閆 寒，黃 萌，唐英杰，付熙坤，查曉明

（武漢大學(xué)電氣與自動(dòng)化學(xué)院，湖北省武漢市 430072）

0 引言

隨著新能源大規(guī)模并網(wǎng)，越來(lái)越多的電力電子變換器被用作分布式能源與交流電網(wǎng)的接口。與此同時(shí)，電力電子裝備也給電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行帶來(lái)影響。與傳統(tǒng)高慣性同步發(fā)電機(jī)不同，電力電子變換器在電網(wǎng)擾動(dòng)下具有更為快速和復(fù)雜的暫態(tài)過(guò)程，對(duì)并網(wǎng)變換器系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定運(yùn)行會(huì)造成一定的影響。新疆哈密地區(qū)發(fā)生的風(fēng)電機(jī)組群次/超同步振蕩、河北沽源地區(qū)發(fā)生的雙饋風(fēng)電機(jī)組群與串聯(lián)補(bǔ)償電網(wǎng)相互作用的次同步諧振［1］等表明對(duì)并網(wǎng)變換器系統(tǒng)進(jìn)行暫態(tài)穩(wěn)定性研究是必要的。

在并網(wǎng)過(guò)程中，鎖相環(huán)（phase-locked loop，PLL）被廣泛用于電壓信號(hào)的實(shí)時(shí)跟蹤，為并網(wǎng)變換器提供頻率以及參考相位。傳統(tǒng)的分析方法采用小信號(hào)線性化方法將鎖相環(huán)與并網(wǎng)變換器統(tǒng)一建模，例如基于阻抗模型［2］、狀態(tài)空間模型［3］的分析方法。鑒于上述2種模型的局限性，基于拉普拉斯（s）變換的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的網(wǎng)絡(luò)諧振結(jié)構(gòu)分析法［4］和幅相模型［5-7］等被進(jìn)一步提出并用以分析含非同步機(jī)電源系統(tǒng)在不同時(shí)間尺度下的動(dòng)態(tài)特性。研究結(jié)果表明，高鎖相環(huán)帶寬［2］以及鎖相環(huán)引入的負(fù)阻抗［8］都會(huì)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性造成危害。

在非理想電網(wǎng)條件下，鎖相環(huán)由于鑒相作用而存在固有的非線性特性，對(duì)并網(wǎng)變流器系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成影響。傳統(tǒng)的鎖相環(huán)線性化模型不能完全描述鎖相環(huán)的暫態(tài)過(guò)程，需要對(duì)其非線性特性進(jìn)行分析。文獻(xiàn)［9］分別從非線性動(dòng)力學(xué)以及虛擬同步機(jī)的角度揭示了鎖相環(huán)的數(shù)學(xué)和物理本質(zhì)，并采用李雅普諾夫能量函數(shù)分析了鎖相環(huán)的穩(wěn)定條件。文獻(xiàn)［10］將鎖相環(huán)近似等效為同步發(fā)電機(jī)，并用等面積定則（equal-area criterion，EAC）解釋了帶鎖相環(huán)的并網(wǎng)變換器失穩(wěn)機(jī)理。然而，EAC的這類(lèi)應(yīng)用并不能完全代表鎖相環(huán)的控制特性［11-12］。文獻(xiàn)［11］對(duì)比了在電網(wǎng)對(duì)稱(chēng)故障下各分析方法的優(yōu)缺點(diǎn)。文獻(xiàn)［13］通過(guò)建立降階非線性模型來(lái)解釋鎖相環(huán)的不穩(wěn)定過(guò)程和再同步瞬態(tài)過(guò)程，定性分析了鎖相環(huán)控制參數(shù)對(duì)暫態(tài)過(guò)程的影響。

