張琦

[摘 要]以四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角——“雞兔同籠”問題為例，探究如何把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，實(shí)施任務(wù)驅(qū)動(dòng)策略，讓學(xué)生掌握解決問題的真正策略，建立解題模型，提升思維深度。

[關(guān)鍵詞]雞兔同籠;起點(diǎn);任務(wù);核心素養(yǎng);思維

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）23-0023-02

教師教學(xué)時(shí)常常遇到這樣的情況：教學(xué)例題時(shí)學(xué)生都會(huì)，一到要學(xué)生自己動(dòng)手解題時(shí)總有人不會(huì)。改作業(yè)時(shí)，常常聽到教師抱怨：“這個(gè)知識(shí)點(diǎn)講了多少遍了，怎么還有人錯(cuò)??？”習(xí)題講評(píng)時(shí)，常常能聽到學(xué)生無奈地說：“這些知識(shí)點(diǎn)老師一講我知道了，可是我自己怎樣就想不起來呢？”

出現(xiàn)這些情況，究其原因，就是學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的知識(shí)不理解，或者記住了但不會(huì)用，學(xué)習(xí)過程中只能依樣畫葫蘆進(jìn)行模仿。根據(jù)布魯姆的認(rèn)知學(xué)習(xí)過程，這屬于記憶、理解、應(yīng)用的低階思維中的最底層，顯然學(xué)習(xí)效果低下。如何讓學(xué)生的學(xué)習(xí)從低階思維向高階思維轉(zhuǎn)變？如何使學(xué)生的學(xué)習(xí)向分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造邁進(jìn)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更有深度、更有廣度？筆者認(rèn)為可以從以下三方面入手。

一、現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)和邏輯起點(diǎn)的深度挖掘

“雞兔同籠”一課在小學(xué)階段屬于一節(jié)“熟課”，而且也正因?yàn)槭恰笆煺n”，很多教師都喜歡挑這節(jié)課當(dāng)公開課，學(xué)生或多或少都對(duì)此有所了解。但也正是由于過熟、過于出名，所以起點(diǎn)并不好把握。

首先，教材的邏輯起點(diǎn)。人教版教材將本節(jié)內(nèi)容放在四年級(jí)下冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角”中進(jìn)行教學(xué)，教材中列舉了兩種方法：列表法、假設(shè)法。用列表的方法解決問題，在三年級(jí)的方案的設(shè)計(jì)中已經(jīng)有所涉及，學(xué)生并不陌生。而對(duì)于用假設(shè)法來解決問題，以往的教學(xué)并沒有真正涉及。仔細(xì)分析教材中用假設(shè)法的解題思路：

籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？

（1）假如籠子里都是雞，那么就有8×2=16（只）腳，這樣就多出了26-16=10（只）腳。

（2）1只兔比1只雞多2只腳，因此有10÷2=5（只）兔。

（3）所以籠子里有3只雞，5只兔。

雖然看到的只有3個(gè)序號(hào)，但仔細(xì)觀察就可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上包含著5步計(jì)算。

第一步：假設(shè)全都是雞，那么就有8×2=16（只）腳。

第二步：多出了26-16=10（只）腳。

第三步：1只兔比1只雞多4-2=2（只）腳。

第四步：10只腳里包含著幾個(gè)多出的2只腳，就有幾只兔，即10÷2=5（只）兔。

第五步：8-5=3（只）雞。

5步計(jì)算解決問題，學(xué)生在四年級(jí)以前很少接觸到，而且除了第五步數(shù)量關(guān)系很明確以外，其他4步都和解決問題沒有直接的聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生只能模仿著記憶。

再看現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)。以學(xué)校一個(gè)班作為樣本從3個(gè)維度進(jìn)行問卷分析，具體數(shù)據(jù)如下：

從表中可以看出，雖然很多學(xué)生已經(jīng)接觸或者學(xué)習(xí)過“雞兔同籠”的內(nèi)容，但實(shí)際效果并不能讓人滿意，56.82%的學(xué)生憑借著模糊的記憶去解題，顯然達(dá)不到理解應(yīng)用的程度。

面對(duì)這樣的前測(cè)結(jié)果，筆者可以肯定，學(xué)生對(duì)“雞兔同籠”問題的前期淺層次的接觸，在一定程度上影響了學(xué)生的探究思維，學(xué)生憑借以前的模糊記憶或者解題方法硬性拼湊，導(dǎo)致錯(cuò)誤率高。

根據(jù)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)的深度挖掘，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)的邏輯路徑，筆者得出兩個(gè)教學(xué)思路：第一，淡化“雞兔同籠”情境，設(shè)計(jì)與學(xué)生生活實(shí)際相聯(lián)系的學(xué)習(xí)情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;第二，給學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑搭建一個(gè)有以往經(jīng)驗(yàn)的模型。基于此，筆者教學(xué)時(shí)將教材中的情境改為組裝玩具小車：

