矩形與圓形截面載流平行雙導體間安培力研究

張盛源，徐天福，郭芳俠

(陜西師范大學 物理學與信息技術學院，陜西 西安 710119)

在工程上，狹小的配電箱內(nèi)電力系統(tǒng)的母線為矩形截面以減小母線間的安培力.那么矩形截面載流導體間的安培力與截面尺寸有何關系？截面尺寸一定時，與放置方向有無關系？與同面積同電流的圓截面導線的安培力有多大的差異？要回答此些問題，就要從導體周圍的磁場的分布開始研究.關于截面形狀不同的無限長載流導體磁場研究，文獻[1-3]討論了無限長載流圓柱面和圓柱體產(chǎn)生的磁場，文獻[4]討論了無限長截面為矩形和三角形的載流導體產(chǎn)生的磁場，但都缺乏磁感線分布的直觀圖像以及對不同截面平行載流雙導體間安培力的分析.文獻[5]雖有討論截面為矩形的載流導體間的作用力，但把導體產(chǎn)生的磁場看成若干個無限大平面產(chǎn)生的磁場疊加，該模型不夠精確.本文根據(jù)畢奧-薩伐爾定律及安培環(huán)路定理，分別計算無限長截面分別為矩形和圓形的載流直導體產(chǎn)生的磁場，并利用Matlab模擬了磁場分布；隨后計算兩個矩形截面的載流導體間安培力和兩個圓形截面的載流導體間的安培力，并進行對比分析.

1 矩形截面與圓形截面載流導體產(chǎn)生的磁場的計算與模擬

對于銅導線，室溫下σ=5.9×107S·m-1，μ≈μ0=4π×107N·A-2.因而f=50 Hz時，δ≈9.4 mm；f=1000 Hz，δ≈2.1 mm，低頻下趨膚深度與電力系統(tǒng)導線線徑同數(shù)量級；從電流密度看，即便是1000 Hz的交流電，以圓柱導體為例，導線軸線和表面處的電流差別也不會很大.因而在低頻情況下趨膚深度效應可以忽略，近似認為電流在橫截面上均勻分布[7].

1.1 無限長的矩形截面載流導體周圍磁場

任意導線元M在P點的磁場dB及其分量如圖1所示.根據(jù)無限長直導線的磁場公式[6]：

導線元在P點產(chǎn)生的磁場大小為

該磁場的x分量為：dBx=dBcosθ，其中

代入得

同理得y分量為

圖1 無限長矩形截面導體周圍磁場分析

由此可得整個載流導體的磁場分量可表示為

(1)

(2)

積分運算得到無限長的矩形截面載流導體在(x,y)處的磁場分量的表達式：

(3)

(4)

根據(jù)磁感線的定義，磁感線上每一點的切線就是該點磁感應強度的方向，故在磁感線上取一段線元dl，它應與B平行，故：dl×B=0.

由上式可得xy平面內(nèi)磁場線微分方程：

(5)

將式(3)、(4)代入上式，積分便可求得磁場線方程.在這里利用Matlab求得近似的數(shù)值解并繪制磁感應線.圖2(a)、(b)、(c)是假設b=1 cm，a分別取0.25 cm、0.5 cm、1 cm的磁感線分布.

根據(jù)圖像分析可得，矩形截面導體長和寬的差異越小，導體形成的磁場線越接近于圓[圖2(c)]；長和寬的差異越大，磁場線越來越扁[圖2(a)]，類似于橢圓；若某一邊的長度為無窮大，即導體變成有一定厚度的面積無限大的平面導體，其磁場線為平行于導體面的多條直線，這和電磁學的一般規(guī)律相符合.

