柴 潔，過榴曉，沈莞薔，陳 晶

（江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇無錫 214122）

（*通信作者電子郵箱guoliuxiao@jiangnan.edu.cn）

0 引言

多個體系統(tǒng)作為一個非?；钴S的研究領(lǐng)域，可以廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域，如一致性、編隊控制和同步［1-3］等，一致性問題作為多個體系統(tǒng)控制的基本問題之一，儼然受到眾多學(xué)者的關(guān)注［4-6］。

考慮到多個體系統(tǒng)在復(fù)雜場景下機動目標跟蹤或防碰撞的實際任務(wù)，滿足任務(wù)要求和適應(yīng)環(huán)境變化的編隊需要是時變的。多個體系統(tǒng)的時變特性主要體現(xiàn)在時變動力學(xué)節(jié)點和時變的拓撲連接兩個方面。相較于定常系統(tǒng)，時變系統(tǒng)的研究更具挑戰(zhàn)性和難度。過去的幾年里，研究人員在時變系統(tǒng)協(xié)同控制的穩(wěn)定性方面做了大量的工作［7-9］。例如，文獻［7］中采用矩陣無窮乘積方法研究具有切換系統(tǒng)的時變連續(xù)線性多智能體同步問題。文獻［8］中為解決線性時變系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性問題，提出一種求解有限時間穩(wěn)定性問題的數(shù)值方法。文獻［9］中研究了線性時變系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性、指數(shù)穩(wěn)定性和一致指數(shù)穩(wěn)定性的問題。文獻［10］中分析了非線性時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時將分析結(jié)果應(yīng)用于具有時變系數(shù)的時變時滯線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題中。文獻［11-12］中則假設(shè)鄰接矩陣中每個元素在一個周期內(nèi)的平均值大于一個預(yù)定義的正常數(shù)的條件，實現(xiàn)時變的多個體系統(tǒng)的一致性。顯然，這個條件某種程度上非常保守。當(dāng)考慮更復(fù)雜的動力學(xué)行為時，需要更多的約束條件來確保系統(tǒng)同步。本文研究時變多個體系統(tǒng)，包括時變節(jié)點的動態(tài)特性和系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)的一致性。

為減少多個體系統(tǒng)信息傳輸?shù)某杀?、降低個體系統(tǒng)的通信負載，研究人員提出了很多新的控制方法。文獻［13］中設(shè)計了事件觸發(fā)策略和自觸發(fā)策略的兩種算法來實現(xiàn)時變拓撲下的多個體系統(tǒng)的一致性；文獻［14］中則采用基于事件觸發(fā)控制方法，解決了固定和切換拓撲的領(lǐng)導(dǎo)跟隨多個體一致性問題；文獻［15］中針對資源受限的時變拓撲結(jié)構(gòu)的多個體系統(tǒng)的編隊控制問題，設(shè)計多個體系統(tǒng)的編隊控制協(xié)議和分布式事件觸發(fā)機制，討論了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題；文獻［16］中針對具有時變通信延遲的多個體系統(tǒng)，給出事件觸發(fā)條件并設(shè)計一致協(xié)議，解決系統(tǒng)的一致性問題。另一方面，脈沖控制作為一種離散的控制方法，具有降低通信和計算成本、操作簡單等優(yōu)點。文獻［17］中提出了一個新的脈沖時滯不等式，給出了具有無界時變時滯的脈沖系統(tǒng)和時不變系統(tǒng)穩(wěn)定的一些充分條件；文獻［18-19］中結(jié)合事件觸發(fā)的算法和脈沖控制研究了系統(tǒng)的一致性。進一步地，文獻［20］中利用分布式事件觸發(fā)脈沖控制方法研究了多個體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問題，對比仿真得到，事件觸發(fā)脈沖控制比現(xiàn)有的許多基于事件的控制方法更加有效和簡單；文獻［21］中基于事件觸發(fā)脈沖控制協(xié)議將多個體系統(tǒng)一致性結(jié)果推廣到系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)二分群一致性，而本文側(cè)重將線性系統(tǒng)拓展到時變線性系統(tǒng)和時變拓撲連接情形，基于脈沖式事件觸發(fā)控制協(xié)議討論多個體傳統(tǒng)一致性問題。

