實時混合試驗魯棒時滯補償方法的數(shù)值研究

寧西占 黃偉

摘? ?要：為解決實時混合試驗系統(tǒng)中時變時滯嚴重影響試驗穩(wěn)定性和精度的問題，以基于混合靈敏度的H∞魯棒控制方法設(shè)計反饋控制器，使試驗系統(tǒng)具有穩(wěn)定的動態(tài)特性;以多項式外插進一步消除時滯，并將其應用于線性Benchmark問題.為充分探討所提方法性能，采用線性和非線性加載系統(tǒng)模型，開展了物理子結(jié)構(gòu)為線性和非線性的虛擬實時混合試驗研究.結(jié)果顯示：作動器的實測位移均與期望位移幾乎完全重合;與已有方法的對比顯示，采用魯棒時滯補償?shù)膶崟r混合試驗具有更小的誤差;而對非線性物理子結(jié)構(gòu)，試驗系統(tǒng)的均方根誤差和峰值誤差均在0.6%～1.5%之間，且均方根誤差大于10%和峰值誤差大于6%的概率遠小于0.05.研究結(jié)果表明，魯棒時滯補償方法可大幅提高實時混合試驗的模擬精度，并具有較強的魯棒性.

關(guān)鍵詞：實時混合試驗;時滯;H∞控制;魯棒性;不確定性

中圖分類號：TU317? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標志碼：A

Numerical Study of Robust Time-delay Compensation

Method for Real-time Hybrid Simulation

NING Xizhan1，2，HUANG Wei1

（1. College of Civil Engineering，Huaqiao University，Xiamen 361021，China;

2. Key Laboratory for Intelligent Infrastructure and Monitoring of Fujian Province（Huaqiao University），Xiamen 361021，China）

Abstract：To address the problem that the variable time delay seriously affects the stability and accuracy of the real-time hybrid simulation（RTHS），a robust time-delay compensation method was studied. A feedback controller? based on H∞ robust control method of mixed sensitivity was designed to stabilize the dynamics of the testing system，while the polynomial extrapolation method was employed to compensate for the time-delay. The proposed method was applied to a linear Benchmark problem. To further investigate the performance of the proposed method，virtual RTHSs were carried out with linear and nonlinear physical substructure（PS） employing linear and nonlinear models of the loading system. The results showed the measured displacements were almost identical to the desired displacements. Compared with the existing method，RTHS with the robust time-delay compensation method had a smaller error. For nonlinear PS，the root-mean-square error（RMSE） and peak error（PE） were both between 0.6% and 1.5%，and the probability of RMSE greater than 10% and PE greater than 6% was far less than 0.05. The study demonstrated that the robust delay compensation method can improve the accuracy of RTHS greatly and behavior strong robustness.

Key words：real-time hybrid simulation;time delay;H∞ control;robustness;uncertainty

混合試驗源于1969年日本學者[1]提出的擬動力試驗方法，它將數(shù)值計算和物理試驗通過在線的方式有機結(jié)合在一起，是評估結(jié)構(gòu)在動荷載作用下性能的經(jīng)濟、實用的方法. 通常，混合試驗方法將待評估結(jié)構(gòu)中具有較強非線性的部分取出在實驗室進行物理加載，剩余部分在計算機中模擬. 前者稱為物理子結(jié)構(gòu)，后者稱為數(shù)值子結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)間通過傳遞系統(tǒng)（通常是作動器）聯(lián)系在一起. 混合試驗提出之初采用了慢速加載方式，并在逐步積分方法、誤差傳遞等方面取得了一系列研究進展[2-4].

Nakashima等在進行混合試驗時對試件采用動力加載的方式，提出了實時混合試驗，解決了速率相關(guān)型試件的混合試驗問題[5]. 在實時混合試驗中，數(shù)值計算、邊界條件實現(xiàn)及數(shù)據(jù)采集等均需在十分短的時間步長內(nèi)完成，以實現(xiàn)子結(jié)構(gòu)間邊界位移協(xié)調(diào)和力的平衡. 受數(shù)據(jù)交互、模擬信號與數(shù)字信號間相互轉(zhuǎn)換、作動器的動態(tài)性能以及作動器與試件間相互作用的影響，作動器接收的命令和實際響應之間往往不同步，這種現(xiàn)象通常稱為時滯.時滯的存在將減弱實時混合試驗的精度，甚至嚴重影響其穩(wěn)定性[6]. 因此，一系列時滯補償措施不斷被用于抑制時滯的影響，如基于常時滯假設(shè)的預測方法[6]，基于經(jīng)典控制理論的前饋、反饋及逆控制[7-9]，基于現(xiàn)代控制理論的滑動模態(tài)控制[10]、H∞控制[11]，以及基于反饋力修正的方法[12]等.近年來，自適應時滯補償策略[13-16]也得到了廣泛的關(guān)注. 然而，基于控制理論的時滯補償方法大多數(shù)具有模型依賴性，而反饋控制無法完全消除時滯的影響. 此外，考慮到物理加載的動態(tài)特性、試件的非線性、噪聲以及電壓變化導致的供油壓力變化等因素，前述時滯補償方法效果被削弱.

