蔡衛(wèi)兵

摘? 要：在倍角三角形三邊關(guān)系證明的習(xí)題課中，以“邊角的轉(zhuǎn)移方法”為主題，以“證法切入點的探究”為主線，以“正反關(guān)聯(lián)、縱橫比較”為變式，為學(xué)生搭建有依據(jù)、有目的、有意識的理性思考和研究討論的平臺，讓學(xué)生學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維方式合乎邏輯地進行有條理的思考，從而促進學(xué)生思維的長遠發(fā)展，同時有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：三主一變;習(xí)題課;倍角三角形;切入點

一、問題提出

在數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)過程中，教師要系統(tǒng)地向?qū)W生傳授基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法及解題規(guī)律等. 但數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象性、語言的符號性和推理的嚴密性，往往使學(xué)生覺得學(xué)好數(shù)學(xué)很難. 即便學(xué)生在課堂上掌握了所學(xué)知識，也未必能夠靈活運用. 特別是在進行了一個階段的學(xué)習(xí)后，面對一些綜合性的題目，學(xué)生更感覺到無從下手. 要想解決這些問題，就需要充分發(fā)揮習(xí)題課的作用. 正如數(shù)學(xué)教育家劉應(yīng)明所說，通過數(shù)學(xué)教學(xué)來培養(yǎng)學(xué)生的能力，最基本而又可行的方法，就是加強數(shù)學(xué)習(xí)題課的作用. 通過習(xí)題教學(xué)讓學(xué)生理解概念、掌握方法、體驗過程、領(lǐng)悟思想，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

然而，在實際的數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)中，有的教師仍然帶領(lǐng)學(xué)生做著簡單、機械的練習(xí)，追求做題的數(shù)量，采取題海戰(zhàn)術(shù);有的教師則把習(xí)題課變?yōu)樽鳂I(yè)講評課，簡單地更正對錯;有的教師習(xí)慣于研究“怎樣解”，較少問“為什么這樣解”，更少問“怎樣學(xué)會解”，忽略了探究過程中的輔助、轉(zhuǎn)換等環(huán)節(jié)的設(shè)計;有的教師徘徊在一招一式的歸類中，缺少觀點上的提高或?qū)嵸|(zhì)性的突破，對問題的提出和應(yīng)用研究不足. 在這樣的現(xiàn)狀下，數(shù)學(xué)習(xí)題課不能與新授課相匹配，不能作為新授課的有益延伸和補充. 怎樣才能更好地挖掘習(xí)題課的功能，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升，是亟需解決的問題.

二、基本思路

在日常的習(xí)題課教學(xué)中，踐行一題多思，體悟數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建以落實“四基”和學(xué)生的思辨感悟與有效發(fā)展為目標的“三主一變”教學(xué)模式，綜合體現(xiàn)在“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達世界”的過程中. 其教學(xué)形態(tài)是指準確把握教學(xué)主題，合理設(shè)計教學(xué)主線，以學(xué)生自學(xué)、小組活動和教師重點解析為基本教學(xué)組織方式，以“怎么做、怎么想到這樣做、怎樣解決同一類型的題”三步曲為操作模式的習(xí)題教學(xué)策略. 通過對習(xí)題本質(zhì)的深入挖掘和方法提煉，達到追根溯源的目的，促進學(xué)生理性精神的提升，同時開啟和豐富學(xué)生的心智.“三主”包括主題、主線和主體. 其中，主題指一堂課的核心知識和其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法、規(guī)律、策略，是教學(xué)內(nèi)容的重點;主線是指連接課堂教學(xué)各個環(huán)節(jié)的主要脈絡(luò);主體是指教學(xué)對象（即學(xué)生），其外延包括學(xué)生的原有知識、經(jīng)驗，以及學(xué)生在學(xué)習(xí)時的情緒狀態(tài)、交往狀態(tài)和主動程度.“一變”是指在先學(xué)后教、以學(xué)定教的基礎(chǔ)上，根據(jù)不同習(xí)題進行條件變換、結(jié)論探索、逆向思考、圖形變化等多角度、多方位的探討，強化思維的連貫性和知識的銜接性.

三、案例分析

1. 目標引領(lǐng)、理性探索，提高解決問題的目標感和計劃性

題目? 如圖1，在[△ABC]中，[BC=a，AC=b，AB=c，][∠C=2∠B，] 求證：[c2-b2=ab.]