綜上，針對時變拓撲連接環(huán)境下的時變多個體系統(tǒng)的一致性問題，本文提出了基于事件觸發(fā)的脈沖控制協(xié)議。本文主要工作如下：1）使用脈沖控制和基于事件觸發(fā)控制方法，集兩者優(yōu)點，設(shè)計了基于事件觸發(fā)的脈沖控制協(xié)議，解決時變線性多個體系統(tǒng)的一致性問題，有效節(jié)約了系統(tǒng)信號傳輸和協(xié)議控制成本，控制方法也更加簡單可操作；2）理論推導(dǎo)了時變拓撲下的時變多個體系統(tǒng)一致的控制參數(shù)充分條件，且證明事件觸發(fā)脈沖時刻不存在芝諾現(xiàn)象。

1 預(yù)備知識及問題描述

1.1 代數(shù)圖論

設(shè)含有N個節(jié)點的有向圖G=(V，E，A)，頂點集表示為V={v1，v2，…，vN}，邊集表示為E?V×V。點i的鄰居集Ni={vj∈V|(vj，vi)∈E}。定義一個帶有權(quán)重的鄰接矩陣A=[aij]N×N，圖G中存在一條有向邊eij=(vi，vj)∈E，那么aij>0；否則，aij=0，定義aii=0。L=[lij]N×N為圖G的拉普拉斯矩陣，且lij=-aij，j≠i；lij=，j=i。當(dāng)系統(tǒng)拓撲是時變的，分別用G(t)和L(t)表示其時變的連接拓撲和拉普拉斯矩陣。本文有關(guān)符號表示如下：Rn表示n階實向量，Rn×n表示n×n階實數(shù)矩陣。對于向量x∈Rn、xT和‖x‖分別為其轉(zhuǎn)置和常用的歐幾里得范數(shù)。In是維數(shù)為n的單位矩陣，1N(0N)表示所有元素為1 或0 的N維列向量。Ν 為自然數(shù)集。符號diag{x1，x2，…，xn}表示對角元素為xi的對角矩陣。符號A?B表示矩陣A和B的Kronecker 積。λmax(P)和λmin(P)分別表示對稱矩陣P的最大和最小特征值。

1.2 模型描述

考慮一個含有N個個體的線性時變多個體系統(tǒng)，每個個體的時變動態(tài)方程表示為：

其中：A(t) ∈Rn×n，B(t) ∈Rn×n表示連續(xù)的矩陣函數(shù)；xi∈Rn是個體i的位置向量；ui(t)為第i個個體的控制輸入?；谑录|發(fā)脈沖控制協(xié)議設(shè)計如下：

系統(tǒng)（1）結(jié)合事件觸發(fā)脈沖控制協(xié)議（2）也可表示為：

假設(shè)1 本文中所有的時變矩陣范數(shù)有界，即對任意時間t，存在正常數(shù)a、b，使得下式成立：

假設(shè)2 矩陣A、B是可穩(wěn)的，有正數(shù)c，存在一個解P>0使得下列里卡提不等式［22］成立：

下面給出證明需要的幾個重要引理。

引理1圖G包含有向生成樹，當(dāng)且僅當(dāng)G的拉普拉斯矩陣有唯一的零特征值，其他所有特征值都有正實部［23］。

引理2如果圖G是強連通的，則G的拉普拉斯矩陣L不可約，且L1N=0 成立，存在一個對應(yīng)于零特征值的左特征向量ξ=(ξ1，ξ2，…，ξn)T，使得ξTL=0且=1［24］。