針對以上問題，本文提出了一種魯棒時滯補償方法，并通過Benchmark模型進行了初步驗證[15]. 為深入分析魯棒時滯補償方法的性能，本文首先基于作動器的Benchmark模型，采用線性物理子結(jié)構(gòu)，對比研究了魯棒時滯補償方法和反饋修正的自適應時滯補償方法;之后，討論了魯棒時滯補償方法處理非線性物理子結(jié)構(gòu)的能力;最后，基于考慮流量非線性的作動器模型，以磁流變阻尼器為非線性物理子結(jié)構(gòu)，研究了考慮試驗系統(tǒng)（作動器-試件系統(tǒng)）非線性時魯棒時滯補償方法的性能.

1? ?魯棒時滯補償方法

在已有的時滯補償方法中，大多數(shù)具有模型依賴性，而數(shù)學模型不能考慮物理子結(jié)構(gòu)的制造誤差、觀測噪聲、外界擾動以及加載系統(tǒng)動態(tài)性能改變等因素.而在控制領(lǐng)域中，上述因素通常歸為未建模動態(tài)和模型參數(shù)不確定性. 因此，筆者提出了魯棒時滯補償方法，并將其應用于線性Benchmark問題[15].該方法的原理如圖1所示，其中dD是期望位移，dm是測量位移，dc是命令位移，d是外插預測位移.該方法中，時滯補償器由H∞控制器和多項式外插兩部分組成，前者用于改善被控對象的動態(tài)性能，得到一個穩(wěn)定且具有魯棒性的閉環(huán)系統(tǒng)，后者則用于進一步消除系統(tǒng)的時滯.

1.1? ?基于混合靈敏度的H∞控制器

H∞控制是通過建立從廣義輸入到性能輸出的性能指標傳遞矩陣F，并在Hardy空間中以該性能指標的無窮范數(shù)為衡量標準進行優(yōu)化，從而得到控制器的一種方法.標準H∞控制問題可通過對一般反饋控制問題進行性能加權(quán)獲取，本研究中加權(quán)的反饋控制框圖如圖2所示.這里，廣義輸入為位移d，性能輸出為z = [z1;z2;z3]，性能指標為：

|| F ||∞ = W1 SW2 KSW3 T ∞? ? ? ? ? ?（1）

式中：S = 1/（1 + PK）為靈敏度函數(shù);T = PK/（1 + PK）為補靈敏度函數(shù);P是控制對象（包含作動器和物理子結(jié)構(gòu)）;W1、W2和W3是性能加權(quán)函數(shù)，直接影響系統(tǒng)的追蹤性能和魯棒性. 圖2所示控制問題的廣義被控對象及狀態(tài)空間實現(xiàn)為：

設(shè)計H∞控制器，即尋找一個控制器K，使得閉環(huán)系統(tǒng)是內(nèi)穩(wěn)定的，并且性能指標滿足

|| F ||∞ = || G11 + G12 K（I - G22 K）-1G21||∞ < γ? ? （3）

式中：γ是一個給定的正數(shù)，下標“∞”表示無窮范數(shù).設(shè)計H∞控制器有多種方法，如線性矩陣不等式法、DGKF法等[17]. 本研究采用DGKF法，即當系統(tǒng)（A，B2）為可鎮(zhèn)定的，（C2，A）為可檢測時，可通過求解兩個黎卡提方程得到H∞控制器.

采用基于混合靈敏度的H∞控制設(shè)計時，控制器的追蹤性能和魯棒性直接受到三個權(quán)函數(shù)的影響.吳旭東和解學書[18]給出了權(quán)函數(shù)選取的一般性原則，這里不再贅述.需要強調(diào)的是，在進行控制器設(shè)計時，權(quán)函數(shù)W1應具有近似積分特性的形式，以實現(xiàn)在所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)系統(tǒng)具有較強的追蹤性能和抗干擾能力;權(quán)函數(shù)W3在低頻段遠小于1并且在高頻段應具有近似s2特性，以實現(xiàn)對命令信號的追蹤和對高頻噪聲的抑制. 因此，本研究中權(quán)函數(shù)W1和W3具有如下形式：

式中：a1、a2、b1、b2和b3是常數(shù)，且a2是一個很小的正數(shù)，以使控制器具有積分特性.

