李玉龍，秦運(yùn)棟，張安民，趙 巖，李光宇

(宿遷學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 宿遷 223800)

引言

羅茨泵的核心部件為2個(gè)完全相同的非接觸轉(zhuǎn)子，其旋轉(zhuǎn)動力由同軸上另一對齒輪副提供[1]。由于轉(zhuǎn)子輪廓是構(gòu)成泵內(nèi)多個(gè)容積單元的邊界基礎(chǔ)，因此其構(gòu)造質(zhì)量直接決定了如輕量化[2-3]、容積利用[4-5]、流場特性[6-7]、內(nèi)泄漏[8]等的性能指標(biāo)。目前，在充分降低徑向泄漏和提高容積利用系數(shù)的輪廓方面，提出了以包絡(luò)法和法線法為主的各種共軛輪廓構(gòu)造方法[9]，以及由一對共軛段和若干過渡段組成的進(jìn)一步提高形狀系數(shù)的輪廓構(gòu)造方法[2,10]。不過包絡(luò)法需涉及2個(gè)轉(zhuǎn)子輪廓間的共軛幾何關(guān)系；法線法需涉及瞬徑和瞬角的計(jì)算，其中將會涉及共軛輪廓曲線的二階導(dǎo)數(shù)求解，甚至根本無法獲得直接的函數(shù)表達(dá)式，這遠(yuǎn)非一般工程技術(shù)人員所能理解的[2]。另外在實(shí)物測繪后的輪廓構(gòu)造中，由于不知道實(shí)物輪廓的具體曲線類型，所以必須全段測繪，而全段測繪中各分段誤差又難以保證輪廓的構(gòu)造精度[2,10]。有鑒于此，旨在將2個(gè)轉(zhuǎn)子輪廓間的共軛關(guān)系，轉(zhuǎn)化成單一轉(zhuǎn)子輪廓上的雙對稱幾何關(guān)系，以期實(shí)現(xiàn)便捷又高效地圖解出待定分輪廓段的擬合曲線，并就此作進(jìn)一步深入研究。

1 羅茨轉(zhuǎn)子的半葉輪廓構(gòu)造

羅茨轉(zhuǎn)子的半葉輪廓如圖1所示，由外同心圓弧段01、外過渡段12、外共軛段23、內(nèi)共軛段34、內(nèi)過渡段45、內(nèi)同心圓弧段56共6部分首尾相連組成，相應(yīng)的端點(diǎn)和連接點(diǎn)依序?yàn)槲挥?葉)頂(對稱)軸O0上的頂點(diǎn)0、峰點(diǎn)1、外(共軛)起點(diǎn)2、位于中軸O3上的中節(jié)點(diǎn)3、內(nèi)(共軛)起點(diǎn)4、根點(diǎn)5、位于(葉)谷(對稱)軸O6上的谷點(diǎn)6，如圖1所示。其中，轉(zhuǎn)子上段12與配對轉(zhuǎn)子上的峰點(diǎn)存在共軛關(guān)系，即段12為配對轉(zhuǎn)子上的峰點(diǎn)在轉(zhuǎn)子上的共軛軌跡線，轉(zhuǎn)子上段45與配對轉(zhuǎn)子上的內(nèi)(共軛)起點(diǎn)存在共軛關(guān)系，即段45為配對轉(zhuǎn)子上的內(nèi)(共軛)起點(diǎn)在轉(zhuǎn)子上的共軛軌跡線。

圖1 羅茨轉(zhuǎn)子的半葉輪廓構(gòu)造

外同心圓弧段O1的設(shè)置，一方面因其等縫隙的密封方式能有效降低徑向泄漏，另一方面也能充分緩解排氣側(cè)壓縮反沖現(xiàn)象的影響[11]；O為轉(zhuǎn)子中心，頂軸、中軸、谷軸及轉(zhuǎn)子中心為確定半葉輪廓的端面軸系且由轉(zhuǎn)子葉數(shù)N唯一確定，軸間角φ=π/(2N)，頂軸與節(jié)圓的交點(diǎn)為頂節(jié)點(diǎn)a，a2連線為外共軛段點(diǎn)2處法線，谷軸與節(jié)圓的交點(diǎn)為谷節(jié)點(diǎn)b，b4連線為內(nèi)共軛段點(diǎn)4處法線。