這是在一節(jié)倍角三角形三邊關(guān)系證明的習(xí)題課中給出的題目，根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生的特點，確定這節(jié)習(xí)題課的主題為“邊角的轉(zhuǎn)移方法”，以“證法切入點的探究”為明線，以“轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想”為暗線，以“正反關(guān)聯(lián)、縱橫比較”為變式，以問題啟發(fā)學(xué)生有效思考，促進師生智慧互動為基調(diào)，以動手操作和合作探究為基本學(xué)習(xí)途徑，循序漸進地使學(xué)生在變化中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)和變化的規(guī)律，進而認識數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升問題解決能力. 美國數(shù)學(xué)家M.克萊因認為，數(shù)學(xué)是一種目標明確的思維活動，是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度. 為了提升學(xué)生解決問題的目標感和計劃性，先由學(xué)生自主歸納并繪制關(guān)于倍角關(guān)系的處理方法、比例線段的證明方法、平方關(guān)系的構(gòu)造方法的思考流程圖，如圖2所示. 避免思維的盲目性，以便及時、準確地調(diào)控思維方向，有效消除思維定勢的干擾.

2. 挖掘問題本質(zhì)、尋找切入點，體驗構(gòu)造基本圖形的合理性和多樣性

（1）從“倍角關(guān)系”切入.

證法1：如圖3，過點C作CD平分∠ACB，交AB于點D，

則[∠ACD=∠BCD=∠B.]

所以[CD=BD，△ACD∽△ABC.]

所以[ACAB=ADAC=CDBC.]

所以[AD=b2c，BD=CD=abc.]

所以[AD+BD=b2c+abc=c.]

所以[c2-b2=ab.]

證法2：由證法1，得[CD=BD，△ACD∽△ABC.]

所以[C△ACDC△ABC=ACAB，]

即[b+ca+b+c=bc.]

化簡，得[c2-b2=ab.]

證法3：由證法1，得[△ACD∽△ABC.]

所以[S△ACDS△ABC=ACAB2.]

如圖4，過點D分別作DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，

則[DE=DF.]

所以[S△ACDS△BCD=ACBC.]

所以[S△ACDS△ABC=ba+b.]

所以[b2c2=ba+b.]

化簡，得[c2-b2=ab].

【評析】此題條件中的有效信息為“[∠C=2∠B]”，將倍角轉(zhuǎn)化為等角推導(dǎo)出邊之間的數(shù)量關(guān)系是常規(guī)解題路徑. 證法1 ～ 證法3將倍角平分產(chǎn)生等角，由等角產(chǎn)生等腰三角形和相似三角形. 證法1利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例分別表示[AD，CD，] 借助[AD+BD=AB]的等量關(guān)系，運用等量代換列出等式;證法2利用相似三角形的周長之比等于相似比求解，其關(guān)鍵是運用[AD+][CD=AB]的整體思想及兩三角形周長可求的發(fā)現(xiàn);證法3利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方，結(jié)合角平分線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)面積之比可求而建立等價關(guān)系.

證法4：如圖5，作[∠DBC=∠ABC，BD]交[AC]的延長線于點[D.]

因為[∠ACB=∠DBC+∠D，∠ACB=2∠ABC，]

所以[∠DBC=∠D.]

所以[BC=CD.]

因為[∠A=∠A，∠ABC=∠D，]

所以[△ABC∽△ADB.]

所以[ACAB=ABAD，]

即[c2=bb+a.]

所以[c2-b2=ab.]

證法5：如圖6，作∠DBA = ∠ABC，過點A作BC的平行線交BD于點D，則四邊形ACBD為等腰梯形，過點A，D分別作AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F.

根據(jù)“線平行，角平分，形等腰”的基本圖形，可得[AD=BD=AC=b.]

易求得[BF=CE=a-b2，BE=a+b2.]

所以[b2-a-b22=c2-a+b22.]

化簡，得[c2-b2=ab].

證法6：同上可得四邊形ACBD為等腰梯形. 如圖7，連接[CD，] 則[CD=AB，A，C，B，D]四點共圓.

由托勒密定理，得

[AB ? CD=AC ? BD+AD ? BC.]

所以[c2=b2+ab，]

即[c2-b2=ab.]

【評析】證法4 ～ 證法6通過半角加倍產(chǎn)生等角，由等角產(chǎn)生等腰三角形與相似三角形或等腰梯形. 證法4在[∠C]的外部將[∠ABC]加倍，作出符合運用三角形外角定理轉(zhuǎn)化為等腰三角形與相似三角形的基本圖形;證法5和證法6在[∠C]的內(nèi)部將[∠ABC]加倍，直接產(chǎn)生等腰三角形或等腰梯形，借助“線平行，角平分，形等腰”的基本圖形即能確定兩底邊、腰長及對角線長的等腰梯形. 證法5通過作等腰三角形底邊上的高線即能溝通上、下底之間的聯(lián)系，由此進一步想到利用勾股定理建立方程;證法6從目標上分析，將等腰梯形對角線的乘積與對邊乘積之和建立聯(lián)系，進而想到構(gòu)造輔助圓，由托勒密定理直接獲得奇思妙解.