當(dāng)負(fù)荷突變或發(fā)電機(jī)投入、切除時(shí)，系統(tǒng)的功率輸入、輸出都會(huì)產(chǎn)生不平衡。當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)時(shí)，功率將重新分配，系統(tǒng)輸入、輸出功率在一定電壓、頻率水平下將呈現(xiàn)不同的暫態(tài)特性［14］。文獻(xiàn)［15］指出，當(dāng)負(fù)載增加時(shí)，電網(wǎng)頻率下降，同步發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速降低，從而向電網(wǎng)釋放能量。在文獻(xiàn)［11-12］中，對(duì)鎖相環(huán)二階微分方程的推導(dǎo)是基于電網(wǎng)頻率不變的假設(shè)，適用于電網(wǎng)阻抗變化和電流變化的情況。若電網(wǎng)發(fā)生頻率擾動(dòng)時(shí)，對(duì)鎖相環(huán)二階微分方程的推導(dǎo)，則不可避免地要考慮頻率的變化。

本文針對(duì)弱電網(wǎng)條件下的頻率擾動(dòng)工況，推導(dǎo)了鎖相環(huán)與電網(wǎng)相角差的暫態(tài)輸出方程?；诜蔷€性動(dòng)力學(xué)的多尺度法［16］，定量解析了頻率擾動(dòng)下鎖相環(huán)的二階微分方程，進(jìn)一步分析了誤差產(chǎn)生的原因?；诮馕鼋?，得出暫態(tài)穩(wěn)定判據(jù)，為鎖相環(huán)的參數(shù)設(shè)計(jì)提供參考。

1 頻率擾動(dòng)下鎖相環(huán)的二階微分方程

本文關(guān)注鎖相環(huán)受到擾動(dòng)后的暫態(tài)過(guò)程，在對(duì)電壓環(huán)以及電流環(huán)進(jìn)行參數(shù)選擇時(shí)，按穩(wěn)定點(diǎn)在工作點(diǎn)附近進(jìn)行處理。若電流環(huán)響應(yīng)速度足夠快，則可以對(duì)其進(jìn)行解耦，并直接給定電流參考值，因此可設(shè)定Id=Idref，Iq=Iqref。其中Id、Iq、Idref、Iqref分別為電流環(huán)電流的d軸、q軸分量以及相應(yīng)的參考值。并網(wǎng)變流器系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，Ut∠θt、Vg∠θg、E∠θ分別為公共耦合點(diǎn)（point of coupling，PCC）電壓、電網(wǎng)相電壓以及并網(wǎng)逆變器輸出端口電壓；Udc為直流側(cè)電壓；θpll為鎖相環(huán)輸出相角；ωn為固有角頻率，其值為100π；ω為系統(tǒng)角頻率；t為時(shí)間變量；Lf和Cf分別為濾波電感和濾波電容；Ls和Rs分別為電網(wǎng)電感和電網(wǎng)電阻；R和C分別為直流側(cè)穩(wěn)壓電阻和穩(wěn)壓電容；ia、ib、ic為線路三相電流。

圖1 并網(wǎng)變流器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及鎖相環(huán)控制Fig.1 Structure and PLL control of grid-connected converter system

由文獻(xiàn)［15］可知，由輸入、輸出功率不平衡造成的頻率變化率（rate of change of frequency，RoCoF）在一次調(diào)頻的最初階段，可以認(rèn)為以固定斜率k變化。因此，基于鎖相環(huán)的時(shí)間尺度，本文將頻率擾動(dòng)設(shè)為一次函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，可以基于文獻(xiàn)［12］推導(dǎo)出在頻率擾動(dòng)下鎖相環(huán)輸出相角的二階微分方程。

在弱電網(wǎng)中，穩(wěn)定狀態(tài)下的PCC處電壓可以表示為：

式中：Zs和θs分別為電網(wǎng)阻抗幅值和相角；I1和θ1分別為并網(wǎng)變換器等效電流源的電流幅值和相位。

電流環(huán)電流d軸分量設(shè)為0，此時(shí)θ1=θpll，進(jìn)一步對(duì)式（1）進(jìn)行dq分解，得到Utq如式（2）所示。