以ε0表示共軛輪廓23的形狀系數(shù)，即普通轉(zhuǎn)子的形狀系數(shù)，其值等于圖1中O0p連線的長度除以節(jié)圓半徑，設(shè)節(jié)圓半徑為r，其中，0p2段為以a為圓心、a2為半徑的圓弧；ε表示轉(zhuǎn)子輪廓的形狀系數(shù)，其值等于圖1中O0連線的長度除以節(jié)圓半徑；τ表示段01的圓弧角。則，段01為以O(shè)為圓心、εr為半徑、τ為圓心角的圓??；段56為以O(shè)為圓心、(2-ε)r為半徑、τ為圓心角的圓弧。

研究表明，ε0越大和τ越小，ε及其容積利用系數(shù)就越大，容積效率就越高，且ε僅取決于ε0和τ的實(shí)際大小，與共軛輪廓的具體曲線類型及其連接形式無關(guān)[2,9-10]。其中，文獻(xiàn)[12]給出了不同共軛曲線類型下ε0的不同上限取值及計(jì)算方法。

2 內(nèi)外共軛段的雙對稱關(guān)系

2個(gè)完全相同羅茨轉(zhuǎn)子在某一轉(zhuǎn)角θ下共軛幾何關(guān)系，如圖2所示。其中，配對轉(zhuǎn)子上各輪廓點(diǎn)及中心的標(biāo)識以轉(zhuǎn)子上對應(yīng)標(biāo)識后加“′”以示區(qū)別。設(shè)對應(yīng)于轉(zhuǎn)角θ的共軛點(diǎn)在轉(zhuǎn)子、配對轉(zhuǎn)子上的輪廓點(diǎn)分別為f，e′；c′e′為3′2′段的點(diǎn)e′處法線，且c′位于配對轉(zhuǎn)子節(jié)圓上；fd為32段的點(diǎn)f處法線，且d位于轉(zhuǎn)子節(jié)圓上。此時(shí)，c′和d重合且均為節(jié)點(diǎn)，c′e′的長度等于fd的長度設(shè)為ρ，c′e′與O′c′相交的銳角設(shè)為α。

圖2 共軛段間的雙對稱關(guān)系

由于轉(zhuǎn)子與配對轉(zhuǎn)子完全相同，則配對轉(zhuǎn)子半葉輪廓上的c′e′，O′c′即轉(zhuǎn)子半葉輪廓上ce，Oc，并作出點(diǎn)c處的節(jié)圓切線cc*。此時(shí)，ec與Oc相交的銳角等于α，ec的長度等于ρ。

在轉(zhuǎn)子的半葉輪廓上，作出34，df段關(guān)于中軸O3對稱的37，d*g段，此時(shí)d*與c重合，gc與Oc相交的銳角也等于α，gc的長度也等于ρ。

由ec與Oc相交的銳角等于gc與Oc相交的銳角，ec的長度等于gc的長度，得ec和gc關(guān)于cc*對稱，即e和f間存在著“e?cc*?g?O3?f”的雙對稱幾何關(guān)系，則：

(1)

式中，(xf，yf)和(xe，ye)為輪廓點(diǎn)f和輪廓點(diǎn)e在圖2XOY坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

由給定的外共軛段23或內(nèi)共軛段34，如果ρ(θ)，α(θ)一旦確定，那么待定的內(nèi)共軛段34或外共軛段12由式(1)是極易構(gòu)造的。但常見給定的共軛段多為圖2中X′OY′坐標(biāo)系下y′(x′)的函數(shù)表達(dá)形式，例如圓弧、橢圓弧、拋物線等，各自ρ(θ)，α(θ)的推導(dǎo)過程繁瑣及結(jié)果表達(dá)復(fù)雜。如果在X′OY′坐標(biāo)系下先依據(jù)已知共扼段的函數(shù)表達(dá)形式y(tǒng)′(x′)作出相應(yīng)的輪廓曲線，然后利用雙對稱關(guān)系求出待定共軛段的輪廓曲線，則非常容易。