學(xué)校車模小組組裝三輪和四輪小賽車，要組裝12輛，最多要幾個(gè)輪子？最少要幾個(gè)輪子？一共有幾種可能？

這樣的設(shè)計(jì)不僅將學(xué)生以前關(guān)于租車方案設(shè)計(jì)的經(jīng)歷結(jié)合起來，而且在一個(gè)相對(duì)開放的情境中，使學(xué)生可以打破原來記憶中“雞兔同籠”的思維定式，為學(xué)生的探究提供基礎(chǔ)保障。

二、層層驅(qū)動(dòng)促使深度探究

任務(wù)驅(qū)動(dòng)是深度探究的重要保障和核心要素，有趣味性和挑戰(zhàn)性，就近發(fā)展區(qū)的任務(wù)驅(qū)動(dòng)更能激發(fā)學(xué)生探究的興趣，讓學(xué)生沉浸其中并獲得成功的體驗(yàn)。

第一層任務(wù)驅(qū)動(dòng)：組裝玩具小車。有以往設(shè)計(jì)租車方案的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，學(xué)生會(huì)從最多或者最少的角度出發(fā)進(jìn)行探究，問題解決的策略呈現(xiàn)出多樣性。

多樣的解題策略為不同層次的學(xué)生提供了不同的探究方式，滿足了學(xué)生共性與個(gè)性的需求。

第二層任務(wù)驅(qū)動(dòng)：觀察剛才探究中組裝玩具小車的所有可能，你能將這些可能有序排列嗎？

將所有可能有序排列，最直觀的方法就是列表，在這樣的任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，促使其他幾種解題策略與列表的方法進(jìn)行融合與有序統(tǒng)整，最后得出下表。

第三層任務(wù)驅(qū)動(dòng)：從表格中你發(fā)現(xiàn)了什么變化規(guī)律？思維層次不同的學(xué)生得到的結(jié)論也不同，從最初的三輪車數(shù)量逐一減少，四輪車數(shù)量逐一增加，逐漸探究到每減少1輛三輪車、增加1輛四輪車，總輪子數(shù)就會(huì)多1，這個(gè)“1”就是1輛四輪車比1輛三輪車多的1個(gè)輪子。在不同層次的表達(dá)中，學(xué)生的思維不斷完善、不斷提升。

第四層任務(wù)驅(qū)動(dòng)：如果現(xiàn)在組裝12輛車用了40個(gè)輪子，利用剛才的規(guī)律，你能根據(jù)第一種方案一下子就想到三輪車的數(shù)量和四輪車的數(shù)量嗎？說說你是怎樣想的。這個(gè)過程你能用算式表示出來嗎？

12×3=36（個(gè)）

40-36=4（個(gè)），4-3=1（個(gè)）

4÷1=4（輛）四輪車

12-4=8（輛）三輪車

從案例中可以看出，從第一層任務(wù)驅(qū)動(dòng)寫出所有可能如何將可能有序排列發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用規(guī)律，回歸算式。任務(wù)驅(qū)動(dòng)層層遞進(jìn)，每一層任務(wù)都給了學(xué)生探究的空間。學(xué)生可以通過“學(xué)共體”，共同進(jìn)行深度探究，找到規(guī)律以及知識(shí)點(diǎn)之間的共性，真正理解假設(shè)法解決“雞兔同籠”問題的策略。

三、建模中提煉深度思維深度

一道題的解決并不意味著學(xué)生對(duì)“雞兔同籠”問題的理解就十分深刻了，還需要通過更多同種類型的問題去引導(dǎo)學(xué)生從一道題走向一類題。

第一步“辨”。出示問題：“雞兔同籠”問題和“40個(gè)輪子組裝三輪車和四輪車共12輛，有幾輛三輪車，幾輛四輪車？”這個(gè)問題有什么相同之處和不同之處？學(xué)生在對(duì)比中可以慢慢發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這兩個(gè)問題都是同一種類型。相同之處在于，車輛的總數(shù)相當(dāng)于頭的總數(shù)，輪子的總數(shù)相當(dāng)于腳的總數(shù);不同之處在于，1輛三輪車與1輛四輪車只相差1個(gè)輪子，而1只雞和1只兔相差2只腳。

第二步“練”。除了辨別異同之外，更直觀的是讓學(xué)生能自己解決“雞兔同籠”問題，放手讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)水平的不同，可以讓他們用不同的解題方法來解決這類問題，比如列表法、畫圖法和列算式法，并說說這些方法的優(yōu)劣。

第三步“歸”。無論用哪種方法，說說用這幾種方法的共性是什么？無論哪種方法，都用到了假設(shè)這一方法。

深度學(xué)習(xí)是師生共同經(jīng)歷的一場(chǎng)智慧之旅，旅程的目的是走向核心素養(yǎng)。在關(guān)注終點(diǎn)的同時(shí)，教師還應(yīng)該關(guān)注旅程的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷積極、深入地去思辨、去驗(yàn)證、去探索的思維過程，使得學(xué)習(xí)走向深度。

（責(zé)編 吳美玲）