式中：Utq為PCC處電壓幅值的q軸分量。

根據(jù)圖1可以得到θpll如式（3）所示。

式中：Kp和Ki分別為鎖相環(huán)控制器的比例系數(shù)和積分系數(shù)。

當(dāng)電網(wǎng)頻率從50 Hz以斜率k線性變化時(shí)，電網(wǎng)阻抗與電網(wǎng)角頻率、電感、電阻的關(guān)系可進(jìn)一步表示成式（4）。

式中：ωpll為鎖相環(huán)角速度；δ為相位差。

將式（2）代入式（3），可以進(jìn)一步推導(dǎo)出考慮頻率擾動(dòng)時(shí)相位差δ的二階微分表達(dá)式，如式（5）所示。

2 基于多尺度法的解析求解方法

電網(wǎng)頻率擾動(dòng)的存在，使得式（5）存在顯含時(shí)間的項(xiàng)，對(duì)其解析求解存在困難。由于δ的二階微分方程和非線性動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象有相似之處，本文借鑒單自由度非自治系統(tǒng)的多尺度解法，對(duì)其進(jìn)行求解。

2.1 多尺度法的基本原理

文獻(xiàn)［16］指出，多尺度法的基本原理是微擾法，也稱(chēng)攝動(dòng)法。它把微分方程的解x（t）視為很多快慢不同時(shí)間尺度或變量的函數(shù)，從而適用于求取弱非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)解。

由于微擾法可能會(huì)產(chǎn)生長(zhǎng)期項(xiàng)，多尺度法可以對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行改進(jìn)。多尺度法把微分方程的解不只看作是單一時(shí)間自變量t的函數(shù)，而是把t，εt，ε2t等看成獨(dú)立自變量，利用不同尺度的時(shí)間變量，使得漸進(jìn)解在ε指定階次的范圍內(nèi)得出一致有效解。

2.2 二階微分方程的解析求解

假設(shè)δ受到擾動(dòng)后存在新的穩(wěn)態(tài)點(diǎn)δ0，為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程以及應(yīng)用多尺度法，需要對(duì)式（5）在新的穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開(kāi)。在擾動(dòng)較小時(shí)，可以舍去三次及以上高次項(xiàng)，式（5）可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：

式中：a、b、c、d、e、f、g為相應(yīng)的泰勒展開(kāi)系數(shù)。

式(6)的推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)附錄A式(A1)和式(A2)。由于gt項(xiàng)的存在，在運(yùn)用多尺度法進(jìn)行求解的過(guò)程中，依舊不可避免地存在長(zhǎng)期項(xiàng)，而非線性動(dòng)力學(xué)中的方法更多的是針對(duì)外施激勵(lì)為周期函數(shù)的系統(tǒng)，因此，如果能夠?qū)t項(xiàng)轉(zhuǎn)化為周期函數(shù)，則能降低解析難度?？紤]到鎖相環(huán)輸出相角在暫態(tài)過(guò)程中的時(shí)間尺度較小，因此可以在時(shí)間的一定范圍內(nèi)將一次函數(shù)處理成正弦函數(shù)。附錄A圖A1給出了將一次函數(shù)正弦化處理的比較結(jié)果。該結(jié)果表明，當(dāng)正弦函數(shù)周期越大時(shí)，正弦函數(shù)與一次函數(shù)保持較小誤差的時(shí)間跨度越長(zhǎng)。因此，式（6）在0≤t≤tmax（tmax是正弦化函數(shù)與一次函數(shù)保持較小誤差的最大時(shí)間）范圍內(nèi)可以被進(jìn)一步近似等價(jià)為：

