從圖形運動看全等三角形

文／王金坤（特級教師）

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實驗學(xué)校）

在以前的學(xué)習(xí)活動中，我們常常將一個圖形平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，以此來進一步認識圖形的性質(zhì)。圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)統(tǒng)稱為圖形的運動。圖形的運動不改變圖形的形狀、大小，也就是說，運動前、后的兩個圖形是全等圖形。下面，讓我們一起通過圖形運動的方式來認識全等三角形。

一、在圖形運動中感受全等三角形

問題1：我們觀察圖1、圖2、圖3中的兩個全等圖形，想一想，怎樣改變其中一個圖形的位置，使其與另一個圖形完全重合？你能按照同樣的方法，在這3個圖中分別畫出第3個、第4個圖形嗎？（蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊第7頁。）

圖2

圖3

通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，在圖1中可以平移其中一個圖形得到另一個圖形，在圖2中可以把其中一個圖形翻折得到另一個圖形，在圖3中可以把其中一個圖形旋轉(zhuǎn)得到另一個圖形。按照同樣的運動方式，我們可以分別畫出第3個、第4個圖形。

上述過程中，我們經(jīng)歷了觀察、比較、思考、畫圖等活動，體會到圖形運動的本質(zhì)是圖形的形狀、大小不變，只是圖形的位置發(fā)生變化。因此，我們可以用動態(tài)的、直觀的方法認識全等三角形。

二、在圖形運動中識別全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角

兩個能完全重合的三角形叫作全等三角形，互相重合的頂點叫作對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫作對應(yīng)邊，互相重合的角叫作對應(yīng)角。表示兩個三角形全等時，通常要把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上，這樣方便找出全等三角形的對應(yīng)邊與對應(yīng)角。那么，怎樣正確地找出全等三角形的對應(yīng)元素呢？

問題2：圖4、圖5、圖6中的兩個三角形是全等三角形，請你找出它們的對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角。

圖4

圖5

圖6

這3個圖形中的兩個三角形是全等三角形，說明它們能分別完全重合。我們可以用一張透明紙覆蓋在其中一個三角形上，用筆描出這個三角形，然后移動這張透明紙，嘗試與另一個三角形重合。在操作活動中，我們發(fā)現(xiàn)，圖4中，平移△ABC可以與△DEF重合，點A與點D、點B與點E、點C與點F分別重合，這樣就找到了它們的對應(yīng)頂點，接下來就找出了對應(yīng)邊、對應(yīng)角。類似地，圖5中，將△ABC沿BC所在直線翻折，可以與△DBC重合；圖6中，將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)180°，可以與△DEC重合。

下面，請同學(xué)們用上述方法嘗試解決問題3。

問題3：圖7、圖8、圖9分別是兩個全等三角形的組合圖形，想一想，怎樣改變其中一個圖形的位置，使其可以與另一個圖形完全重合？請你找出各對全等三角形的對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角。

圖7

圖8

圖9

三、在圖形運動中發(fā)現(xiàn)復(fù)雜圖形中的全等三角形

在本章的學(xué)習(xí)中，我們要認識全等三角形及其性質(zhì)，學(xué)習(xí)兩個三角形全等的條件，學(xué)會利用全等三角形探索圖形的性質(zhì)，其中，識別并證明三角形全等是關(guān)鍵。

問題4：已知，如圖10，點D、E分別在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，你能證明AD=AE嗎？

圖10

這個問題中，我們也可以用一張透明紙覆蓋在圖10上，畫出△ABE，嘗試與△ACD重合。操作中不難發(fā)現(xiàn)，先將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為∠A，使AE落在AD所在直線上，再沿AD所在直線翻折就能與△ACD重合。更簡單的方法是，將△ABE沿AF所在直線翻折與△ACD重合。這樣，我們用圖形運動的方法找到了全等三角形，接下來思考如何證明△ABE≌△ACD。

問題5：已知，如圖11，點E、F在CD上，DE=CF，AC=DB，且AC∥BD，你發(fā)現(xiàn)AE與BF有什么關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn)。

圖11

觀察圖形，從直觀來看，將△ACE沿EC方向平移，使點E與點F重合，再將△ACE繞點F旋轉(zhuǎn)180°，就可以與△BDF重合，或者將△ACE繞點EF中點旋轉(zhuǎn)180°，就可以與△BDF重合。這樣的圖形運動給我們提供了思路，通過證明△ACE≌△BDF，從而發(fā)現(xiàn)AE=BF，AE∥BF。請同學(xué)們自己寫出證明過程。

上述兩個問題中，我們都是先觀察圖形，用圖形運動的方法先識別兩個全等三角形，再根據(jù)三角形全等的條件進行證明。接下來，請同學(xué)們自己解決以下問題：

問題6：如圖12，已知AB=AD，∠1=∠2，∠3=∠4。請找出圖中的全等三角形并進行證明。

圖12

問題7：如圖13，已知∠DAB=∠EAC=60°，AB=AD，AC=AE，BE、CD相交于點O，AB、CD相交于點P，AC、BE相交于點F。你能求出∠DOE的大小嗎？

圖13

問題8：如圖14，已知點C、D在BE上，BC=ED，∠1=∠2，∠3=∠4。圖中有哪些全等三角形？請分別加以證明。

圖14

圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)給了我們對全等三角形的初步的、動態(tài)的、本質(zhì)的認識，使我們對全等三角形有了更深刻的感悟。借助圖形的運動，我們探索并發(fā)現(xiàn)了許多圖形的性質(zhì)。當然，確認一個圖形的性質(zhì)，通常需要運用推理的方法，有時也可以運用圖形運動的方法，請同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中進一步體會。