由于轉(zhuǎn)子上外、內(nèi)過渡段12，45分別為配對轉(zhuǎn)子上的峰點(diǎn)、內(nèi)(共軛)起點(diǎn)在轉(zhuǎn)子上的共軛軌跡線，所以上述雙對稱關(guān)系同樣適用于同一轉(zhuǎn)子上過渡段12，45的求解。此時(shí)，已知的共扼段則變成為已知的峰點(diǎn)和內(nèi)(共軛)起點(diǎn)。

3 雙對稱構(gòu)造圖解

3.1 待定共軛段

圖2中，由給定共軛段的函數(shù)表達(dá)式及其ε0，在X′OY′坐標(biāo)系中，作出共軛輪廓曲線。

如給定共軛段為外共軛段23。首先，在3a間的節(jié)圓弧上作出若干等分點(diǎn)c及在段23上的若干垂足點(diǎn)e和節(jié)圓切線cc*。其次，依據(jù)e→cc*→g→O3→f的雙對稱順序得若干的點(diǎn)f。最后，由這若干的點(diǎn)f生成內(nèi)共軛段34的擬合曲線。

如給定共軛段為內(nèi)共軛段34。首先，作出內(nèi)共軛段34關(guān)于中軸的對稱曲線37，其次在3a間的節(jié)圓弧上作出若干等分點(diǎn)c及在37上的垂足點(diǎn)g和節(jié)圓切線cc*。其次，由這若干垂足點(diǎn)g關(guān)于各自對應(yīng)的cc*對稱后得若干對稱點(diǎn)e。最后，由這若干對稱點(diǎn)e生成外共軛段23的擬合曲線。

3.2 待定外過渡段

無論給定段為外共軛段還是內(nèi)共軛段，通過前述待定共軛段的雙對稱構(gòu)造后，內(nèi)起點(diǎn)4及其關(guān)于中軸的對稱點(diǎn)7的位置是已知的。

首先，在圖3中ap間的節(jié)圓弧上作出若干等分點(diǎn)i及其節(jié)圓切線ii′，和中軸對稱點(diǎn)7關(guān)于ii′對稱后的若干對稱點(diǎn)j。

圖3 內(nèi)起點(diǎn)和外過渡段間的雙對稱關(guān)系

其次，由此若干的點(diǎn)j生成外過渡段28的擬合曲線，其與圓心角為τ的半徑線O1的交點(diǎn)即為峰點(diǎn)1，并由此量測出O0的長度和計(jì)算出相應(yīng)的形狀系數(shù)ε，及截取出對應(yīng)于圓心角為τ的外過渡段21的擬合曲線。

最后，作出過O且和71連線平行的直線段Oh，由其與節(jié)圓的交點(diǎn)得峰節(jié)點(diǎn)h和量測出峰點(diǎn)避讓角β，該值在文獻(xiàn)[2,10]中是由數(shù)值方法計(jì)算得到的。

3.3 待定內(nèi)過渡段

在前述峰節(jié)點(diǎn)h確定后，設(shè)O1連線與節(jié)圓的交點(diǎn)為k。首先，在kh間的節(jié)圓弧上作出若干等分點(diǎn)m及其節(jié)圓切線mm′。其次，作出峰點(diǎn)1關(guān)于mm′對稱后的若干點(diǎn)n。最后，由這若干的點(diǎn)n生成擬合曲線79，并由中軸對稱出內(nèi)過渡輪廓段45，如圖4所示。

