多措并舉突破導(dǎo)數(shù)壓軸題

賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級(jí)中學(xué) 835400)

多年來(lái)，導(dǎo)數(shù)在高考中是熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，考查越來(lái)越靈活，呈現(xiàn)形式越來(lái)越多樣，且以解答題的形式呈現(xiàn).新疆2021年普通高考第一次適應(yīng)性檢測(cè)試卷中，導(dǎo)數(shù)依然是難點(diǎn)，特別是第(2)問(wèn)，學(xué)生得分率非常低，很多同學(xué)感覺(jué)無(wú)從下筆，甚至放棄作答.筆者嘗試著從不同的視角出發(fā)，以不同的解法突破了此題，現(xiàn)分享于此，以饗讀者.

一、題目呈現(xiàn)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式kx+lnx≤x2f(x)-1在(0,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

二、宏觀分析

本題是含參問(wèn)題，關(guān)于字母參數(shù)求解問(wèn)題是學(xué)生普遍感到困難的問(wèn)題.在高考的一輪復(fù)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)接觸了一些相對(duì)簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)題，也掌握了一些解題方法，比如分離變量法、構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性處理問(wèn)題，還有導(dǎo)數(shù)的幾何意義等.因此，我們?cè)囍裱瓕W(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從這些方面入手剖析問(wèn)題.

三、試題解答

視角1利用分離變量法、構(gòu)造法，借助隱零點(diǎn)求解.

整理,得x0+lnx0=(-lnx0)+ln(-lnx0).

并且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，+∞)時(shí)，g′(x)>0.

從而得出k≤1.

評(píng)注隱零點(diǎn)是指一個(gè)函數(shù)存在零點(diǎn)，但無(wú)法具體求解出來(lái).本解法涉及到了隱零點(diǎn)問(wèn)題.隱零點(diǎn)問(wèn)題通常在?？蓟蚋呖嫉目碱}中以壓軸題的形式呈現(xiàn)，學(xué)生往往不容易得分.此解法還有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是根據(jù)隱零點(diǎn)得到的等式不常見(jiàn)，如何構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，進(jìn)一步得出更簡(jiǎn)潔的結(jié)論，也是值得深思和歸納總結(jié)的.一般是將抽象化具體，超越化初等.

視角2 利用公切線,數(shù)形結(jié)合求解.

評(píng)注解法2體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，是每一位數(shù)學(xué)教育工作者和一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)該思考的問(wèn)題.數(shù)學(xué)家華羅庚有句至理名言：數(shù)形結(jié)合萬(wàn)般好，隔離分家萬(wàn)事休.因此在解題中，我們需要盡可能地將幾何圖形及數(shù)量關(guān)系有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，才能達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果.

視角3 借助常用結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，借助單調(diào)性求解.

因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求F(x)的最小值即可.

為了解決問(wèn)題的方便，我們還需新構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex-x-1，g′(x)=ex-1，顯然x∈(0,+∞)時(shí)，g′(x)>0恒成立.所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)≥g(0)=0，所以ex≥x+1.從而ex+lnx≥(x+lnx)+1.

所以F(x)min=1.

從而得出k≤1.

評(píng)注解法3解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)變形得到的代數(shù)形式，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)木唧w函數(shù)，求導(dǎo)后確定新構(gòu)造函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性，再結(jié)合題意解決問(wèn)題.這就需要在平時(shí)的解題中有意識(shí)地歸納總結(jié)一些常用結(jié)論(本例用到了ex≥x+1)，進(jìn)行必要的證明之后就可以作為相應(yīng)解答題的關(guān)鍵點(diǎn)和突破口.當(dāng)然從以上的解題中發(fā)現(xiàn)還需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，這是更高層次和更高能力的要求.

四、解題反思

從以上的解題中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)思想方法在導(dǎo)數(shù)壓軸題的解題中貫穿始終.構(gòu)造函數(shù)的思想，數(shù)形結(jié)合的思想在解題中也體現(xiàn)得淋漓盡致，而將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題也充分展現(xiàn)出來(lái)了，還有化歸與轉(zhuǎn)化的思想也必不可少.因此，通過(guò)此題的解析與探究，我們應(yīng)該有更深入的思考.在今后的教育教學(xué)中，需要逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，啟發(fā)學(xué)生多思考、多提煉、多總結(jié)，吃透問(wèn)題的本質(zhì)和合適的解題策略，期待能夠突破導(dǎo)數(shù)壓軸題.