（2）從“線段之和”切入.

證法7：如圖8，延長[AC]至點[D，] 使得[CD=CB，]連接[BD.]

則[∠D=∠CBD=12∠ACB=∠ABC.]

所以[△ABC∽△ADB.]

所以[ACAB=ABAD，]

即[c2=b b+a.]

所以[c2-b2=ab.]

證法8：如圖9，延長[BC]至點[D，] 使得[CD=AC.]

則[∠D=∠CAD.]

所以[∠ACB=2∠D.]

因為[∠ACB=2∠B，]

所以[∠D=∠B.]

所以[AB=AD，且△DAC∽△DBA.]

所以[CDAD=ADBD，]

即[c2=bb+a.]

所以[c2-b2=ab.]

【評析】證法7和證法8執(zhí)果索因，先將結(jié)論進行等式變形，觀察式子特征進行聯(lián)想，這是常見的“母子”型相似中的等積式，為此需要找到一個三角形的一條邊長為[a+b.] 常用的策略是補短，在此基礎(chǔ)上利用“等邊對等角”既能聯(lián)系已知條件中的倍角，又能出現(xiàn)以[c]為公共邊且分別包含[b]與[a+b]的兩個三角形相似，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決.

（3）從“線段平方”切入.

證法9：如圖10，過點A作AE⊥BC于點E，在EB上截取ED = EC，連接AD.

由勾股定理，得[AB2-BE2=AC2-CE2，]

即[AB2-AC2=BE2-CE2=BE+CEBE-CE=BC ? BD.]

因為[AE]垂直平分[CD，]

所以[AC=AD.]

所以[∠C=∠ADC=∠B+∠DAB.]

因為[∠C=2∠B，]

所以[∠B=∠DAB.]

所以[BD=AD=AC.]

所以[AB2-AC2=BC ? AC，]

即[c2-b2=ab.]

證法10：如圖11，過點[A]作[AE⊥BC]于點[E，] 在[EC]的延長線上截取[ED=EB，] 連接[AD.]

由勾股定理，得[AB2-BE2=AC2-CE2，]

即[AB2-AC2=BE2-CE2=BE+CEBE-CE=BC ? CD.]

因為[AE]垂直平分[BD，]

所以[AB=AD.]

所以[∠B=∠D.]

因為[∠ACB=2∠B，∠ACB=∠D+∠CAD，]

所以[∠D=∠CAD.]

所以[CD=AC.]

所以[AB2-AC2=BC ? AC，]

即[c2-b2=ab.]

【評析】證法9和證法10由邊之間的平方和或平方差的結(jié)構(gòu)特征想到直角三角形中的勾股定理，為此過點[A]作邊[BC]上的高線，將含有平方的兩邊均置入直角三角形中，構(gòu)成解直角三角形應(yīng)用中的“背靠背”模型. 然后利用勾股定理將兩邊的平方差轉(zhuǎn)化為同一條直線上兩條線段的平方差，通過因式分解又向目標前進了一步，接著利用軸對稱轉(zhuǎn)移邊角即可實現(xiàn)求解.

一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與創(chuàng)新能力，同時有利于構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)、整合知識體系，能夠讓學(xué)生感悟證法的切入點與輔助線產(chǎn)生的合理性和靈活性，以及基本圖形的簡潔性. 在習(xí)題的分析過程中，顯化、滲透或應(yīng)用轉(zhuǎn)換與化歸思想，不僅可以使學(xué)生產(chǎn)生新的想法，而且能夠聚焦問題的根本.

3. 變式拓展、聯(lián)立聯(lián)系，感悟問題內(nèi)涵思維的關(guān)聯(lián)性與靈活性

變式1：在[△ABC]中，[BC=a，AC=b，AB=c，c2-][b2=ab，] 求證：[∠C=2∠B.]

變式2：如圖12，在[△ABC]中，[BC=a，AC=b，][AB=c，] 點[E，D]分別在[BC]的延長線及反向延長線上，[∠ABD=2∠ACE.] 求證：[c2-b2=ac.]

變式3：在[△ABC]中，已知[BC=a，AC=b，AB=c，][∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.] 求證：[1b+1c=1a].

關(guān)于變式1與變式2，學(xué)生根據(jù)前面所掌握的添加輔助線的方式（從倍角關(guān)系切入，從線段之和切入，從線段平方切入），運用類似于上述思路即可獲得證法，限于篇幅，類似的解法不再重復(fù). 關(guān)于變式3，其中蘊涵了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，隨著條件的強化，三角形的形狀唯一確定而大小不定，但其三邊滿足調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系，在類比思想的指導(dǎo)下挖掘問題本質(zhì)，尋找切入點，有助于將內(nèi)隱的解題經(jīng)驗可視化、結(jié)構(gòu)化，從而升華解題經(jīng)驗. 對于變式3，可以從模型和三角形關(guān)系兩個角度切入，得到如下幾種證法.