引入變量α、β、γ、λ、η，并令a=εα，b=εβ，c=εγ，e=ελ，f=εη，則有：

引入2個(gè)時(shí)間尺度T0和T1，式（7）的一次近似解為：

將式（9）代入式（7），并令方程等號(hào)兩側(cè)ε的同次冪系數(shù)相等，進(jìn)一步消除長(zhǎng)期項(xiàng)。當(dāng)ΩT0盡可能小時(shí)，在消 除 長(zhǎng) 期 項(xiàng) 過(guò) 程 中，cos（ω0T0+θ(T1)±μΩT0）（μ為 正 整 數(shù)）項(xiàng) 可 以 與cos（ω0T0+θ(T1)）項(xiàng) 合 并，sin（ω0T0+θ(T1)±μΩT0）項(xiàng) 可 以 與sin（ω0T0+θ(T1)）項(xiàng)合并，可以得到：

式中：m1為引入的參數(shù)。

對(duì)式（10）進(jìn)行積分，可以得到：

式中：m為引入的參數(shù)。

根據(jù)實(shí)際運(yùn)行工況，初值可以寫(xiě)為：

式中：B0為δ在t=0-時(shí)刻的初值。

將式（14）代入式（9），可以得到：

于是得到式（6）的一次近似解：

式（16）等號(hào)右邊的第1項(xiàng)為自由振動(dòng)項(xiàng)，第2項(xiàng)為強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)，強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)是由外施激勵(lì)引發(fā)的。根據(jù)式（16），在非共振情況下，若自由振動(dòng)部分隨著時(shí)間的增加而衰減，則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將僅由強(qiáng)迫振動(dòng)的解構(gòu)成。

3 解析解的相關(guān)討論

3.1 誤差分析

在k為-2，Kp分 別 為0.02和0.01時(shí)，附 錄A圖A2給出了方程（5）的數(shù)值解（采用ode45解法）與解析解的比較結(jié)果。改變鎖相環(huán)比例參數(shù)，在振蕩收斂或振蕩發(fā)散狀態(tài)時(shí)，解析解在前幾個(gè)振蕩周期皆與數(shù)值解一致。隨著振蕩誤差的累積，強(qiáng)迫振動(dòng)的斜率在后期會(huì)出現(xiàn)一定的偏差。上述現(xiàn)象產(chǎn)生的原因有以下幾點(diǎn)。

1）由于式（5）求解困難，因此為了符合應(yīng)用多尺度法的微分方程形式，用于求解解析解的式（6）是在式（5）的基礎(chǔ)上通過(guò)泰勒展開(kāi)并舍去高階項(xiàng)處理得來(lái)的，從而振蕩的幅值和相位會(huì)與實(shí)際情況有所出入。當(dāng)δ振蕩幅值越大時(shí)，誤差也就越明顯。此外，因?yàn)槭剑?6）中Af與ω0有關(guān)，而ω0正是由于上述處理得來(lái)的，所以強(qiáng)迫振動(dòng)的斜率也會(huì)與實(shí)際斜率有誤差，在2～4 s時(shí)解析解與數(shù)值解振蕩斜率分別約為-0.011 6和-0.012 6（見(jiàn)附錄A圖A2）。

2）解析解是一次近似解，而不是式（6）的精確解，進(jìn)一步求取其二次、三次近似解，可增加解的精度。

3）當(dāng)時(shí)間跨度足夠大時(shí)，由于一次函數(shù)項(xiàng)與正弦項(xiàng)誤差較大，式（7）與式（6）不再等價(jià)，此時(shí)此解析解便不再適用。

3.2 顯含時(shí)間項(xiàng)的二階微分方程的解

當(dāng)Ω足夠小時(shí)，在一定時(shí)間范圍內(nèi)式（17）成立。

雖然非線性微分方程不滿足疊加原理，但是研究結(jié)果表明，在一定情況下，顯含時(shí)間一次項(xiàng)的非線性微分方程的解的形式可以看作非線性解與線性解的疊加。式（5）等號(hào)右側(cè)的一次項(xiàng)影響的是強(qiáng)迫振動(dòng)的斜率。

