汪 恒,何 源,何 勇,郭 磊,王傳婷,徐 濤

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

殺傷面積能綜合反映出破片速度、質(zhì)量和空間分布以及戰(zhàn)斗部落速、落角、炸高等終點(diǎn)彈道因素對(duì)威力的影響,是殺爆戰(zhàn)斗部毀傷威力的重要指標(biāo)之一[1]。所以在戰(zhàn)斗部指標(biāo)設(shè)計(jì)過(guò)程中,獲得更大的殺傷面積是戰(zhàn)斗部設(shè)計(jì)者關(guān)注的重點(diǎn),因此對(duì)殺傷面積的求解以及末彈道參數(shù)的最優(yōu)化處理顯得尤為重要。

目前可以通過(guò)數(shù)值仿真計(jì)算戰(zhàn)斗部殺傷面積[2],但仿真計(jì)算運(yùn)算周期較長(zhǎng),很難通過(guò)此方法得到最優(yōu)的末彈道參數(shù)。另一種求解方式是采用理論模型對(duì)殺傷面積進(jìn)行計(jì)算,通過(guò)概率密度函數(shù)描述破片的空間分布,得到殺傷面積函數(shù)[3],將殺傷面積函數(shù)看做優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)[4],利用傳統(tǒng)優(yōu)化方法對(duì)戰(zhàn)斗部結(jié)構(gòu)進(jìn)行最優(yōu)化運(yùn)算。但事實(shí)上破片分布密度是不確定的,利用概率密度函數(shù)描述破片空間分布會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確[5],特別是對(duì)破片空間分布不滿(mǎn)足概率密度函數(shù)的戰(zhàn)斗部來(lái)說(shuō),這種方法并不實(shí)用[6]。有的學(xué)者利用射擊跡線(xiàn)描述破片飛散實(shí)際軌跡[7],避免了上述方法描述破片空間分布的不準(zhǔn)確性。

本文基于合理假設(shè),利用破片的初始狀態(tài)計(jì)算破片落點(diǎn),統(tǒng)計(jì)地面網(wǎng)格中的有效破片數(shù),對(duì)戰(zhàn)斗部在不同末彈道參數(shù)下的殺傷面積進(jìn)行了準(zhǔn)確計(jì)算,但以上方法利用了地面微元內(nèi)有效破片數(shù)這一統(tǒng)計(jì)量,使計(jì)算得到的地面微元內(nèi)的殺傷概率為離散值,導(dǎo)致殺傷面積公式無(wú)法作為優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)。目前常采用枚舉法處理上述問(wèn)題,但枚舉法計(jì)算量巨大,因此本文利用極限學(xué)習(xí)機(jī)(extreme learning machine,ELM)描述末彈道參數(shù)與殺傷面積之間的復(fù)雜關(guān)系,對(duì)末彈道參數(shù)進(jìn)行快速枚舉。

1 殺爆戰(zhàn)斗部毀傷計(jì)算模型

1.1 動(dòng)態(tài)條件下破片飛散

為便于建模分析,做如下假設(shè):①破片在飛散過(guò)程中只受到空氣阻力的作用;②破片在空間中的飛行軌跡為直線(xiàn);③不考慮攻角對(duì)殺傷面積的影響。

建立殺爆戰(zhàn)斗部隨動(dòng)坐標(biāo)系Oxyz,如圖1所示。圖中,戰(zhàn)斗部起爆點(diǎn)位置O為坐標(biāo)系原點(diǎn),d為戰(zhàn)斗部頭部到起爆點(diǎn)的距離,v0為破片靜態(tài)初速,φv為破片靜態(tài)飛散方向角,vc為戰(zhàn)斗部落速,dA為A位置破片與戰(zhàn)斗部頭部的距離,R為A位置與戰(zhàn)斗部軸線(xiàn)的距離,點(diǎn)Axy為點(diǎn)A在Oxy平面的投影,θ為OAxy與Ox軸的夾角。

利用速度矢量和得到破片動(dòng)態(tài)飛散方向角φ以及破片動(dòng)態(tài)飛散速度v:

(1)

(2)

考慮戰(zhàn)斗部形狀,某一破片A飛散運(yùn)動(dòng)方程在Oxyz坐標(biāo)系中各個(gè)軸上的投影為

(3)

建立地面坐標(biāo)系O′x′y′z′,其中O′為原點(diǎn)O在地面上的投影,O′x′y′為地面,O′x′軸為戰(zhàn)斗部速度水平分量的方向。將圖1中破片的初始狀態(tài)以及炸高H和落角α引入到該坐標(biāo)系中,得到如圖2所示的破片飛散模型。

