張 屹 王 玨 謝 玲 王丹丹 李 幸 莫 尉

（1. 華中師范大學(xué)人工智能教育學(xué)部教育信息技術(shù)學(xué)院，武漢 430079；2. 華中科技大學(xué)附屬小學(xué)，武漢 430074；3. 江漢大學(xué)教育學(xué)院，武漢 430056）

一、引言

隨著國際上對計算思維培養(yǎng)的不斷普及與重視，它已經(jīng)成為基礎(chǔ)教育課程改革的重要突破口。數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維的重要學(xué)科，計算思維與數(shù)學(xué)思維聯(lián)系緊密，在問題解決、建模、數(shù)據(jù)及解釋、統(tǒng)計與概率等方面具有共同的思維模式（Shute，Sun，& Asbell-Clarke，2017）。因此，研究者提出在數(shù)學(xué)學(xué)科中實踐計算思維，可提高學(xué)生解決問題的能力（Barr & Stephenson，2011；Costa，Campos，& Guerrero，2017）。2014年，美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會（NCTM）提出“行動原則：確保每個學(xué)生數(shù)學(xué)成功”的教學(xué)實踐要點(diǎn)以及美國《通用數(shù)學(xué)國家核心標(biāo)準(zhǔn)》（CCSSM）數(shù)學(xué)實踐間接映射計算思維實踐的發(fā)展趨勢（Pérez，2018）。2016年美國計算機(jī)科學(xué)標(biāo)準(zhǔn)將計算思維作為核心內(nèi)容與核心實踐，并創(chuàng)設(shè)在數(shù)學(xué)、科學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科中的實踐途徑（K-12 computer science framework，2016）。PISA（Program for International Student Assessment）作為評估學(xué)生能力的國際測試，2021年的測試將數(shù)學(xué)推理與計算思維作為重點(diǎn)的考察內(nèi)容（PISA，2021）。小學(xué)是基礎(chǔ)教育階段培養(yǎng)計算思維的關(guān)鍵時期，針對我國目前小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科計算思維理念與實踐不足的問題，突破以信息技術(shù)、社團(tuán)、編程為主的計算思維培養(yǎng)模式，在數(shù)學(xué)這一基礎(chǔ)學(xué)科中探索學(xué)生計算思維的培養(yǎng)，具有重要的理論與實踐價值。

二、文獻(xiàn)綜述

（一）計算思維的內(nèi)涵

Computational Thinking（簡稱CT），在我國香港、臺灣地區(qū)被譯為“運(yùn)算思維”，在大陸則被稱為“計算思維”。2006年美國卡內(nèi)基·梅隆大學(xué)的周以真（Jeannette M. Wing）在美國計算機(jī)權(quán)威期刊Communications of the ACM提出“計算思維”的定義，體現(xiàn)求解問題、系統(tǒng)設(shè)計與理解人類行為的特征，受到全世界的廣泛關(guān)注，并逐步被引入到教育教學(xué)中（Wing，2006）。綜合國際上計算思維的定義，它體現(xiàn)了人面對現(xiàn)實生活中復(fù)雜的問題，借助計算機(jī)科學(xué)的思想與方法去理解問題本質(zhì)，形成問題解決的數(shù)字化方案，是問題求解的一系列思維活動和思考方式（Wing，2006；任友群，黃榮懷，2016）。美國國際教育技術(shù)協(xié)會（ISTE，2011）認(rèn)為它包含形成問題、組織和分析數(shù)據(jù)、抽象再現(xiàn)數(shù)據(jù)、算法支持自動化、實施以找到優(yōu)化解決方案、一般化的過程。舒特等人整合了不同的專家觀點(diǎn)并提出了計算思維的核心要素有分解、抽象、算法、調(diào)試、迭代和一般化（Shute, Sun, & Asbell-Clarke, 2017）。亞達(dá)夫等人認(rèn)為計算思維的核心步驟包括分解問題，使用一系列步驟，遷移方案，最后確定計算機(jī)是否幫助人們更有效地解決問題（Yadav，Hong，& Stephenson，2016）。同時，計算思維體現(xiàn)培養(yǎng)人的復(fù)合的、高階的思維能力為目標(biāo)。英國學(xué)校計算課程組（CAS）認(rèn)為計算思維是“邏輯、算法、遞歸和抽象能力的復(fù)合能力”；南安普頓大學(xué)約翰·伍拉德（John Woollard）提出計算思維是“能夠反映人們的抽象能力、分解能力、算法能力、評估能力和概括能力”（任友群，隋豐蔚，李鋒，2016）?？茽柨笋R茲（?zgen Korkmaz）等人基于文獻(xiàn)，提出五大計算思維核心技能，并通過結(jié)構(gòu)方程建模驗證得到包含創(chuàng)造力、算法思維、批判性思維、問題解決與合作學(xué)習(xí)（Korkmaz，?akir，& ?zden，2017）。

