廣義二項指數(shù)和的四次冪均值

王婷婷

(西北農(nóng)林科技大學 理學院， 陜西 楊凌 712100)

設整數(shù)k>h≥1及整數(shù)m,n,如果q≥3是一個整數(shù),則二項指數(shù)和G(m,n,k,h,χ;q)定義為

其中:e(y)=e2πiy;χ表示模q的一個狄利克雷特征。

這些二項指數(shù)和在解析數(shù)論研究中占有非常重要的位置，特別當q=p為奇素數(shù)時, 它們與有限域上的傅里葉分析密切相關。正因為如此，許多學者研究了G(m,n,k,h,χ;q)的各種性質(zhì), 并得到了一系列重要的結(jié)果[1-10]。例如,文獻[9]證明了恒等式

其中p表示滿足(n,p)=1的奇素數(shù)。

最近,文獻[11]研究了一般化的二項指數(shù)和的四次均值，并證明了以下結(jié)論:

如果p是滿足(3,p-1)=1的奇素數(shù),n為滿足(n,p)=1的任意整數(shù),則對任意狄利克雷特征λmodp,有恒等式

由文獻[11]可知，此問題的難度較大,研究進展非常緩慢。

顯然，文獻[11]只考慮了特殊情況(p-1,3)=1，對于p≡1 mod 3，目前未見相關研究。但是這種情況(p≡1 mod 3)非常重要, 因為它與廣義Kloosterman和密切相關。事實上文獻[7]證明了對于任意整數(shù)m滿足(m,p)=1,有恒等式

此外，還有一些相關的研究工作可參考文獻[12-14],這里不再一一列舉。

本文受到文獻[11]研究的啟發(fā), 同時也想彌補其中的不足，于是提出：對于p≡1 mod 3,是否存在廣義二項指數(shù)和四次均值

(1)

的一個確切的計算公式？

本文利用初等和解析方法研究了(1)式的計算,并得到了一些確切的計算公式,即證明了如下結(jié)論。

定理1設p為奇素數(shù)且滿足p≡1 mod 3,n為任意整數(shù)且滿足(n,p)=1，則對任意狄利克雷特征λmodp,有恒等式

其中：d由d≡1 mod 3和4p=d2+27b2唯一確定；χ表示模p的任意非實特征；ψ為模p的三階特征；M(χ,ψ)定義為

定理2設p為滿足p≡1 mod 3的素數(shù)。若特征χmodp滿足χ3≠χ0，則有恒等式

推論1設p為滿足p≡1 mod 3的素數(shù)，χ為模p的任意非實特征，則有漸近公式

其中E(p)滿足估計式|E(p)|≤29p2。

1 幾個簡單引理

本節(jié)給出幾個定理證明中必要的引理。下文將用到經(jīng)典高斯和的一些性質(zhì)和基本理論,這些內(nèi)容可參考文獻[15-16]。經(jīng)典高斯和τ(χ)表示為

引理1設p為奇素數(shù)且滿足p≡1 mod 3。對任意整數(shù)n滿足(n,p)=1,若λ為模p的任意狄利克雷特征,則有

(2)

可得

(3)

因為p≡1 mod 3,則同余方程x3≡1 modp有3個解,即x≡1、α、α2modp。若存在特征χmodp滿足λ=χ3，則有λ(1)=1,λ(α)=1和λ(α2)=1，由(2)式和(3)式可得

p(p-1)-pλ(α)-pλ(α2)-p=

p(p-1)-2p-p=p(p-4)。

(4)

若λ=χ0為模p的主特征，由(2)式可得

利用(4)式的證明方法可得

p(p-1)-2p-1=p2-3p-1。

(5)

若λ≠χ0、χ3,則1+λ(α)+λ(α2)=0，由(2)式和(3)式可得

λ(α)p-λ(α2)p-p=p(p-1)。

(6)

結(jié)合(4)—(6)式可得引理1。

引理2設p為奇素數(shù)且滿足p≡1 mod 3。若λ表示模p的任意給定的特征, 則對任意非主特征χmodp和任意整數(shù)n滿足(n,p)=1,有

證明由經(jīng)典高斯和及模p簡化剩余系的性質(zhì),可得

(7)

引理3設p為奇素數(shù)且滿足p≡1 mod 3,ψ表示模p的任意三階特征,則對任意特征χmodp且χ3≠χ0，有恒等式

證明注意到ψ(-1)=1,由高斯和及模p三階特征的性質(zhì),可得

(8)

(9)

同理可得

(10)

(11)

結(jié)合(8)—(11)式可得

(12)

對任意特征χmodp，高斯和的三項乘積公式表明

(13)

由(12)式和(13)式可得

(14)

即證引理3。

引理4設p為奇素數(shù)且滿足p≡1 mod 3,則對任意三階特征ψmodp,有恒等式

其中d是由d≡1 mod 3和4p=d2+27b2唯一確定的整數(shù)。

證明由模p的三階特征ψ的性質(zhì)可得

(15)

由文獻[10]和[12]可知

(16)

結(jié)合(15)式和(16)式可得

p+4-2d。

即證引理4。

證明因為p≡1 mod 3，令θ≠1為同余方程x3≡1 modp的一個解,即θ3≡1 modp且(p,θ-1)=1。由模p簡化剩余系的性質(zhì)可得

(17)

即證引理 5。

2 定理的證明

對任意奇素數(shù)p滿足p≡1 mod 3及任意整數(shù)n滿足(n,p)=1,由特征χmodp的正交性可得

(18)

對于η≠χ0modp，若λ=η3，則由引理1、引理2及引理3可得

p2(p-4)2+

p2(p-4)2-9p2-

p2(p2-8p+7)-

p2(p-1)(p-2)+

p2(p2-8p+7)-

(19)

其中用到了恒等式

再利用模p簡化剩余系的性質(zhì)可得

(20)

(21)

結(jié)合(19)—(21)式可得

(22)

若λ=χ0，由模p特征的正交性，結(jié)合引理1、引理2、引理4以及(22)式的證明方法可得

(p2-3p-1)2-p2(p-4)2-

2p2(p-1)(p-2)-p2(p-1)+

(p2-3p-1)2-p2(p-4)2-

2p(p-1)(p+4-2d)=

(p-1)(2p3-5p2-15p+4dp-1)。

(23)

對于其他的λ，由引理1、引理2和引理5可得

(p2-p)2=

(p2-p)2=

p2(p-1)(p-2)-2p2(p-1)+(p2-p)2=

p2(p-1)(2p-5)。

(24)

結(jié)合(18)、(22)、(23)和(12)式可得

其中：d是由4p=d2+27b2和d≡1 mod 3唯一確定的常數(shù)；ψ為模p的三階特征；M(χ,ψ)定義為

即定理1得證。

定理2的證明由引理3可直接推出。

3 總結(jié)

本文證明了兩個主要定理，針對奇素數(shù)p≡1 mod 3，分別獲得了兩個恒等式，得到的結(jié)果與廣義Kloosterman和的混合冪均值密切相關，為進一步研究此類問題提供了一些新的思路和方法。