楊雨薇，胡 陟，章 偉

(上海工程技術大學 機械與汽車工程學院，上海201620)

0 引 言

近年來，四旋翼無人機由于其體積小、機動性強、具有靈活性等特點，得到了研究者們的廣泛關注和研究，無人機的諸多性能指標飛速提高，控制技術得到極大的發(fā)展，其在軍事和民用領域發(fā)展十分迅速。在日常的生活中如航拍、空中載物、偵察監(jiān)測等各個方面逐步普及［1］。由于無人機內部結構精細，同時存在機載環(huán)境的溫度變化，機械振動等客觀因素，無人機較易發(fā)生損傷或失效，導致系統(tǒng)出現(xiàn)故障［2］。為了更大范圍的降低損失，快速檢測判斷無人機是否發(fā)生故障，保證系統(tǒng)安全性尤為重要［3］。

無人機故障通常分為執(zhí)行器故障與傳感器故障。目前為止，對具有執(zhí)行器故障系統(tǒng)的研究和四旋翼無人機執(zhí)行器故障問題有很好的借鑒意義。Chadli等人設計了H／H∞觀測器對故障進行觀測［4］；為了提高觀測器對噪聲和干擾的魯棒性，湯文濤、胡志坤等人通過設計未知輸入觀測器對干擾和噪聲進行解耦，實現(xiàn)了故障檢測與分離［5］；王振華等人通過將故障視為輔助狀態(tài)向量來構造增強系統(tǒng)，基于增強系統(tǒng)設計觀測器，解決了離散線性系統(tǒng)描述符系統(tǒng)的執(zhí)行器故障估計問題［6］；葉慧等人采用小波變換，不依賴系統(tǒng)模型，提高了故障的可分離性［7］；宮勛等針對四旋翼無人機可能存在執(zhí)行器故障的情況，使用并行降維觀測器構建檢測與重構算法，有效地實現(xiàn)對執(zhí)行器故障的檢測并將出現(xiàn)故障的執(zhí)行器進行隔離，此外該控制算法的應用可以有效地抑制擾動［8］；有文獻提出了一種新的基于自適應觀測器的執(zhí)行器故障估計方法［9］。然而以上文獻考慮的問題主要集中在執(zhí)行器故障的穩(wěn)定控制問題，并且取得了很好的控制效果，但是四旋翼無人機性能沒有得到足夠的重視。文獻針對執(zhí)行器故障檢測，提出基于中心對稱多胞體的一種故障診斷與分離的方法，根據(jù)一般的離散數(shù)學模型設計未知輸入觀測器，與原值對比得到殘差信號，基于中心對稱多胞體形成故障范圍閾值，通過殘差與閾值的比較，完成故障診斷［10］。但該文獻也只考慮了普通執(zhí)行器的故障問題，通常四旋翼無人機的模型為一個六維的連續(xù)方程組，本文在此基礎上，完成了模型的離散化與維度的擴展，并通過仿真實驗證明，該算法對于四旋翼無人機的2種不同執(zhí)行器故障模型的檢測是有效的。

1 四旋翼無人機系統(tǒng)物理模型建立

為了便于四旋翼無人機的數(shù)學模型建立，且不失一般性，可做如下假設［11］:

（1）四旋翼無人機為剛性結構，運動過程中質量保持不變；

（2）四旋翼無人機結構完全對稱；

（3）地面坐標為慣性坐標系，不計重力加速度隨高度的變化，不計地球曲率；

（4）電機的電壓-力矩函數(shù)為線性函數(shù)；

（5）四旋翼無人機的質心嚴格位于結構中心。

四旋翼無人機飛行姿態(tài)動力學模型，對其泰勒展開并做適當?shù)慕匚蔡幚淼玫饺缦孪到y(tǒng)模型［12］，式（1）:

將模型（1）表示成一般的線性動態(tài)方程，式（2）:

其中，A、B、C為適當維數(shù)的系統(tǒng)矩陣。狀態(tài)向量為輸出向量 為y＝［θ φ ψ］T； 控 制 輸 入 為u＝［Δu1Δu2Δu3Δu4］T。