1.2? ?多項式外插

H∞控制本質(zhì)上仍是反饋控制，控制后系統(tǒng)必然仍有時滯存在.但采用H∞控制器對被控對象的動態(tài)性能進行修正后，系統(tǒng)將具有穩(wěn)定的動態(tài)性能，具備較強的追蹤性能和抗干擾能力，且系統(tǒng)在較寬頻率范圍內(nèi)將具有穩(wěn)定的時滯[11，15]. 通常，采用H∞控制修正后的新系統(tǒng)可看作常時滯系統(tǒng)，可采用經(jīng)典的多項式外插法將該時滯進一步消除.

本研究中，多項式外插采用性能較好的三階外插方法[19]，其表達式為：

d（ti + τ） = q1 dDi - q2 dDi-1 + q3 dDi-2 - q4 dDi-3? ? （5）

式中：q1 = 1 + 11η/6 + η2 + η3/6;q2 = 3η + 3η2/2 + η3/2;q3 = 3η/2 + 2η2 + η3/2;q4 = η/3 + η2/2 + η3/6;η = τ/Δt，τ是新系統(tǒng)的時滯，Δt是積分步長.

2? ?作動器數(shù)值模型

2.1? ?線性模型

為推進實時混合試驗的發(fā)展，由美國自然科學基金資助的混合試驗多災害工程研究體發(fā)布了實時混合試驗的Benchmark問題[20]，用于評估不同時滯補償方法的性能，尤其是魯棒性.該Benchmark問題建立在實際試驗系統(tǒng)之上，待模擬結(jié)構(gòu)是一個三層兩跨的鋼框架結(jié)構(gòu)，剛度矩陣為KS=[2.605 5，-2.313 4，0.593 7;-2.313 4，3.256 1，-1.442 0;0.593 7，-1.442 0， 0.926 7] × 107 N/m，采用集中質(zhì)量矩陣，每層質(zhì)量相同，并以底層左跨為物理子結(jié)構(gòu);同時，Benchmark提供了電液伺服作動器的線性模型，將液壓伺服閥、液壓作動筒和力/位移傳感器等元件以集中參數(shù)表示，物理子結(jié)構(gòu)是線性試件，如圖3所示. 圖中α1、 β0、 β1和β2與液壓伺服閥相關(guān)，α2與自然速率反饋相關(guān)，α3與液壓作動筒相關(guān)，mp、cp和kp是物理子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度系數(shù). 為考慮液壓傳遞系統(tǒng)、傳感器與控制實現(xiàn)硬件和試驗子系統(tǒng)等的不確定性，參數(shù)β1、β2、α3和kp采用服從標準正態(tài)分布的隨機變量來描述. 上述參數(shù)取值及其分布情況見表1.

2.2? ?考慮流量非線性的模型

作動器線性模型無法考慮加載系統(tǒng)使用過程中非線性引起的時滯變化，而流量引起的非線性在電液伺服系統(tǒng)中占主要成分. Zhao等[21]提出的作動器模型可以有效考慮上述非線性，如圖4所示. 圖中，xv是伺服閥位移，Q是流量，p是負載油壓，Ka是油的壓縮系數(shù)，Cl是油的泄露系數(shù)，A是活塞面積. 伺服閥的傳遞函數(shù)為：

式中：TPID是模擬控制器傳遞函數(shù)，通常只取比例增益;Kvp是閥的增益系數(shù);xv max是最大閥芯位移;Av是滑閥閥芯面積;K3是內(nèi)置位移傳感器靈敏度系數(shù);τ是滑閥時間常量. 流量非線性關(guān)系及作動器相關(guān)參數(shù)分別見表2和表3.

3? ?模擬結(jié)果與分析

3.1? ?作動器線性模型工況

為考察子結(jié)構(gòu)劃分對實時混合試驗穩(wěn)定性和精度的影響，Benchmark問題給出了4種子結(jié)構(gòu)劃分方式，樓層質(zhì)量分別為1 000 kg、1 100 kg、1 300 kg和1 000 kg，相應于每一種樓層質(zhì)量，對應的阻尼比分別為5%、4%、3%和3%.對每一種子結(jié)構(gòu)劃分，考慮了El Centro波、Kobe波和Morgan Hill波等3種地震動記錄，地震波的調(diào)幅均為0.4g，并分別完成了21次虛擬實時混合試驗，共計252次虛擬實時混合試驗，以驗證魯棒時滯補償方法的有效性和魯棒性.同時，本文還研究了物理子結(jié)構(gòu)進入非線性，并考慮恢復力模型為Bouc-Wen模型時補償器的性能.需要說明的是，本文采用了Kalman濾波器對含噪聲的位移信號進行濾波.