引理3令w(t)在[t0，∞)是非負的連續(xù)函數(shù)，w(t)

引理4函數(shù)g(t)在[t0，∞)上是一個一致指數(shù)穩(wěn)定函數(shù)，若給定正常數(shù)d1、d2，存在時間序列和常數(shù)T>0，對?t≥t0使得式（5）～（6）成立［9］。

定 義1 對于任意初始條件xi(0) ∈Rn，i∈I={1，2，…，N}，若各個體的狀態(tài)滿足條件：則多個體系統(tǒng)（1）實現(xiàn)一致性。

定義2設(shè)時變連接拓撲圖G(tk)，與其對應(yīng)的拉普拉斯矩陣L(tk)，若滿足以下條件［26］：

2 一致性協(xié)議分析

序列{tk}按時間順序排列，通常來說，不是所有的個體在tk時都有脈沖輸入，在tk時刻，至多有不超過N個個體被觸發(fā)。即有i(1 ≤i≤N)個個體在tk刻觸發(fā)，則可設(shè)觸發(fā)矩陣σ(k)=，也 就 是qN=[q，q，…，q]T，(q=0，1)，‖σ(k)‖1=i。

基于事件觸發(fā)控制的脈沖策略，多個體系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)（3）的矩陣形式為：下一次事件觸發(fā)將不會觸發(fā)，直到觸發(fā)函數(shù)式（4）變?yōu)?，其中e(tk)=0，結(jié)合式（12）可得：

定理2時變多個體系統(tǒng)（1），設(shè)圖G(tk)平均一致連通，基于事件觸發(fā)脈沖控制器（2）的觸發(fā)時刻由式（4）決定，若存在連續(xù)且有界的函數(shù)λ(t)，λ(t)是一致指數(shù)穩(wěn)定函數(shù)，一個可微矩陣函數(shù)P：[0，∞) →Sn+，P(t)=IN-1?p(t)，存在常數(shù)p1和p2，0 0，d2>0 使得式（13）、（15）成立：

其中：k=1，2，…。則系統(tǒng)（1）實現(xiàn)漸進一致性。

證明 為證明系統(tǒng)穩(wěn)定，對任意t∈(tk，tk+1]，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)得：

其中：μ(Tj(t0，t))為Tj(t0，t)的勒貝格測度集。φ1(t)有界結(jié)論當(dāng)t→∞時，?1(t) →0，定理1即得證。證畢。

在式（7）中，考慮非時變系統(tǒng)情形，即A(t)=A，L(t)=L，B(t)為單位矩陣I。式（7）中模型改寫為不是時變的事件觸發(fā)脈沖控制多個體系統(tǒng)模型：

可以直接得出下述類似文獻［20］中的推論。

推論1 考慮多個體系統(tǒng)（22）的連接拓撲圖連通，在事件觸發(fā)的脈沖控制協(xié)議下，若存在正定矩陣P，常數(shù)α>0，k∈Ν+滿足：

其中：φ(t0，t)是R+上的連續(xù)函數(shù)。則當(dāng)=-∞成立，系統(tǒng)（22）實現(xiàn)全局漸近收斂。存在常數(shù)c>0，t≥t0，使φ(t0，t) ≤-c(t-t0)，則系統(tǒng)（22）實現(xiàn)指數(shù)收斂。其中脈沖強度的范圍滿足：

根據(jù)上述的討論，事件觸發(fā)函數(shù)式（4）替換成：

上述觸發(fā)函數(shù)的優(yōu)點是避免了智能體之間的持續(xù)通信。在該觸發(fā)條件下，下一觸發(fā)時刻tk+1可以通過該智能體在tk上的鄰點信息預(yù)測。

定理3非時變的多個體系統(tǒng)（22），假設(shè)連接矩陣拓撲圖連通，基于事件觸發(fā)的脈沖控制器（2）的脈沖觸發(fā)時刻由式（25）決定，則系統(tǒng)（22）可實現(xiàn)指數(shù)一致性收斂，且不存在芝諾行為。

