，圓知識(shí)點(diǎn)一直是重點(diǎn)考查的內(nèi)容，且考查的方式也在不斷變化，對學(xué)生學(xué)習(xí)能力有更高的要求，其中最為重要、考查力度大的是“隱”圓問題。該類問題的難點(diǎn)是如何快速破解題意，找到圓。因此，如何讀取問題，挖掘條件，將圓化“隱”為“顯”，是主要的解題方向，也是教師教學(xué)的重點(diǎn)。

一、借助圓的定義，構(gòu)造輔助圓

例1：已知?ABC，在?ABC外一點(diǎn)D，使得AB=AC=AD，其中∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，求∠CAD的度數(shù)。

簡析：通過已知條件發(fā)現(xiàn)：AB=AC=AD，所以構(gòu)造一個(gè)以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓，其中點(diǎn)B、C、D都在圓上，如圖1所示。在圓A中，根據(jù)圓周角定理：在同圓中，同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍，所以∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，又因?yàn)椤螩BD=2∠BDC，所以∠CBD=∠BAC=44°，所以∠CAD=88°.

評析：在這類題中主要是根據(jù)圓的定義“到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合是圓”構(gòu)造隱圓，從而將直線形中的角度問題轉(zhuǎn)化為圓形的角度問題，即根據(jù)圓周角定理來進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)化。

二、借助同斜邊的直角三角形，構(gòu)造輔助圓

例2：如圖2所示，在中Rt?ABC，∠ABC=90°， ∠ACB=30°，在Rt?ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=45°， 若BD=8，則AB為多少？

簡析：因?yàn)椤螦BC=90°，∠ADC=90°，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓。如圖3所示，以AC為直徑作圓，則∠ABD=∠ACD=45°，∠ADB=∠ACB=30°。如圖4所示，作DE⊥BA延長線，垂足為點(diǎn)E，在DE上取點(diǎn)F，使得DF=AF，在Rt?ADE中，∠ABD=45°，BD=8，可得BE=DE=，∠ADF =∠BDE-∠ADB=45°-30° =15°。因?yàn)锳F=DF，則∠FAD=∠ADF=15°，所以∠AFE=30°。設(shè)AE=x，則AF=DF=2x，EF=x，所以DE=x+2x=，解得x=-，所以AB=BE-AE=.

評析：本題通過同斜邊的直角三角形頂點(diǎn)共圓來構(gòu)造輔助圓，運(yùn)用“在圓內(nèi)，直徑所對的圓周角為直角;如果圓周角為直角，那么它所對的弦是直徑”來構(gòu)造輔助圓，然后利用圓周角定理，進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，使已知角和線段集中在同一個(gè)三角形中，再通過構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用方程思想列等式解題。本題也可以用“一組對角互補(bǔ)的四邊形頂點(diǎn)共圓”構(gòu)造輔助圓。

三、借助圓的半徑相等，構(gòu)造輔助圓

例3：如圖5所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，3），在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得?AOP是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P共有多少個(gè)？

簡析：由于本題等腰三角形的腰與底邊不確定，所以需要分情況討論。如圖6所示，第一種情況：OP=AP。這種情況只需做OA的中垂線即可，中垂線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2即為所求的點(diǎn)。

如圖7所示，第二種情況：OA=AP。以A為圓心， OA長為半徑構(gòu)造圓，圓與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)P3、P4即為所求的點(diǎn)。

第三種情況：OA=OP。依然采用作圓的方式，以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作圓，圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)P5、P6、P7、P8即為所求的點(diǎn)。綜上所述，P點(diǎn)共有8個(gè)。

評析：在這類題中主要根據(jù)“圓半徑相等”構(gòu)造隱圓，利用“兩圓一中垂線”尋找與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，從而確定等腰三角形的個(gè)數(shù)。

四、借助定弦定角，構(gòu)造輔助圓

例4：已知在等邊三角形ABC中，AB=4，點(diǎn)D、E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且BD=CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，求CP的最小值。

簡析：因?yàn)?ABC為等邊三角形，所以AB=BC， ∠C=∠ABD=60°，又因?yàn)锽D=CE，所以?ADB≌?BEC.

又因?yàn)椤螦PE=∠BAD+∠ABE，所以∠APE= ∠CBE +∠ABE=∠ABC=60°，又因?yàn)椤螧AD= ∠CBE， 所以∠APB=120°.

因?yàn)锳B定長，∠APB=120°定角，滿足“定弦定角”模型，如圖8所示，易得∠AOB=120°，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡就是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧AB，所以當(dāng)O、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，CP取得最小值.

在等腰三角形OAB中，AB=4，∠AOB=120°，易得OB=，在Rt?OBC中，∠BOC=60°，易得OC=，所以CP=OC-OP=.

評析：∠APB始終為120°，再有定線段AB，直接就由“定弦定角”構(gòu)造隱圓。本題CP的最小值問題則轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓之間的最值問題[1]。

五、解題能力的培養(yǎng)

通過對上述四類問題的解析發(fā)現(xiàn)，“隱”圓問題考查的范圍較廣，但是在構(gòu)造圓的過程中，所運(yùn)用的都是圓的性質(zhì)與定義。因此，在平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的隱圓解題能力。第一，幫助學(xué)生建立常見的隱圓模型，把握住條件中的固定形式，熟悉隱圓模型，有利于學(xué)生形成幾何直觀能力，快速構(gòu)造隱圓[2];第二，加強(qiáng)圓基礎(chǔ)知識(shí)的關(guān)聯(lián)特性，抓住圓的性質(zhì)、定理等內(nèi)容，用整體性教學(xué)法尋找圓與直線形幾何的關(guān)聯(lián)性;第三，鍛煉學(xué)生用多種方法解題的習(xí)慣，使其注重積累。以上三點(diǎn)教學(xué)建議，是加強(qiáng)教學(xué)的重要手段，能幫助學(xué)生在面對“隱”圓問題時(shí)，快速地找到解題的方法[3]。

結(jié)? 語

隱圓問題的類型還有很多，文中所列的隱圓類型是?？碱愋?。上述四類問題，從表面上看似乎與圓無關(guān)，但如果學(xué)生能深入挖掘題目中的隱含條件，善于聯(lián)想所學(xué)定理，巧妙地構(gòu)造符合題意特征的輔助圓，再利用圓的有關(guān)性質(zhì)來解決問題，往往能起到化隱為顯、化難為易的解題效果。

[參考文獻(xiàn)]

姜黃飛.看似無圓卻有圓 盤點(diǎn)“隱圓”那些事[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2019（10）：3-5+40.

馬艷萍，許峰.牢記形式 不懼隱圓[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（27）：65-66.

欒菊.利用“隱圓”模型優(yōu)化解題策略[J].課程教材教學(xué)研究（中教研究），2020（Z6）：46-47.

作者簡介：龔瓊瑩（1982.3-），女，福建泉州人， 石獅市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級數(shù)學(xué)備課組長，中學(xué)一級教師，2015年在石獅市首屆中學(xué)教師教學(xué)技能比賽中，榮獲初中數(shù)學(xué)組二等獎(jiǎng)。