圖1 破片飛散初始狀態(tài)

圖2 破片飛散模型

A位置的破片在O′x′y′z′坐標(biāo)系中的初始運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

確定方程(4)中角度θ、落角α、炸高H,破片位置到戰(zhàn)斗部軸線(xiàn)的距離R,以及破片動(dòng)態(tài)飛散方向角φ和破片動(dòng)態(tài)飛散速度v就能得到破片落點(diǎn)。

1.2 殺傷面積模型

殺傷面積是地面上任意一點(diǎn)A′(x′,y′)的殺傷概率P(x′,y′)與微元面積ΔS=ΔxΔy的加權(quán)面積,其中Δx和Δy分別為地面笛卡爾網(wǎng)格在x′方向與y′方向上的增量,殺傷面積可表示為

S=∑P(x′,y′)ΔS

(5)

ΔS為單個(gè)目標(biāo)所占平均面積,目標(biāo)相同時(shí)為定值;微元面積內(nèi)殺傷概率P(x′,y′)按下列公式計(jì)算:

(6)

式中:Ns為目標(biāo)毀傷時(shí)最小命中破片數(shù),人員目標(biāo)為1枚;NK為微元面積ΔS內(nèi)滿(mǎn)足殺傷準(zhǔn)則的破片數(shù),本文采用殺傷動(dòng)能準(zhǔn)則作為模型的殺傷準(zhǔn)則,破片在到達(dá)目標(biāo)時(shí)動(dòng)能超過(guò)78.4 J,則認(rèn)為該枚破片能夠達(dá)到對(duì)人員目標(biāo)的殺傷作用[5],破片速度衰減規(guī)律可由以下公式得到[8]:

(7)

式中:vp為破片存速,rf為破片飛行距離,mp為破片質(zhì)量,Hx是與破片形狀有關(guān)的系數(shù)。ST為目標(biāo)的暴露面積,通過(guò)以下公式計(jì)算[9]:

(8)

2 基于極限學(xué)習(xí)機(jī)的模型

ELM是一種單層隱含前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(SLFN)的學(xué)習(xí)算法,這種算法可以自適應(yīng)地設(shè)置隱層節(jié)點(diǎn)數(shù),并隨機(jī)分配輸入權(quán)值與隱層閾值,隱含層和輸出層之間的連接權(quán)值通過(guò)求解方程組一次完成。由于ELM不需要調(diào)整網(wǎng)絡(luò)輸入權(quán)值和隱藏偏差,使其具有學(xué)習(xí)速度快、泛化性能好等優(yōu)點(diǎn)[10]。與通過(guò)理論模型計(jì)算殺傷面積不同,ELM通過(guò)隱藏節(jié)點(diǎn)直接描述末彈道參數(shù)與殺傷面積數(shù)值之間的關(guān)系,對(duì)殺傷面積進(jìn)行求解。

現(xiàn)將隨機(jī)選取的N組訓(xùn)練集引入到具有L個(gè)隱藏節(jié)點(diǎn)的SLFN中,訓(xùn)練集中末彈道參量輸入矩陣X和對(duì)應(yīng)的殺傷面積輸出矩陣Y為

(9)

式中:n為末彈道參數(shù)組號(hào)。將權(quán)值和偏差考慮到末彈道參量輸入矩陣中,根據(jù)任意的概率分布函數(shù),隨機(jī)生成輸入矩陣相對(duì)于隱含層節(jié)點(diǎn)的權(quán)值wi和偏差bi,表示為

(10)

式中:win1,win2和win3分別為第n組末彈道參數(shù)對(duì)第i層隱含層的權(quán)重;bin為第n組末彈道參數(shù)對(duì)第i層隱含層的偏差。當(dāng)以wiX+bi為自變量,ELM中激活函數(shù)采用sigmoid函數(shù)時(shí),可以得到ELM第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)輸出hi為

(11)

此時(shí),可以得到ELM的輸出為

(12)

(13)

(14)

式中:βi為第i個(gè)隱含層對(duì)輸出層的權(quán)重,權(quán)重值可以通過(guò)隱含層輸出矩陣M(X)和殺傷面積結(jié)果得到:

βi=(MT)+·YT

(15)