推論2 連續(xù)兩個觸發(fā)事件之間的時間間隔會隨著觸發(fā)函數(shù)（25）中的參數(shù)β、η增加而增加。

證明 由觸發(fā)函數(shù)（25），若誤差ei(t)超過閾值上界，可得

假設(shè)不成立。即得參數(shù)β、η增加，連續(xù)兩個事件之間的時間間隔也將增大。證畢。

3 數(shù)值仿真

例1 考慮多輪式移動機器人的位置跟蹤問題［27］，每個個體的線性時變模型表達式如下：

其中：i=1，2，…，5?？刂戚斎氚词剑?）定義計算，初始狀態(tài)在[-60，60]×[-60，60]×[-60，60]×[-60，60]×[-60，60]?R5中隨機選取，令脈沖強度γ=0.7，β=0.01、r=η=0.01，控制參數(shù)驗證滿足定理3 條件，A=，其中：a、b、e和d為時變標量；個體的三個狀態(tài)分量分別表示位置、速度和執(zhí)行器的狀態(tài)；a表示驅(qū)動器的速度；b和e表示增益。如果d>0，執(zhí)行器受速度影響，系統(tǒng)內(nèi)部形成反饋回路。參數(shù){a，b，d，e}為{0.8× sin(t)，1+0.1× cos(t)，0，0.8× cos(t)} 。

其中K=1。則圖G(tk)平均一致連通的，可得

函數(shù)λ(t)的演化如圖1所示，其中λ(t)不總是負值。

圖1 λ(t)的演化圖Fig.1 Evolution of λ(t)

驗證滿足定理2條件，式（26）中狀態(tài)分量軌跡圖如圖2所示，圖3 反映了系統(tǒng)的整體一致誤差e(t)=很快趨于0，基于事件觸發(fā)脈沖控制協(xié)議最終實現(xiàn)狀態(tài)一致。

圖2 式（26）中時變拓撲下的多輪式移動機器人的狀態(tài)xi(t)(i=1，2，3)軌跡Fig.2 Trajectories of state xi(t)(i=1，2，3)of multi-wheeled mobile robots under time-varying topology in formula（26）

圖3 式（26）中個體的誤差演化Fig.3 Error evolution of agent in formula（26）

圖4 展示了系統(tǒng)的脈沖事件觸發(fā)事件序列，隨著時間變化，始終有觸發(fā)時間間隔且沒有芝諾行為。

圖4 系統(tǒng)在10 s內(nèi)的觸發(fā)時間序列Fig.4 System triggered time sequence in 10 s

數(shù)值實驗結(jié)果表明，離散形式的分布式事件觸發(fā)脈沖控制，對于時變多個體系統(tǒng)，同樣可以有效降低系統(tǒng)的通信成本。從符合定理條件仿真實例誤差圖可見，可以很快達到一致狀態(tài)。

4 結(jié)語

本文研究了具有時變特性和基于事件觸發(fā)脈沖控制的多個體系統(tǒng)的一致性問題，系統(tǒng)的每個節(jié)點是動態(tài)線性時變的，系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)也是時變的。使用離散形式的控制協(xié)議，可充分降低系統(tǒng)的通信成本。在系統(tǒng)拓撲平均一致連通的假設(shè)下，理論證明了時變多個體系統(tǒng)一致性轉(zhuǎn)化為多個線性時變事件觸發(fā)脈沖控制系統(tǒng)的同時穩(wěn)定性問題，給出了事件觸發(fā)脈沖控制協(xié)議下具有時變特性的多個體系統(tǒng)一致性存在的充分條件，且不存在芝諾行為，數(shù)值仿真驗證所給理論結(jié)果的有效性。下一步將研究基于間歇控制的時變多個體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性等問題。