（1）從已有模型切入.

證法1：因為[∠C=2∠B，]

所以[c2-b2=ab.]

因為[∠B=2∠A，]

所以[b2-a2=ac.]

所以[b+ac=cb， b+ac=ab-a.]

所以[cb=ab-a.]

化簡整理，得[1b+1c=1a.]

（2）從三角關(guān)系切入.

證法2：如圖13，作[∠DAC=∠BAC，] 交[BC]的延長線于點[D.]

則[∠DAB=∠B=360°7，∠ACD=∠ADC=540°7.]

所以[AC=AD=BD=b，CD=b-a.]

在此基礎(chǔ)上可利用“角平分，線平行，形等腰”轉(zhuǎn)移邊角，并構(gòu)造“X”型相似，如圖14，過點[B]作[BE∥AD]，交[AC]的延長線于點[E.]

易證得[BE=AB=c，且△ADC∽△EBC.]

所以[ADBE=CDBC，]

即[bc=b-aa.]

化簡整理，得[1b+1c=1a.]

證法3：在圖13的基礎(chǔ)上結(jié)合結(jié)論的等價關(guān)系“[b+cc=ba]”，截長補短，將b與c轉(zhuǎn)移到同一直線上進行相加，由此獲得“A”型平行相似.

如圖15，延長BA至點E，使[AE=AD=b，] 連接DE.

易證得AC∥DE.

所以[BEBA=BDBC，]

即[b+cc=ba.]

化簡整理，得[1b+1c=1a.]

證法4：如圖16，作∠DAC = ∠BAC，交BC的延長線于點D，延長[AB]至點E，使得[BE=BD=][b，] 連接DE.

易證得[△ABC∽△EAD.]

所以[BCAD=ABAE，]

即[ab=cb+c.]

化簡整理，得[1b+1c=1a.]

此時學(xué)生不僅拓展了對倍角三角形的認識，還積累了邊角的轉(zhuǎn)移方法和解題經(jīng)驗. 進一步發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法的上位指導(dǎo)作用，綜合運用和強化轉(zhuǎn)化與化歸、類比、建模等數(shù)學(xué)思想方法，確定解題的方向和策略，領(lǐng)悟問題解決之道，抓住不變規(guī)律，掌握問題本質(zhì)，在融會貫通中真正發(fā)展學(xué)生的思維潛力，重視培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

四、結(jié)束語

習(xí)題課是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要課型，它是對新授課的鞏固，主要是引導(dǎo)學(xué)生運用已經(jīng)學(xué)過的知識，形成一些數(shù)學(xué)的解題技能，從而加深對數(shù)學(xué)知識的理解，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)意識.

因此，教師在習(xí)題課上講授的例題和習(xí)題，要超越模仿和初步變式的階段，應(yīng)該進一步變式，并與其他知識和技能初步綜合，引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)問題所內(nèi)隱的數(shù)學(xué)概念，善于提煉出幾何關(guān)系的本質(zhì)，高觀點理解數(shù)學(xué)知識的本真意義. 在解題前要善抓中心，在解題中要及時升華原有的解題經(jīng)驗，在解題后能汲取題目中蘊涵的基本思想，在解答切入點的探究中揭示問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，而不是過多地聚焦于解題過程帶來的直接結(jié)果——追求巧方法或簡單方法. 隨著習(xí)題題型的豐富、涉及范圍的擴大、難度的提高，要讓學(xué)生對解題經(jīng)驗有所悟，并進行初步的總結(jié)，形成知識結(jié)構(gòu)體系.

核心素養(yǎng)觀下“三主一變”的初中數(shù)學(xué)習(xí)題課應(yīng)該圍繞培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)這一主旨進行，突出聚焦性、自然性、自主性、策略性、歸一性. 以聯(lián)系為核心，建立學(xué)生的認知結(jié)構(gòu);以探究為方法，提升學(xué)生的問題解決能力;以知識為載體，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 習(xí)題內(nèi)容的設(shè)計要關(guān)注學(xué)生的理解，解題活動的設(shè)計要促進學(xué)生的理解，解題評價的設(shè)計要落實學(xué)生的理解，引領(lǐng)學(xué)生在理解的過程中體悟問題解決思維的多樣性和靈活性，體悟問題本質(zhì)思維的發(fā)散性和深刻性，體悟問題內(nèi)涵思維的關(guān)聯(lián)性和廣闊性，是教師培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的最佳時機，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效途徑.

參考文獻：

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