3.1.1? ?補償器設(shè)計

以圖3所示系統(tǒng)為控制對象，完成了魯棒時滯補償器的設(shè)計. 經(jīng)試算，設(shè)計H∞控制器的3個權(quán)函數(shù)為：

W3 = 1 × 10-5 s2 + 4 × 10-3 s + 5 × 10-2? ? ? ?（7）

最終，經(jīng)過29次迭代得到可行解，其中最優(yōu)γ值為1.522，相應的控制器為：

式中：n5 = 3.94 × 106，n4 = 1.703 × 109，n3 = 1.139 ×1012，n2 = 3.151 × 1014，n1 = 7.355 × 1016，n0 = 2.933 ×1018，d5 = 2.615 × 105，d4 = 2.935 × 108，d3 = 2.136 ×1011，d2 = 9.397 × 1013，d1 = 2.427 × 1016，d0 = 2.369 ×1014.

經(jīng)H∞控制器修正后系統(tǒng)的動態(tài)性能如圖5所示，為方便比較，無控系統(tǒng)的性能也在圖中給出.從圖5中可以看出，在關(guān)心的頻率范圍內(nèi)，被控后系統(tǒng)具有穩(wěn)定的幅值，且該幅值接近于0 dB，極大地改善了系統(tǒng)的追蹤性能;從時滯圖中可以看出，無控系統(tǒng)的時滯較大且變化明顯，而被控后系統(tǒng)在較寬的頻率范圍內(nèi)具有穩(wěn)定且較小的時滯.以上分析表明，被控后系統(tǒng)具有穩(wěn)定的動態(tài)性能，且可被看作常時滯系統(tǒng).被控后系統(tǒng)時滯大小為0.008 4 s，因此，在多項式外插中η = 34.406 4.

3.1.2? ?線性物理子結(jié)構(gòu)

圖6給出了在El Centro地震激勵下樓層質(zhì)量和阻尼比分別為1 000 kg和3%的實時混合試驗中作動器的追蹤性能，其中參考位移是由數(shù)值子結(jié)構(gòu)計算得到的位移.從圖6（a）中可以看出，實測位移與參考位移吻合良好;從圖6（b）可以看出，實測位移與參考位移幾乎完全重合，表明本文所提時滯補償方法具有良好的追蹤性能.

本文采用魯棒時滯補償方法的虛擬實時混合試驗結(jié)果與文獻[22]的結(jié)果進行了對比，如圖7所示.圖中結(jié)果來自在El Centro地震激勵下虛擬實時混合試驗的統(tǒng)計值.其中，誤差指標J2和J3反映了作動器的追蹤性能，分別是均方根誤差和峰值追蹤誤差;誤差指標J4、J5和J6分別是第一、第二和第三層位移的均方根誤差;J7、J8和J9分別是第一、第二和第三層的峰值誤差. J2 ～ J9的定義參見文獻[20]. 從圖7（a）中可以看出，在8個誤差指標的統(tǒng)計均值中，本文方法的最大值均小于5%，而文獻[22]的方法則均大于5%，且J4的最大值高達30%，表明本文方法具有較好的追蹤性能，可以大幅提高模擬精度.從圖7（b）可以看出，除誤差指標J6略大于文獻[22]的方法外，本文方法的方差整體上是最小的，表明本文方法具有較強的魯棒性.

3.1.3? ?非線性物理子結(jié)構(gòu)

在虛擬實時混合試驗中，記錄了非線性物理子結(jié)構(gòu)的實測位移和實測反力，得到其滯回曲線，如圖8所示. 從圖中可看出，物理子結(jié)構(gòu)進入了較強的非線性.同時，本文對252次虛擬實時混合試驗所得的均方根誤差和峰值追蹤誤差進行了統(tǒng)計分析，得到了誤差的累積分布函數(shù)，如圖9所示. 從圖中可看出，均方根誤差的范圍為0.6%～1.3%，而峰值追蹤誤差則為0.7%～1.5%;且當概率小于0.8時，均方根誤差和峰值追蹤誤差的值分別小于1%和1.25%.值得說明的是，采用魯棒時滯補償方法后，系統(tǒng)的計算時滯為0 ms.由于試件非線性的影響可歸為模型的參數(shù)不確定性和未建模動態(tài)特性，而H∞控制可以很好地處理這些不確定性，因此本文方法對非線性試件依然具有較強的追蹤能力.