（二）計算思維的教學(xué)與測評研究

計算思維的教學(xué)模式可分為不插電和插電模式。不插電，即不使用或很少使用計算機(jī)開展的教學(xué)活動，一般通過游戲化教學(xué)，幫助學(xué)生理解計算思維概念與原理。貝爾（Tim Bell）團(tuán)隊深入開發(fā)了一系列“不插電的計算機(jī)科學(xué)”活動，通過基于游戲的學(xué)習(xí)來學(xué)習(xí)計算機(jī)科學(xué)的概念，通過實證研究驗證了有效性（Bell & Vahrenhold，2018）。計算思維插電模式是使用計算機(jī)等技術(shù)開展的教學(xué)實踐活動，通過創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)環(huán)境，使用非編程或編程工具，將計算思維核心要素融入教學(xué)流程，目前比較普遍的計算思維實踐體現(xiàn)在編程教學(xué)上。麻省理工學(xué)院（MIT）基于Scratch環(huán)境提出計算思維概念、實踐與觀念的三維課程教學(xué)框架（Brennan & Resnick，2012）。森古普塔（Pratim Sengupta）等通過構(gòu)建了CTSiM的可視化編程學(xué)習(xí)環(huán)境，使用計算建模任務(wù)將科學(xué)與計算思維進(jìn)行整合的教學(xué)方法（Sengupta，et al.，2013）。郭守超等人提出了以App Inventor為編程工具，通過師生合作形式，學(xué)生利用計算思維思想解決問題，構(gòu)建中小學(xué)信息技術(shù)課程學(xué)習(xí)的學(xué)生計算思維的培養(yǎng)模式（郭守超等，2014）。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，科索普洛斯（Donna Kotsopoulos）等人提出以建構(gòu)主義和社會建構(gòu)主義為理論基礎(chǔ)，包含不插電、修改（參與對現(xiàn)有對象的更改和/或修改）、制作（構(gòu)建新對象）和重新混合（重用組件以用于其他目的）的計算思維數(shù)學(xué)教學(xué)框架（CTPF）（Kotsopoulos，et al.，2017），主要是根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)合編程內(nèi)容進(jìn)行的分類實踐。溫特羅普（David Weintrop）等人提出數(shù)學(xué)計算思維實踐分類學(xué)，包括數(shù)據(jù)實踐、建立模型和模擬實驗、智能計算問題解決實踐、系統(tǒng)思維實踐（Weintrop，et al.，2016）。巴塞洛斯（Thiago Schumacher Barcelos）等人對2006年至2017年間發(fā)表的數(shù)學(xué)計算思維文獻(xiàn)進(jìn)行系統(tǒng)研究，在35項提到軟件工具結(jié)合數(shù)學(xué)課程的具體實例中，22項使用編程語言或環(huán)境進(jìn)行教學(xué)活動，8項使用了學(xué)習(xí)對象或特定的軟件工具（Barcelos，et al.，2018）?？傮w來看，目前國際上已有的數(shù)學(xué)課程的計算思維實踐，主要通過構(gòu)建編程環(huán)境，創(chuàng)建融合計算思維技能與數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的實例。