由于鎖相環(huán)路方程有其具體的物理背景，因此也可以認(rèn)為電網(wǎng)頻率的擾動(dòng)使得電網(wǎng)阻抗值發(fā)生變化，δ的穩(wěn)態(tài)值也在不斷地變化，因此式（18）成立。

基于鎖相環(huán)路方程及其物理意義，可對(duì)解析解的強(qiáng)迫振動(dòng)斜率進(jìn)行修正?；谑剑?8）進(jìn)行解析解修正，可以使解析解的強(qiáng)迫振動(dòng)斜率與數(shù)值解更吻合（見(jiàn)附錄A圖A3）。

3.3 穩(wěn)定邊界

式（5）中有顯含時(shí)間的一次項(xiàng)，因而δ存在強(qiáng)迫振動(dòng)。在非共振情況下，δ是由非線性解析函數(shù)決定的自由振動(dòng)與強(qiáng)迫振動(dòng)的組合；當(dāng)自由振動(dòng)衰減后，就只剩下強(qiáng)迫振動(dòng)。在非共振情況下求解穩(wěn)定邊界時(shí)，解析解中的強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)不會(huì)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性造成影響。經(jīng)推導(dǎo)，m可展開(kāi)為：

式中：ωvir為固有角頻率的修正值。

圖2（a）至圖2（d）分別給出了在Kp-Ki-I1、Kp-Ls-I1空間內(nèi)m等于0時(shí)的穩(wěn)定邊界曲面及幾組Ki和Ls參數(shù)下的邊界曲線。在這里將m稱(chēng)作“判據(jù)值”。m小于0絕對(duì)發(fā)散，可將滿足m小于0的參數(shù)區(qū)域視為振蕩發(fā)散域，m大于0的參數(shù)區(qū)域視為振蕩收斂域。若絕對(duì)收斂還需要進(jìn)一步滿足式（21）。

式（21）與系統(tǒng)初始運(yùn)行狀態(tài)有關(guān)，若不能滿足，則鎖相環(huán)輸出也將振蕩發(fā)散。在圖2（a）至（d）中，隨著Kp增大，電流I1非線性增加，Ki和Ls的增大皆會(huì)使邊界曲線向下偏移。電網(wǎng)參數(shù)和控制參數(shù)的變化，可能使得原先的穩(wěn)定點(diǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定，如點(diǎn)A至點(diǎn)C（I1增大）、點(diǎn)D至點(diǎn)C（Kp減小）所示。解析解得到的穩(wěn)定邊界可以在一定程度上指導(dǎo)鎖相環(huán)的控制參數(shù)設(shè)計(jì)。

圖2 在不同空間內(nèi)的穩(wěn)定邊界Fig.2 Stability boundary in different spaces

4 仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

用于仿真驗(yàn)證的Simulink模型參數(shù)設(shè)置如下：電網(wǎng)相電壓（峰值）Vg=155 V；電網(wǎng)電感Ls=3 mH；濾波電感Lf=1 mH；濾波電容Cf=25μF；直流側(cè)電壓Udc=380 V；直流側(cè)穩(wěn)壓電阻R=0.01Ω；直流側(cè)穩(wěn)壓電容C=4 000μF；電網(wǎng)基準(zhǔn)頻率f=50 Hz；電流環(huán)比例系數(shù)Kip=2；電流環(huán)積分系數(shù)Kii=20。為了驗(yàn)證解析判據(jù)的有效性，基于上述參數(shù)以及圖2的穩(wěn)定邊界，在k=-2的前提下設(shè)置如表1所示的4種仿真驗(yàn)證工況，可以得到圖3所示仿真結(jié)果以及圖4所示相圖。

表1 仿真驗(yàn)證工況設(shè)置Table 1 Settings of operation conditions for simulation verification