文獻(xiàn)[11]表示只要隱藏節(jié)點(diǎn)的數(shù)目足夠,且當(dāng)激活函數(shù)在任何時(shí)間間隔無(wú)限可微時(shí),ELM的其余參數(shù)不需要調(diào)整。本文采用決定系數(shù)Ω2對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià):

(16)

式中:S′n為第n個(gè)樣本的預(yù)測(cè)值;Sn為第n個(gè)樣本的真實(shí)值。決定系數(shù)區(qū)間在[0,1]內(nèi),且越接近1,表明模型的性能越好,反之越差。利用ELM求解殺傷面積的計(jì)算流程,如圖3。圖中,X1為訓(xùn)練集輸入,Y1為訓(xùn)練集輸出,X2為測(cè)試集輸入,Y2為測(cè)試集輸出,Xg1,Yg1和Xg2分別為X1、Y1和X2歸一化后的結(jié)果,Y′g1為測(cè)試集輸入X2在ELM計(jì)算后的結(jié)果,Y′2為Y′g2反歸一化后的結(jié)果。

圖3 ELM計(jì)算流程圖

3 結(jié)果與分析

3.1 破片飛散參數(shù)

文獻(xiàn)[12]采用文獻(xiàn)[13]中求解殺傷面積的方法得到了與試驗(yàn)結(jié)果符合較好的結(jié)果。說(shuō)明文獻(xiàn)[13]中計(jì)算結(jié)果可靠,本文模型求解的殺傷面積與文獻(xiàn)[13]中數(shù)據(jù)的對(duì)比結(jié)果如表1。

表1 計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果比較

由表1可知,本文模型求解結(jié)果相對(duì)于文獻(xiàn)中數(shù)據(jù)的誤差較小,說(shuō)明本文ELM方法用于計(jì)算殺傷面積合理可靠。利用文獻(xiàn)[14]中戰(zhàn)斗部靜止端點(diǎn)起爆,鎢球預(yù)制破片初速和飛散方向角的數(shù)值仿真結(jié)果作為本文的破片飛散參數(shù),破片飛散參數(shù)如圖4。

圖4 破片飛散參數(shù)

戰(zhàn)斗部尾部端點(diǎn)起爆時(shí),戰(zhàn)斗部頭部到起爆點(diǎn)的距離d表示的就是戰(zhàn)斗部總長(zhǎng)度。此外,下文中通過(guò)本文建立的殺傷面積模型得到的結(jié)果,針對(duì)的都是文獻(xiàn)[14]中提到的飛散參數(shù),如圖4所示的鎢球預(yù)制破片戰(zhàn)斗部。

將初始參數(shù)以及不同的末彈道參量代入到上文中的殺傷面積模型中,得到戰(zhàn)斗部落速每隔10 m/s,從10 m/s變化到250 m/s,落角每隔5°,從60°變化到90°,炸高每隔1 m,從3 m變化到9 m時(shí)的殺傷面積,為ELM提供1 225個(gè)源數(shù)據(jù)。

3.2 影響ELM求解結(jié)果的因素

在用ELM求解殺傷面積之前,需要討論ELM模型中激活函數(shù)類(lèi)型和隱藏節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)求解精度的影響,使計(jì)算選取的激活函數(shù)和隱藏節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)符合精度要求。除了上文提到的sigmoid激活函數(shù),常用的激活函數(shù)還有正弦函數(shù)和hardlim函數(shù),當(dāng)輸入為負(fù),hardlim函數(shù)值為0,否則函數(shù)值為1。改變ELM中隱藏節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù),利用3種激活函數(shù)得到結(jié)果的決定系數(shù)如圖5所示。

圖5 決定系數(shù)與節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系

從圖5中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)ELM隱藏節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)到達(dá)200個(gè)后,sigmoid函數(shù)和正弦函數(shù)得到結(jié)果的決定系數(shù)已達(dá)到0.98以上,且sigmoid函數(shù)得到的決定系數(shù)較正弦函數(shù)高,而hardlim函數(shù)得到結(jié)果的決定系數(shù)較前兩種函數(shù)低。不僅如此,在改變決定系數(shù)個(gè)數(shù)時(shí),hardlim函數(shù)得到的決定系數(shù)值波動(dòng)較大,而sigmoid函數(shù)結(jié)果穩(wěn)定性較好。因此,本文利用sigmoid激活函數(shù)求解殺傷面積,為在保證精度的前提下加快求解速度,隱藏節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)選擇300個(gè),此時(shí)ELM訓(xùn)練結(jié)果誤差為

(17)