計算思維教學(xué)策略注重問題設(shè)計、協(xié)作學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí)反思、支架、游戲化等策略的應(yīng)用?？扑顾热耍?017）為數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)建了包括內(nèi)容定義、數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)表示、數(shù)據(jù)分析、問題分解、自動化工具等步驟中的問題設(shè)計指南來促進(jìn)計算思維的分步教學(xué)。鮑宇等人設(shè)計的自主培養(yǎng)教學(xué)模型是由問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)者運(yùn)用計算思維思考，培養(yǎng)學(xué)生的自主能力（鮑宇，孟凡榮，張艷群，2015）。有學(xué)者依據(jù)文獻(xiàn)論證了在程序教學(xué)中運(yùn)用計算概念、反思、信息處理和構(gòu)造計算機(jī)腳手架等教學(xué)策略培養(yǎng)和提高學(xué)生計算思維的方式（Lye & Koh，2014），例如，他們介紹了信息處理策略，通過提供諸如隱喻、思維導(dǎo)圖和可視化程序之類的結(jié)構(gòu)來幫助學(xué)生掌握計算概念?？淇说热送ㄟ^3D教育益智游戲，采用游戲化策略來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)、計算概念和計算思維（Kwak，Yurov，& Floyd，2015）。

數(shù)學(xué)學(xué)科計算思維的評測上，巴塞洛斯等人（2018）通過系統(tǒng)研究，發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)實驗研究在實證研究中最普遍，其中進(jìn)行前后測試和課堂觀察是最常用的評價方法?？茽柨笋R茲等人（2017）設(shè)計學(xué)科通用量表綜合評價學(xué)生計算思維能力。專門針對計算思維的能力測試有國際Bebras測驗（International Bebras Contest）和數(shù)學(xué)PISA測試，這些測試題考察學(xué)生基于現(xiàn)實情境進(jìn)行問題解決的能力。雖然國際上對培養(yǎng)計算思維的理論與實踐做了一些探索，但在數(shù)學(xué)學(xué)科的研究，總體還不夠豐富，需要開展更多的理論與實證研究來進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生計算思維的培養(yǎng)。

（三）PBL教學(xué)

基于問題的學(xué)習(xí)（Problem-Based Learning）是由加拿大巴羅斯（Howard S. Barrows）教授首次在醫(yī)學(xué)教學(xué)中提出，之后作為一種重要的教學(xué)法在不同的學(xué)科得到快速地流行與普及。PBL是以問題為核心，學(xué)生以小組協(xié)作的學(xué)習(xí)形式致力于共同解決現(xiàn)實中復(fù)雜的、有意義問題的教學(xué)（Barrows & Bennett，1972）。國內(nèi)劉儒德教授認(rèn)為PBL是以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論、情境認(rèn)知理論為基礎(chǔ)，以小組協(xié)作、教師提供資源獲取的途徑為指導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)習(xí)者解決擬真情境中問題的一種教學(xué)模式（劉儒德，2001）。

PBL教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)法不同的是，它具有以下一些典型的特點(diǎn)：1. PBL的學(xué)習(xí)過程以問題為激發(fā)和驅(qū)動，圍繞問題獲取知識與技能，構(gòu)成一個螺旋上升的迭代發(fā)展的過程。2. 以學(xué)習(xí)者為中心，協(xié)作探究解決問題，教師為促進(jìn)者、引導(dǎo)者，師生構(gòu)成學(xué)習(xí)共同體。PBL 的大多數(shù)學(xué)習(xí)發(fā)生在小組中，學(xué)生個人和集體承擔(dān)學(xué)習(xí)的責(zé)任（吳剛，2012）。3. 注重推理過程，使用各種學(xué)習(xí)工具和資源，幫助更有效地解決問題。巴羅斯提出了PBL學(xué)習(xí)要素包括建構(gòu)情境，建立推理過程，發(fā)展自我導(dǎo)向?qū)W習(xí)技能，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動機(jī)（Barrows，1986）。4. 注重批判性思維發(fā)展，通過各個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)反思來審視問題解決方案執(zhí)行的有效性。過程要素體現(xiàn)探究、推理和反思的特征，以支持認(rèn)知過程的發(fā)展（Hung，2006）。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)PBL+CT教學(xué)促進(jìn)學(xué)生計算思維培養(yǎng)的理論模型

