唐剛

（中琺國(guó)際核能工程有限公司，四川 成都 610000）

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)從高速發(fā)展到高質(zhì)量發(fā)展的轉(zhuǎn)變，機(jī)械制造業(yè)也處于從高速發(fā)展到高質(zhì)量發(fā)展的轉(zhuǎn)型變革中，在中高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械的設(shè)計(jì)工作中，需要對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)特性分析，并根據(jù)分析結(jié)果優(yōu)化機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，提升產(chǎn)品質(zhì)量和經(jīng)濟(jì)效益。

1 概述振動(dòng)特性分析和轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械設(shè)計(jì)工作的關(guān)系

對(duì)于中高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械產(chǎn)品，過(guò)度振動(dòng)會(huì)加快機(jī)械磨損，加重噪聲污染，影響產(chǎn)品的穩(wěn)定性、安全性、使用壽命等問(wèn)題，對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械的設(shè)計(jì)，振動(dòng)分析越來(lái)越受到設(shè)計(jì)人員和研究人員的重視。在產(chǎn)品研發(fā)階段設(shè)計(jì)迭代次數(shù)較多，采用合理的分析方法，可以提高設(shè)計(jì)效率，節(jié)約設(shè)計(jì)成本。

2 振動(dòng)特性分析在轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械設(shè)計(jì)中的應(yīng)用原則

機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)往往是復(fù)雜的，應(yīng)根據(jù)具體情況和要求，簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)等物理模型，再運(yùn)用力學(xué)原理及數(shù)學(xué)工具進(jìn)行分析。在中高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械設(shè)計(jì)中，轉(zhuǎn)動(dòng)部件作為機(jī)械振動(dòng)的來(lái)源，需要對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確的振動(dòng)特性分析，轉(zhuǎn)動(dòng)部件一般為對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)，利于模型簡(jiǎn)化，可采用理論計(jì)算。工程中只有極少數(shù)簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化為連續(xù)系統(tǒng)，對(duì)于絕大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題，需要采用近似計(jì)算方法，將分析對(duì)象簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)或多自由度系統(tǒng)進(jìn)行分析。

3 轉(zhuǎn)動(dòng)部件振動(dòng)特性分析的實(shí)際應(yīng)用

離散系統(tǒng)振動(dòng)特性的近似計(jì)算方法有多種，本文以某中高速電子轉(zhuǎn)子為例，介紹集中質(zhì)量法和傳遞矩陣法的應(yīng)用。對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行振動(dòng)特性分析時(shí)，轉(zhuǎn)子的橫向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)需要單獨(dú)建立物理模型進(jìn)行分析，分析思路基本一致，本文主要考察轉(zhuǎn)子的橫向振動(dòng)特性。

3.1 集中質(zhì)量法在轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性分析中的應(yīng)用

集中質(zhì)量法是將連續(xù)系統(tǒng)離散為有限自由度系統(tǒng)，是一種物理概念清晰且簡(jiǎn)便易行的近似計(jì)算方法。本文所列轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)由轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)子鐵芯組成，質(zhì)量主要集中在轉(zhuǎn)子鐵芯處，忽略軸承剛度和基座剛度的影響。轉(zhuǎn)子的橫向振動(dòng)受轉(zhuǎn)軸的彎曲剛度和質(zhì)量分布影響，模型處理時(shí)將轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為由無(wú)質(zhì)量變截面梁和有限集中質(zhì)量點(diǎn)組成的離散系統(tǒng)，為便于計(jì)算和對(duì)比說(shuō)明，本文僅將模型簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)和三自由度系統(tǒng)進(jìn)行分析。

（1）單自由度系統(tǒng)的近似計(jì)算

單自由度系統(tǒng)模型是解決振動(dòng)特性問(wèn)題最簡(jiǎn)化的形式，將轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量變截面梁和單集中質(zhì)量點(diǎn)的簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)，集中質(zhì)量點(diǎn)位于轉(zhuǎn)子重心處，如圖1 所示。

圖1 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)示意圖

由柔度表示的固有角頻率求解公式如下：

對(duì)于變截面簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)，可利用卡氏定理求解某點(diǎn)處的柔度，卡式定理表達(dá)式如下：

AC 段和BC 段的彎矩方程，彎矩對(duì)廣義力的偏導(dǎo)方程如下：

將式（3.4）和式（3.5）代入式（3.2）可得C 點(diǎn)變形方程。

其中Ii1為AC 段各截面慣性矩，I2i為BC 段各截面慣性矩，對(duì)不同截面段分段積分，并取廣義力iF等于1，得到C 點(diǎn)柔度，將柔度Cδ和轉(zhuǎn)子質(zhì)量m代入式（1）可得單自由度系統(tǒng)下轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的固有角頻率近似計(jì)算值。代入轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)求得該簡(jiǎn)化模型下的固有角頻率為

（2）三自由度系統(tǒng)的近似計(jì)算

將轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)離散為無(wú)質(zhì)量變截面梁和三個(gè)集中質(zhì)量點(diǎn)的簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)，集中質(zhì)量點(diǎn)位置分別取轉(zhuǎn)子鐵芯兩端和轉(zhuǎn)子鐵芯中心處，質(zhì)量均為m/3 ，如圖2 所示。