得到預(yù)測(cè)值S′n與真實(shí)值Sn的誤差如圖6。圖中,f為ELM訓(xùn)練結(jié)果誤差的出現(xiàn)頻次。

圖6 ELM誤差

圖6結(jié)果表示,激活函數(shù)為sigmoid函數(shù),隱藏節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為300個(gè)時(shí),真實(shí)值與ELM學(xué)習(xí)結(jié)果之間的誤差絕大部分在10%以?xún)?nèi),極少出現(xiàn)大于10%的誤差,ELM學(xué)習(xí)結(jié)果有效且可信。

3.3 通過(guò)ELM優(yōu)化末彈道參數(shù)

隨機(jī)將部分?jǐn)?shù)據(jù)作為學(xué)習(xí)集輸入ELM,對(duì)ELM進(jìn)行訓(xùn)練,再通過(guò)訓(xùn)練完成后的ELM對(duì)落速每隔0.1 m/s從10 m/s變化到250 m/s,落角每隔2.5°從60°變化到90°,炸高每隔0.1 m從3 m變化到9 m時(shí)的殺傷面積進(jìn)行計(jì)算,ELM可在極短時(shí)間之內(nèi)計(jì)算出上述1 903 993種參數(shù)組合的結(jié)果,圖7展示了落角分別為60°,70°,80°和90°時(shí)ELM的計(jì)算結(jié)果。

圖7 ELM計(jì)算結(jié)果

從圖7中看到,落角為60°和70°時(shí),炸高和落速的變化引起的殺傷面積變化很小,殺傷面積圖像幾乎為一個(gè)平面;但當(dāng)落角較大,特別是落角為90°時(shí),從圖中顏色的變化可以發(fā)現(xiàn),隨著落速增大,殺傷面積在達(dá)到最大值前迅速變化,之后變化緩慢,隨著炸高增大,殺傷面積在達(dá)到最大值之前緩慢變化,而后變化迅速。

這是因?yàn)槁浣禽^小時(shí),戰(zhàn)斗部遠(yuǎn)離地面的一側(cè)的破片大多飛向空中,由于此時(shí)能造成毀傷的破片較少,不論如何改變落速或炸高,有效破片僅在靠近地面一側(cè)的破片中增多;而落角較大時(shí),原先遠(yuǎn)離地面一側(cè)的破片也會(huì)形成有效殺傷,此時(shí)再改變落速或者炸高,有效破片不論是遠(yuǎn)離地面的一側(cè),還是在靠近地面的一側(cè)都會(huì)增加,增量更大,因此此時(shí)落速和炸高對(duì)殺傷面積的影響越大。

上述現(xiàn)象表明:為減小引信起爆高度誤差對(duì)殺傷面積的影響,引信起爆時(shí),戰(zhàn)斗部的落速應(yīng)較最佳落速更大,炸高應(yīng)較最佳炸高更小。

從圖7結(jié)果還可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)戰(zhàn)斗部落角為60°,炸高在7～9 m,落速在10～50 m/s區(qū)域內(nèi)時(shí)對(duì)應(yīng)的殺傷面積更大;但是當(dāng)落角變?yōu)?0°,炸高在3～5 m、落速在10～50 m/s區(qū)域內(nèi)以及炸高在7～9 m、落速在150～250 m/s區(qū)域內(nèi)時(shí),都會(huì)出現(xiàn)較大的殺傷面積區(qū)域;落角為80°時(shí),殺傷面積較大區(qū)域出現(xiàn)在炸高為3～5 m,落速在150～250 m/s區(qū)域內(nèi);但落角為90°,殺傷面積較大區(qū)域卻出現(xiàn)在了炸高在3～5 m,落速在10～50 m/s的區(qū)域內(nèi)。利用ELM得到各個(gè)落角狀態(tài)下殺傷面積以及對(duì)應(yīng)的落速和炸高,如表2所示。

表2 落角為定值時(shí)ELM得到的最優(yōu)末彈道參數(shù)

由表2結(jié)果可以看到,通過(guò)合理優(yōu)化落速和炸高,隨著落角增大,戰(zhàn)斗部最大殺傷面積增加,最大殺傷面積對(duì)應(yīng)的落速和炸高可以直接通過(guò)ELM得到。但從落角、落速和炸高三個(gè)方面同時(shí)評(píng)估殺傷面積時(shí),通過(guò)ELM得到殺傷面積如表3所示。

表3 ELM得到的最優(yōu)末彈道參數(shù)