圖3 鎖相環(huán)二階微分方程一次近似解與仿真結(jié)果的比較Fig.3 Comparison of first-order approximate solutions to second-order differential equation of PLL and simulation results

圖4 鎖相環(huán)輸出相角相圖Fig.4 Phase diagram of PLL output

工況1和2設(shè)置了電流擾動(dòng)，工況3和4設(shè)置了電網(wǎng)電感擾動(dòng)。在圖2中，工況1和3均在穩(wěn)定域內(nèi)，工況2和4均在失穩(wěn)域內(nèi)。圖3（a）至圖3（d）分別給出了4種工況下的仿真結(jié)果與解析解和數(shù)值解的對(duì)比結(jié)果。由圖3可得以下結(jié)論。

1）圖3（a）中δ振蕩收斂，圖3（b）中δ振蕩發(fā)散，2種工況下解析解與仿真結(jié)果皆比較吻合；仿真收斂和發(fā)散結(jié)果與圖2穩(wěn)定域判定結(jié)果一致。

2）圖3（c）中δ振蕩收斂，解析解與仿真結(jié)果的幅值誤差約為0.035 rad，周期誤差從0逐漸增大，而原始方程的數(shù)值解與仿真結(jié)果的幅值誤差約為0.017 rad，其原因可能是解析解的局限性以及仿真中電流環(huán)、開(kāi)關(guān)動(dòng)態(tài)等的影響；仿真收斂和發(fā)散結(jié)果與圖2穩(wěn)定域判定結(jié)果一致，在這種工況下，誤差未對(duì)判別結(jié)果造成影響。

3）在圖3（d）中，解析解、數(shù)值解與仿真軌跡不相符合，但穩(wěn)定判別結(jié)果與圖2一致：數(shù)值解與仿真結(jié)果不符合是因?yàn)橄到y(tǒng)失穩(wěn)，電流發(fā)散，不符合所建微分方程模型的前提（即穩(wěn)態(tài)點(diǎn)附近電流值設(shè)為固定不變）；在2.09 s左右時(shí)，δ的解析解越過(guò)不穩(wěn)定點(diǎn)失去穩(wěn)定，但由于解析解表達(dá)式中的分母存在極點(diǎn)，在計(jì)算過(guò)程中虛部被忽略，故出現(xiàn)了如圖3（d）所示越過(guò)穩(wěn)定點(diǎn)的現(xiàn)象；而解析解與數(shù)值解不符合是因?yàn)閿_動(dòng)過(guò)大、泰勒展開(kāi)的高次項(xiàng)被忽略引起的。

4）由圖3（a）和圖3（c）相比可知，工況3條件下δ的收斂速度較快；由圖3（b）和圖3（d）相比可知，工況4條件下δ的失穩(wěn)速度較快。這與解析解的判據(jù)值m絕對(duì)值的大小相關(guān)。

解析解判穩(wěn)結(jié)果與仿真結(jié)果的對(duì)比如表2所示。通過(guò)對(duì)比工況1和2或工況3和4的判據(jù)值m可以看到，在m大于0且滿足式（21）的前提下，δ振蕩收斂，且m值越大，收斂效果越明顯；在m小于0時(shí)，δ振蕩發(fā)散或直接失穩(wěn)，m絕對(duì)值越大，δ發(fā)散速度越快。

表2 4種工況下的解析穩(wěn)定判斷及仿真驗(yàn)證結(jié)果Table 2 Analytical stability judgment and simulation verification results under four operation conditions

圖4（a）至圖4（d）給出了4種工況下的鎖相環(huán)輸出相角相圖，其中，δ˙表示δ的一階導(dǎo)數(shù)?？梢钥吹?，圖4（a）和（c）中鎖相環(huán)輸出逐漸收斂，圖4（b）和（d）中鎖相環(huán)輸出逐漸發(fā)散或直接失穩(wěn)，相圖結(jié)果與圖2穩(wěn)定域判定結(jié)果一致。圖3和圖4結(jié)果表明，相圖分析結(jié)果與解析結(jié)果在δ的斂散性上具有一致性。