圖4 峰點(diǎn)和內(nèi)過渡段間的雙對稱關(guān)系

4 拋物線外共軛段雙對稱例

取外共軛段為N=3，φ=π/6，r=100 mm，τ=3°，ε0=1.3865下的拋物線：

(2)

其中，ρ(θ)，α(θ)難于求解[2]。

第一步，在圖5X′OY′的坐標(biāo)系下，先由式(2)作出該拋物線的規(guī)律曲線t3，并截取出對應(yīng)于圓心角為3°的外共軛段23。后取5等分點(diǎn)c，由前述的雙對稱構(gòu)造法，得內(nèi)共扼段34的擬合曲線，且與其規(guī)律曲線[2]非常一致。事實(shí)上，拋物線為二次曲線，6點(diǎn)的擬合精度已非常高。

圖5 拋物線例的峰點(diǎn)和外過渡輪廓段確定

第二步，圖5中先取5等分點(diǎn)i，由前述待定外過渡段的雙對稱構(gòu)造法，得峰點(diǎn)1、峰節(jié)點(diǎn)h及截取出外過渡輪廓段12擬合曲線段；然后測量和計(jì)算出ε=1.4807，β=49.71°，與數(shù)值方法的計(jì)算值完全相同[2]，如圖6所示。

圖6 拋物線例的峰節(jié)點(diǎn)和內(nèi)過渡輪廓段確定

第三步，圖6中取5等分點(diǎn)j，由前述待定內(nèi)過渡段的雙對稱構(gòu)造法，得內(nèi)過渡段45的擬合曲線，與其對應(yīng)的規(guī)律曲線非常一致[2]。

5 轉(zhuǎn)子副共軛區(qū)多密封點(diǎn)位

當(dāng)轉(zhuǎn)子副以圖7a所示為起始位置的旋轉(zhuǎn)過程中，各分輪廓段均全程共軛參與，為此當(dāng)旋轉(zhuǎn)角在[0，τ)內(nèi)時(shí)有5個(gè)，在旋轉(zhuǎn)角為τ時(shí)有4個(gè)，在(τ，β-φ)內(nèi)時(shí)有3個(gè)，如圖7b所示，在旋轉(zhuǎn)角為(β-φ)時(shí)有2個(gè)，在(β-φ，φ)內(nèi)有1個(gè)密封點(diǎn)位。其中，圖7a所示為轉(zhuǎn)子谷軸與配對轉(zhuǎn)子頂軸重合時(shí)的起始位置，圖7b所示為由起始位置按轉(zhuǎn)子逆時(shí)針、配對轉(zhuǎn)子順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)10°后的位置。

圖7 轉(zhuǎn)子副共軛區(qū)內(nèi)的多密封點(diǎn)位

相對于全程僅有1個(gè)密封點(diǎn)位的普通轉(zhuǎn)子[1]，多點(diǎn)位密封區(qū)間比為β/φ-1=65.7%，為此將取得更小的共軛泄漏，加上2τ徑向等縫隙密封，內(nèi)泄漏更小，容積效率更高。

由于非高速氣體介質(zhì)和非接觸間隙的存在，所以共軛區(qū)多密封點(diǎn)位不會形成像齒輪泵那樣的困油現(xiàn)象。

6 結(jié)論

(1) 羅茨泵/風(fēng)機(jī)用轉(zhuǎn)子的半葉輪廓由外同心圓弧、外過渡、外共軛、內(nèi)共軛、內(nèi)過渡、內(nèi)同心圓弧共6段，首尾相連構(gòu)成；

(2) 轉(zhuǎn)子全輪廓關(guān)于中軸和節(jié)圓切線的雙對稱關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了所有待定分輪廓段便捷又高效的擬合圖解，擬合精度高，圖解質(zhì)量好；

(3) 轉(zhuǎn)子全輪廓段的共軛參與將形成2～5個(gè)多密封點(diǎn)位和案例65.7%的密封區(qū)間，共軛泄漏更少，加上轉(zhuǎn)子頂部的等縫隙密封構(gòu)造，徑向泄漏更小，容積效率更高。