本節(jié)采用結(jié)構(gòu)第三層位移響應來討論實時混合試驗的模擬精度.由樣本統(tǒng)計和核密度估計[23]得到的均方根誤差和峰值誤差的統(tǒng)計直方圖與概率密度函數(shù)曲線如圖10所示，其中，在對概率密度進行估計時，核密度估計方法的核函數(shù)為正態(tài)分布函數(shù)，窗寬由樣本的數(shù)目確定.從圖中可以看出，采用核密度估計得到的兩種誤差指標的概率密度函數(shù)與由樣本統(tǒng)計得到的直方圖具有較好的一致性，且均方根誤差和峰值誤差的分布范圍較小，分別集中在0%～7%和0%～5%.同時，從圖中可以看出，均方根誤差大于10%和峰值誤差大于6%的概率遠小于0.05.結(jié)果表明，采用魯棒時滯補償方法的實時混合試驗，模擬結(jié)果的精度得到了很大改善，且表現(xiàn)出較強的魯棒性.

3.2? ?作動器非線性模型工況

在本工況中，參考結(jié)構(gòu)是一個三層單跨的鋼框架結(jié)構(gòu)，并在底層安裝有一磁流變阻尼器.參考結(jié)構(gòu)每層的質(zhì)量為20 250 kg，剛度矩陣為KS = [9.933 3，-5.662，0;-5.662，1.134，-5.662;0，-5.662 ，5.662]×106 N/m，阻尼矩陣C = [724 2，-206 9，0;-206 9，

4 139，-206 9;0，-2 069，2 069] Ns/m.物理子結(jié)構(gòu)為磁流變阻尼器，采用Bouc-Wen模型描述，即：

f = αb z + cb x? ? ? ? （9）

式中：αb = 2 888.78 N;cb = 6 400 N/A2;γz = 200/m;βz = 200/m;n = 2，p = 5 000/m.

3.2.1? ?補償器設(shè)計

在進行虛擬混合之前，對試驗系統(tǒng)輸入幅值為0.01 m、頻率為0～40 Hz的正弦掃頻信號，識別得到試驗系統(tǒng)的線性數(shù)值模型為：

之后，以式（11）為控制對象，進行補償器設(shè)計.經(jīng)試算，設(shè)計H∞控制器的3個權(quán)函數(shù)為：

經(jīng)過26次迭代得到可行解，其中最優(yōu)γ值為0.783，相應的控制器為：

此時，新系統(tǒng)的時滯大小為0.007 8 s. 因此，在多項式外插中，η = 7.8.

3.2.2? ?模擬結(jié)果分析

在El Centro地震激勵下，作動器的追蹤性能如圖11所示. 從圖11（a）中可以看出，作動器的測量位移與期望位移吻合良好;從11（b）的局部放大圖可以看出，二者完全重合，表明作動器具有較強的追蹤性能;從圖11（c）給出了期望位移與測量位移的關(guān)系圖，其中直線斜率為45°，進一步表明，魯棒時滯補償方法在處理作動器非線性和物理子結(jié)構(gòu)非線性時依然具有較強的追蹤性能.

4? ?結(jié)? ?論

為改善實時混合試驗的穩(wěn)定性，提高模擬精度，提出了魯棒時滯補償方法，并將其應用于解決線性問題的時滯補償.基于前期工作，本文針對非線性問題開展了深入細致的研究，主要結(jié)論如下：

1）經(jīng)H∞控制后試驗系統(tǒng)的時滯明顯減小，動態(tài)性能得到了極大改善;在關(guān)心的頻率范圍內(nèi)，新系統(tǒng)可近似看作常時滯系統(tǒng)，且該時滯可采用多項式外插進一步消除.

2）考慮液壓傳遞系統(tǒng)、傳感器與控制硬件以及物理子結(jié)構(gòu)等的不確定性和非線性時，經(jīng)本文方法修正后的試驗系統(tǒng)依然可幾乎完全實現(xiàn)期望位移，使實時混合試驗的模擬精度大幅提高，且表現(xiàn)出較強的魯棒性.

3）雖然魯棒時滯補償方法具有較強的追蹤性能和魯棒性，但本文只完成了數(shù)值研究，該方法在真實試驗中的性能有待進一步驗證.

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