通過(guò)比較ELM解得的最優(yōu)末彈道參數(shù)與源數(shù)據(jù)殺傷面積所對(duì)應(yīng)的末彈道參數(shù)發(fā)現(xiàn),雖然兩者得到的炸高相同,落角相差2.5°,僅落速相差較大,但通過(guò)ELM得到的最大殺傷面積明顯優(yōu)于源數(shù)據(jù)結(jié)果,說(shuō)明ELM結(jié)果能夠有效改善戰(zhàn)斗部殺傷面積。

ELM方法不僅結(jié)果優(yōu)于源數(shù)據(jù)結(jié)果,其計(jì)算速度也比直接利用殺傷面積模型計(jì)算源數(shù)據(jù)更快,兩者計(jì)算耗時(shí)如表4所示。

表4 ELM和本文建立的殺傷面積模型計(jì)算時(shí)間

由表4可知,雖然ELM求解時(shí)間隨著求解數(shù)增加而增加,但其所耗時(shí)間都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1 s,直接利用殺傷面積模型進(jìn)行求解1 200個(gè)結(jié)果需要花費(fèi)近14 h?？梢?jiàn),隨著求解數(shù)量的增加,ELM求解速度優(yōu)勢(shì)越明顯。

3.4 ELM對(duì)大落速戰(zhàn)斗部的優(yōu)化方案

文獻(xiàn)[14]采用的是火箭彈戰(zhàn)斗部,落速較低,而很多戰(zhàn)斗部的落速要高很多,現(xiàn)研究某戰(zhàn)斗部在較大落速時(shí)的最優(yōu)化方案。某高落速戰(zhàn)斗部的破片初速和飛散方向角沿軸向分布如圖8所示。

圖8 破片初速和飛散方向角沿軸向分布

該戰(zhàn)斗部外輪廓不光滑,有2個(gè)斷點(diǎn),因此破片飛散方向角存在2個(gè)突變的位置。

落角為90°,炸高每隔1 m從25 m變化到40 m,落速每隔10 m/s從400 m/s變化到600 m/s,利用計(jì)算殺傷面積模型求解殺傷面積的336個(gè)結(jié)果;炸高每隔0.05 m從25 m變化到40 m,落速每隔0.05 m/s從400 m/s變化到600 m/s,利用學(xué)習(xí)完成的ELM計(jì)算殺傷面積的1 204 301個(gè)結(jié)果,如圖9所示。

圖9 殺傷面積結(jié)果云圖

落角為90°,通過(guò)ELM優(yōu)化得到的落角和炸高結(jié)果如表5所示。

表5 ELM得到的最優(yōu)末彈道參數(shù)

從優(yōu)化結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),通過(guò)ELM優(yōu)化后的殺傷面積更大,落速和炸高的數(shù)值更精確。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)與文獻(xiàn)中殺傷面積實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果的比較,可以發(fā)現(xiàn)本文提出的破片飛散模型以及殺傷面積計(jì)算結(jié)果真實(shí)可靠,并在其求解結(jié)果的基礎(chǔ)上,利用ELM對(duì)戰(zhàn)斗部末彈道參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化,通過(guò)優(yōu)化結(jié)果可以得到如下結(jié)論:

①利用ELM對(duì)殺傷面積進(jìn)行求解時(shí),激勵(lì)函數(shù)不論采用sigmoid函數(shù)、正弦函數(shù)還是hardlim函數(shù),當(dāng)隱藏節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為200個(gè)以上時(shí),得到的殺傷面積結(jié)果的決定系數(shù)都能夠達(dá)到0.9以上,而利用sigmoid函數(shù)時(shí),決定系數(shù)的穩(wěn)定性更好。

②通過(guò)ELM求解結(jié)果可以看到,落角較小時(shí),炸高和落速的變化對(duì)殺傷面積影響小;當(dāng)落角較大時(shí),殺傷面積會(huì)隨著落角增大,在達(dá)到最大值前迅速變化,之后變化緩慢;隨著炸高增大,殺傷面積在達(dá)到最大值之前緩慢變化,而后變化迅速。

③ELM通過(guò)隱藏節(jié)點(diǎn)描述末彈道參數(shù)與殺傷面積之間的隱性關(guān)系,從而通過(guò)這種關(guān)系對(duì)殺傷面積進(jìn)行求解,通過(guò)對(duì)ELM求解結(jié)果與求解速度的比較,發(fā)現(xiàn)ELM方法可以確定更優(yōu)的末彈道參數(shù)(落速、落角和炸高),同時(shí)可大幅減少計(jì)算時(shí)間。