2 四旋翼無人機執(zhí)行器故障系統(tǒng)數(shù)學模型

2.1 執(zhí)行器故障特征描述

執(zhí)行器由于外部干擾，潤滑失效等現(xiàn)象會產(chǎn)生故障。按執(zhí)行器故障的特點與嚴重程度，可分為突變加性故障、緩慢時變故障。

四旋翼無人機有多個執(zhí)行器，第i個執(zhí)行器發(fā)生故障時，其數(shù)學模型可表示為:

（a）突變加性故障fi＝b，其中，b為常量。

（b）緩慢時變故障fi＝ηi（t-ts），其中，ηi表示第i個執(zhí)行器的故障系數(shù)，為常量；ts為故障的起始時刻；t為故障發(fā)生的任意時刻。

2.2 中心對稱多胞體

中心對稱多胞體的符號定義及其特性:

中心對稱多胞體集合??Rn是一種特殊的凸多面體，首先給出中心對稱多胞體的數(shù)學定義:

定義一個r維中心對稱多胞體??Rn定義為以p∈Rn為中心的r維單位立方體Br＝［-1，+1］r的仿射變換，即式（5）:

其中，矩陣H∈Rn×r稱為?的生成矩陣，其決定了?的形狀和大小。

中心對稱多胞體的主要性質［14］有:

性質:給定中心對稱多胞體?＝〈p，H〉，則有式（4）～（6）:

其中:p，p1，p2∈Rn，H，H1，H2∈Rn；⊙表示線性映射；L∈Rl×n為適當維數(shù)的矩陣；H-∈Rn×n是對角矩陣；其對角元素為

2.3 四旋翼無人機帶有執(zhí)行器故障的模型

首先對系統(tǒng)（2）做離散化處理:

其中，x（k）∈Rnx是狀態(tài)向量；u（k）∈Rnu是輸入向量；y（k）∈Rny是輸出向量；D1，D2為已知適當維數(shù)的矩陣；ω（k），υ（k）分別為系統(tǒng)受到的未知干擾與噪聲。

考慮系統(tǒng)存在執(zhí)行器故障時的離散時間線性模型表示為式（8）:

式中，F(xiàn)為已知的故障矩陣，f（k）∈Rnf表示執(zhí)行器故障。

假設，四旋翼無人機系統(tǒng)有且只有一個執(zhí)行器發(fā)生故障，第i個執(zhí)行器發(fā)生故障時的系統(tǒng)模型為式（9）:

其中，F(xiàn)i表示故障矩陣F的第i列。

3 執(zhí)行器故障檢測

3.1 未知輸入觀測器設計

未知輸入觀測器本質上是針對不確定系統(tǒng)設計的觀測器，通常這類不確定系統(tǒng)可以描述為式（10）:

該類系統(tǒng)與嚴格正則的線性系統(tǒng)相比多出了一個Ed的未知輸入項。式中，E為未知輸入分布矩陣，d為未知干擾向量。在未知輸入觀測器的設計中，為了消除未知干擾d的影響，需要對干擾進行重構并完成解耦。

根據(jù)系統(tǒng)（7），得到:

為了消除干擾ω（k），必須滿足式（12）:

才能達成完全重構干擾項的目的。在這個條件下，存在Mcd，式（13）:

用Mcd同時乘以式（11）的左右兩邊，得式（14）:

即可以估計得到式（15）:

設計Luenberger觀測器，式（16）:

觀測器方程中，無法事先知道y（k+1）。故假設:

代入（15）得式（19）:

令P＝TG-LC，J＝TK，Q＝D1Mcd，故未知輸入觀測器方程為可以簡化為式（20）:

殘差信號可以表示為式（21）:

命題3.1［10］如果存在（I-QC）D1＝0，可得式（22）:

命題3.2［15］方程（I-QC）D1＝0的充要條件為式（23）:

故有:

式（20）是系統(tǒng)（7）的未知輸入觀測器的必要條件為:rank（CD1）＝rank（D1），（C，G1）矩陣對可觀測，

其中:

滿足以上條件的情況下，可以計算出相應的未知輸入觀測器設計參數(shù)矩陣。

3.2 四旋翼無人機執(zhí)行器故障的區(qū)間估計

考慮帶有第i個執(zhí)行器發(fā)生故障的系統(tǒng)（9），設計相應觀測器進行故障解耦。設計觀測器如式（26）:

式中，zi（k）∈Rnx表示第i個未知輸入觀測器的狀態(tài)變量表示第i個未知輸入觀測器的狀態(tài)估計值；矩陣Pi，Q，Li為帶設計矩陣，且Pi，Li滿足式（27）:

由式（21）可知，第i個執(zhí)行器故障時，狀態(tài)估計誤差為式（28）:

已設計好的觀測器的殘差生成器為式（29）:

在進行故障檢測之前，首先需要滿足以下假設:

（1）系統(tǒng)（9）的未知輸入干擾項滿足:

（2）系統(tǒng)（9）的噪聲項滿足:

（3）系統(tǒng)（9）的狀態(tài)估計誤差初值滿足:

命題3.3［10］對于離散系統(tǒng)（9），若滿足上述假設，則存在合適的觀測器增益Li，使得k+1時刻地估計誤差為ei（k+1）∈〈0，Hei（k+1）〉，殘差滿足ri（k）∈〈0，Hri（k）〉，其中，中心對稱多胞體的生成矩陣為式（30）和式（31）:

通常在使用中心對稱多胞體對故障進行檢測分析時，生成多胞體?的維數(shù)會不斷地增加，因此，需要對其進行完成降維處理［16］。所以在無故障的情況下，殘差滿足式（32）:

通過中心對稱多胞體生成不考慮故障時的最大包絡，將其作為閾值。

4 仿真實驗

本次實驗采用無人機相關參數(shù)在MATLAB上進行仿真。取仿真采樣周期為Δt＝0.01 s，則離散方程（7）中相應的系統(tǒng)矩陣為:

在本次研究中，?。?6］:

在滿足McdCD1＝Ikd×kd的前提下解Mcd，Q，T:

四旋翼無人機模型系統(tǒng)滿足（I-QC）D1＝0，矩陣G1為:

經(jīng)檢驗，G1滿足（C，G1）可觀測的假設。

通過MATLAB工具箱對合適的極點進行極點配置，即可以求得觀測器的增益矩陣L以及P為:

假設執(zhí)行器1在k＝50時發(fā)生突變故障，執(zhí)行器2在k＝50時發(fā)生緩慢時變故障:

當執(zhí)行器1發(fā)生突變故障時仿真結果如圖1所示。顯然，圖1中存在有殘差超過相應的閾值范圍，因此本文研究的算法可以適用于執(zhí)行器的突變故障分析。當執(zhí)行器2發(fā)生緩慢時變故障時，故障診斷結果如圖2所示，同樣地，發(fā)生緩慢時變故障時依舊能夠很快速地診斷出該故障。

圖1 突變故障診斷結果Fig.1 Abrupt fault diagnosis result

圖2 緩慢時變故障診斷結果Fig.2 Slow time-varying fault diagnosis result

5 結束語

本文針對發(fā)生不同執(zhí)行器故障的四旋翼無人機提出了基于中心對稱多胞體形成閾值的方法進行故障檢測。首先根據(jù)實際力學方程建立無人機系統(tǒng)模型，利用泰勒展開得到無人機的線性動態(tài)方程。通過設計全維未知輸入觀測器得到執(zhí)行器的故障估計，利用中心對稱多胞體形成故障閾值區(qū)間，通過分析比較故障值與故障區(qū)間對執(zhí)行器故障進行檢測。根據(jù)本文設計的檢測算法，在MATLAB平臺上成功的檢測了執(zhí)行器發(fā)生的兩種不同故障。本文研究的故障類型僅限于突變故障和緩慢時變故障，其它類型的故障還有待研究。