綜合以上分析：在暫態(tài)響應(yīng)方面，在δ波動(dòng)幅度較小時(shí)，解析解可以很好地展現(xiàn)鎖相環(huán)受擾時(shí)的暫態(tài)過(guò)程；當(dāng)振蕩幅值較大時(shí)，因解析解本身的局限性，其與數(shù)值解和仿真結(jié)果不一致，此時(shí)從波形上看是不符合的。在判斷穩(wěn)定性方面，由于穩(wěn)定性和臨界狀態(tài)緊密相關(guān)，因此第1個(gè)振蕩周期的有效性即可使解析判斷穩(wěn)定結(jié)果有效，而鑒于圖3（c）的誤差，可在對(duì)鎖相環(huán)進(jìn)行參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)留有一定的裕度。m絕對(duì)值的大小可在一定程度上衡量穩(wěn)定/不穩(wěn)定裕度的大小。

為了進(jìn)一步對(duì)穩(wěn)定邊界進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)工況3和工況4進(jìn)行了并網(wǎng)逆變器的硬件在環(huán)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)裝置如附錄A圖A4所示，并網(wǎng)逆變器的主電路在RTLAB實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上建立，控制部分由DSP 28335數(shù)字控制平臺(tái)實(shí)現(xiàn)。圖5給出了硬件在環(huán)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果Fig.5 Results of experimental verification

圖5（a）中PCC處A相 電 壓Va和A相 電 流Ia經(jīng)過(guò)振蕩恢復(fù)穩(wěn)定，由于電網(wǎng)阻抗增大，電壓的幅值有所下降，鎖相環(huán)與電網(wǎng)的相角差δ在擾動(dòng)后0.4 s左右穩(wěn)定在新的穩(wěn)態(tài)值（約0.65 rad），并進(jìn)一步隨著電網(wǎng)頻率而變化。圖5（b）中，系統(tǒng)公共耦合點(diǎn)處電壓和電流直接失穩(wěn)，鎖相環(huán)與電網(wǎng)的相角差δ迅速增大并達(dá)到了限幅值（約5.03 rad）。這2種工況下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了穩(wěn)定邊界的有效性。

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)電網(wǎng)頻率擾動(dòng)時(shí)弱電網(wǎng)中鎖相環(huán)輸出相角的二階微分方程，推導(dǎo)了解析解及穩(wěn)定邊界，通過(guò)仿真及實(shí)驗(yàn)，得到以下結(jié)論。

1）仿真波形及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于非線性動(dòng)力學(xué)多尺度法的解析解及穩(wěn)定邊界具有可行性及有效性。

2）由于求解近似解時(shí)忽略了高階項(xiàng)，以及對(duì)小參數(shù)進(jìn)行了一次近似，相角暫態(tài)表達(dá)式存在一定誤差。但是在一般擾動(dòng)下，解析解完全可以用來(lái)分析鎖相環(huán)在不同電網(wǎng)工況下的穩(wěn)定性。

3）解析結(jié)果表明，電網(wǎng)阻抗、注入電流的增大導(dǎo)致m減小并越過(guò)臨界值，鎖相環(huán)失穩(wěn)；在一定范圍內(nèi)增大鎖相環(huán)比例-積分控制器比例系數(shù)、減小積分系數(shù)，有利于鎖相環(huán)的快速穩(wěn)定。

本文僅針對(duì)單個(gè)變換器鎖相環(huán)進(jìn)行分析，今后擬對(duì)多變換器系統(tǒng)鎖相環(huán)穩(wěn)定性現(xiàn)象及原因進(jìn)行分析，并在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究多變換器系統(tǒng)之間的交互機(jī)理。

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