吳娟

一、旋轉(zhuǎn)與計算

例1（2021·重慶）如圖1，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M為AD上一點，連接OM，過點O作ON⊥OM，交CD于點N.若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為（ ）.

A. 1? ? ? B. [2]? ? ? C. 2? ? ? ? D. 2[2]

解析：由題設(shè)條件可知，將△DON逆時針旋轉(zhuǎn)90°后與△AOM重合，因此S△AOD = S△AOM + S△DOM = S△DON + S△DOM = S四邊形MOND = 1，所以正方形ABCD的面積為4，則AB的長為2. 故選C.

點評：本題中并沒有“旋轉(zhuǎn)”的字眼，但應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的思想，抓住正方形的特征，“無中生有”地轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)問題，使問題迅速得到了解決.

二、旋轉(zhuǎn)與推理

例2（2021·浙江·麗水）如圖2，在菱形ABCD中，∠ABC是銳角，E是BC邊上的點，將射線AE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交直線CD于點F.當(dāng)AE⊥BC，∠EAF = ∠ABC時，求證：AE = AF.

解析：因為四邊形ABCD是菱形，∴AB = AD，∠ABC = ∠ADC，AD[?]BC. ∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠ABE + ∠BAE = ∠EAF + ∠DAF = 90°. ∵∠EAF = ∠ABC，∴∠BAE = ∠DAF，∴△ABE ≌△ADF（ASA），∴AE = AF.

點評：全等三角形是證明兩條線段相等最基本、最有力的武器.

三、旋轉(zhuǎn)與探究

例3（2021·浙江·嘉興）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動：將一個矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°<α ≤90°），得到矩形AB′C′D′，如圖3，連接BD，AC′，過點D′作D′M[?]AC′，交BD于點M. 線段D′M與DM相等嗎？請說明理由.

解析：DM' = DM.

理由如下：連接DD'.∵D'M[?]AC'，∴∠AD'M = ∠D'AC'.

∵AD' = AD，∠AD'C' = ∠DAB = 90°，D'C' = AB，∴△AC'D'≌△DBA（SAS），∴∠D'AC' = ∠ADB，∴∠ADB = ∠AD'M. ∵AD' = AD，∴∠ADD' = ∠AD'D，∴∠MDD' = ∠MD'D，∴D'M = DM.

點評：本題是結(jié)論探索型問題，解決這類問題首先要通過觀察、測量、畫圖等合情推理的手段得到正確的結(jié)論，再用演繹推理的方法來說明結(jié)論的正確性.

（作者單位：江蘇省興化市安豐初級中學(xué)）