圖2 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為三自由度系統(tǒng)示意圖

由柔度矩陣表示的特征方程如下：

本簡(jiǎn)化模型將轉(zhuǎn)子質(zhì)量均分在三個(gè)集中質(zhì)量點(diǎn)處，質(zhì)量矩陣為：

其中，為柔度影響系數(shù)，其物理意義為在j坐標(biāo)施加單位廣義力時(shí)沿i坐標(biāo)所產(chǎn)生的位移。柔度矩陣對(duì)角線元素根據(jù)上述單自由度系統(tǒng)中柔度的求解方法計(jì)算，對(duì)角線之外的元素采用附加力法，利用卡氏定理求解。

將式（8）和式（9）代入式（6），則有：

展開(kāi)后可得ν的三次特征方程，求解該方程可得系統(tǒng)的前三階固有頻率。經(jīng)計(jì)算該簡(jiǎn)化模型下轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的一階固有角頻率為

3.2 傳遞矩陣法在轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性分析中的應(yīng)用

傳遞矩陣法適宜計(jì)算鏈狀結(jié)構(gòu)的固有頻率及主振型，像連續(xù)梁、汽輪機(jī)、電機(jī)轉(zhuǎn)軸等結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量的梁上帶有若干集中質(zhì)量的振動(dòng)系統(tǒng)。傳遞矩陣法的基本思路是將離散鏈狀結(jié)構(gòu)系統(tǒng)視為由一系列代表慣性的點(diǎn)和代表彈性的場(chǎng)構(gòu)成，每個(gè)單元上的點(diǎn)傳遞矩陣和場(chǎng)傳遞矩陣構(gòu)成單元傳遞矩陣，各個(gè)單元傳遞矩陣依次連乘構(gòu)成總傳遞矩陣，最后根據(jù)邊界條件建立頻率方程，求解固有頻率。類(lèi)似集中質(zhì)量法，將轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)離散成為無(wú)質(zhì)量的變截面梁上帶有若干集中質(zhì)量的橫向振動(dòng)系統(tǒng)，由此將連續(xù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多自由度問(wèn)題。

對(duì)于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)問(wèn)題，任一截面的狀態(tài)向量包括4 個(gè)元素，即廣義位移y與θ及廣義力Q與M。

相鄰的狀態(tài)向量之間的傳遞關(guān)系為：

Hi為第i個(gè)單元的傳遞矩陣，此種離散方式下Hi的表達(dá)式為：

從最左端到最右端的整體傳遞關(guān)系為：

H為總傳遞矩陣，其表達(dá)式為：

本文分析模型為簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)，邊界條件如下：

利用式（15）和式（16）導(dǎo)出頻率方程式如下

在本示例分析中根據(jù)轉(zhuǎn)軸的截面分布和質(zhì)量分布將計(jì)算模型劃分為12 個(gè)單元，利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件求得一階固有角頻率為

4 振動(dòng)特性分析方法的對(duì)比研究

通過(guò)以上分析方法和計(jì)算結(jié)果對(duì)比研究，將轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)最為方便，且能保證一定精度，由于將轉(zhuǎn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量全部集中在轉(zhuǎn)軸剛度最小區(qū)域，計(jì)算的固有頻率小于轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際一階固有頻率，對(duì)于轉(zhuǎn)速低于一階臨界轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，采用此方法能方便地給出保守的結(jié)論，具有重要的實(shí)際意義。集中質(zhì)量法的計(jì)算精度與離散密度和質(zhì)量分配有關(guān)，本文示例計(jì)算為便于說(shuō)明情況將質(zhì)量均勻分配在三個(gè)質(zhì)量點(diǎn)，外側(cè)兩個(gè)離散質(zhì)量點(diǎn)離重心較遠(yuǎn)，因此計(jì)算一階固有頻率可能大于實(shí)際固有頻率，當(dāng)離散密度較高時(shí)，計(jì)算工作量會(huì)隨著自由度增大顯著增加。傳遞矩陣法是將轉(zhuǎn)動(dòng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的計(jì)算分解為階數(shù)較低的各單元的計(jì)算，每個(gè)單元的傳遞矩陣的階數(shù)與系統(tǒng)的自由度無(wú)關(guān)，從而極大的減少了構(gòu)造矩陣的計(jì)算工作量。目前有限元法在工程應(yīng)用中最為廣泛，對(duì)于復(fù)雜模型的分析一般采用有限元軟件進(jìn)行仿真計(jì)算，但理論近似計(jì)算分析更容易使設(shè)計(jì)人員認(rèn)識(shí)和掌握轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析的理論內(nèi)涵，從而更好的指導(dǎo)設(shè)計(jì)工作。

5 結(jié)語(yǔ)

我國(guó)正在從制造大國(guó)到制造強(qiáng)國(guó)轉(zhuǎn)變，制造業(yè)正在向高質(zhì)量發(fā)展，要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)需要各個(gè)崗位上的工作者共同努力。對(duì)于機(jī)械設(shè)計(jì)人員需要不斷夯實(shí)基礎(chǔ)理論，拓展專(zhuān)業(yè)知識(shí)面，在中高速轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中，準(zhǔn)確的振動(dòng)特性分析非常重要，可以保證在合理的結(jié)構(gòu)下有效避免機(jī)械運(yùn)行中發(fā)生共振的可能，設(shè)計(jì)人員需要掌握振動(dòng)特性分析方法，理解分析方法的理論內(nèi)涵，合理簡(jiǎn)化分析模型。