圖2 無限長矩形截面導體周圍磁感線分布

1.2 無限長的圓形截面載流導體周圍磁場

根據(jù)以上所述磁場的特點，由安培環(huán)路定理∮B·dl=μ0∑I[6]易知磁場表達式為

(6)

2 矩形截面與圓形截面載流雙導體間的作用力及分析

2.1 矩形截面無限長載流雙導體間的作用力

為研究方便，在圖1磁場中置入電流為I′的無限長同規(guī)格電流同方向的矩形直導體如圖3所示.考慮導體長度為l的一段所受的磁場的作用力，設原點處的導體產(chǎn)生的磁場作用在l上的安培力為Fr.設|OQ|=L,將導體段分為無窮多平行的無限長直導線元，其電流可表示為dI′=j′dxdy.再對導線元應用安培力公式：

dF=Idl×B

(7)

圖3 矩形截面載流雙導體間的作用力

根據(jù)幾何關系將力分解為dFy=j′lBxdxdy和dFx=-j′lBydxdy，由對稱性分析可知

(8)

因此長為l的一段所受的安培力沿x軸負方向，大小為

Fr=|Fx|=?j′lBydxdy

將式(4)代入上式，并積分得

(9)

為了更直觀地了解當矩形導體邊長之比不同時，兩導體間安培力隨距離L的變化情況，設I=I′=1A、l=1 cm，導體截面積為1 cm2，分別取a=0.5 cm、0.8 cm、1 cm、1.2 cm、1.5 cm，計算相應的b，作Fr-L圖線如圖4所示.

圖4 矩形截面載流雙導體間作用力Fr隨距離L的變化

由圖4可以看出，在電流密度和尺寸一定的條件下：橫截面的邊長比a/b一定時，安培力隨著距離L的增大而減??；距離L一定時，a/b的值越大，安培力越小，所以配電箱內(nèi)兩矩形截面母線放置時應使較長的邊相對，這樣安培力小于同距離短邊相對時的安培力.

2.2 圓形截面無限長載流雙導體間的作用力

兩無限長同規(guī)格圓柱載流導體的位置，如圖5所示，設軸線間垂直距離為L，電流密度分別為j和j′.考慮長度為l的一段所受的作用力，設該段載流導體所受的安培力為Fc，建立柱坐標系.

圖5 兩圓形截面載流導體間的作用力

把載流導體看做許多無限長的平行直線導線元組成，P(r,θ)處的導線元所受的安培力大小為dF=j′lBrdrdθ.由圓截面導體對稱性可知兩導體間總的安培力在垂直于極軸方向的合力F⊥=0，總的安培力方向平行于極軸，即

代入并積分可得

(10)

2.3 矩形與圓形截面雙導體間安培力的比較

令兩安培力表達式(9)、(10)中的j、j′、l分別對應相等，作比值Fr/Fc

(11)

假設矩形與圓形導線橫截面積ab=πR2=1 cm2，作出Fr/Fc-L如下圖7所示.

圖7 Fr/Fc-L圖

該圖像表明兩種導線電流密度和尺寸對應相同時，當距離L越來越大，F(xiàn)r/Fc趨近于1；若L一定，F(xiàn)r/Fc隨著a/b的值變化：a/b<1時，F(xiàn)r/Fc>1，此時矩形截面導體間作用力大于圓形截面間作用力；a/b=1時，F(xiàn)r/Fc≈1，此時矩形截面導體間作用力近似等于圓形截面間作用力；a/b>1時，F(xiàn)r/Fc<1，此時矩形截面導體間作用力小于圓形截面間作用力.總體來看，a/b越大，F(xiàn)r/Fc比值越小.這就是為什么配電箱選用矩形截面導線進行電流配送，而且放置時應保證相對的邊長度大于另一邊長度.

3 結論

通過以上的理論計算得到了無限長矩形、圓形截面通電導體周圍的磁場分布和平行雙導體間作用力的表達式，并在Matlab的輔助下進行了模擬分析.得到如下重要結論：1) 矩形截面載流導體磁感線近似橢圓狀，在邊長相等時近似為圓形；2) 電流密度和尺寸一定時，兩個矩形截面平行載流導體間的安培力與距離、邊長比相關，邊長比a/b越大，作用力越?。?) 在電流密度和尺寸相同時，與兩個圓截面間的作用力比較：當a/b>1時，矩形截面間的作用力較圓形的??；a/b<1時，矩形截面間的作用力較圓形的大.根據(jù)這個規(guī)律，狹小的配電箱應選用矩形截面導線，且放置時應保證相對的邊長較另一邊大,才能保證安全.