目前在數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)行的計算思維研究，較多的是非插電的或插電編程的教學(xué)模式。隨著國內(nèi)智慧教室的建設(shè)與發(fā)展，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)越來越多地基于數(shù)字化環(huán)境開展探究活動與問題解決，教學(xué)模式有待進(jìn)一步擴(kuò)展。因此，本研究綜合PBL教學(xué)與計算思維的相關(guān)研究，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科中構(gòu)建PBL+CT教學(xué)促進(jìn)學(xué)生計算思維培養(yǎng)的理論模型，模型分為三層：內(nèi)容層以PISA情境問題設(shè)計為導(dǎo)向，強(qiáng)調(diào)利用數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)相互關(guān)聯(lián)的知識和從數(shù)學(xué)知識綜合應(yīng)用的角度解決現(xiàn)實問題（余勝泉，胡翔，2015）；教學(xué)層為數(shù)學(xué)插電非編程的計算思維模式，采取PBL+CT的教學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)流程；目標(biāo)層是計算思維核心能力，以分解、抽象、算法思維、批判性思維、問題解決、協(xié)作學(xué)習(xí)六個思維能力為培養(yǎng)目標(biāo)。在模型的表述中，PBL+CT是對PBL教學(xué)的改進(jìn)，前一個CT表示計算思維的核心要素，后一個計算思維表示培養(yǎng)其核心能力。如圖1所示。

（一）內(nèi)容層：基于數(shù)學(xué)PISA的情境問題設(shè)計

教學(xué)內(nèi)容是計算思維培養(yǎng)目標(biāo)和教學(xué)開展的主要依據(jù)，包含主題選擇、學(xué)習(xí)者分析、問題設(shè)計、重難點(diǎn)設(shè)計等。本研究依據(jù)數(shù)學(xué)PISA測評框架定義的問題情境，按照距離個體生活的遠(yuǎn)近劃分為個人、職業(yè)、社會和科學(xué)四類（胡典順，雷沛瑤，劉婷，2018）。其中個人情境問題圍繞個體、學(xué)校、家庭之間的日常生活開展活動，例如：日程安排、購物、交通、旅行等，問題設(shè)計基于現(xiàn)實又高于現(xiàn)實，具有趣味性，形式表征具有生動性。職業(yè)情境問題關(guān)注工作狀態(tài)與工作環(huán)境，例如統(tǒng)計測量、質(zhì)量控制、調(diào)度與庫存等，問題設(shè)計注重與實際職業(yè)能力的關(guān)聯(lián)與應(yīng)用。社會情境問題重點(diǎn)關(guān)注個體與社區(qū)的聯(lián)系，例如人口統(tǒng)計、政府、公共政策等，問題設(shè)計注重開放性、發(fā)散性和多元性?？茖W(xué)情境問題關(guān)注自然科學(xué)相關(guān)的專題，例如氣候變化、生態(tài)等，問題設(shè)計注重既有一定的抽象性，又需符合學(xué)生的認(rèn)知水平。

（二）教學(xué)層：插電非編程的PBL+CT教學(xué)

教學(xué)層是計算思維培養(yǎng)的主要載體和途徑，包括教學(xué)模式的選擇、流程的構(gòu)建和方法策略的選擇等。插電非編程的教學(xué)模式是在數(shù)學(xué)學(xué)科中使用計算機(jī)進(jìn)行的非編程教學(xué)實踐，學(xué)習(xí)者基于豐富的數(shù)字化環(huán)境，使用數(shù)學(xué)學(xué)科工具、認(rèn)知工具等，進(jìn)行數(shù)據(jù)采集、統(tǒng)計分析、數(shù)學(xué)建模、可視化模擬等計算思維實踐，從而深層次地理解計算機(jī)工具對現(xiàn)實問題解決的增強(qiáng)作用，體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實際應(yīng)用價值。

數(shù)學(xué)問題解決研究中的代表人物波利亞，提出問題解決的教學(xué)流程為“理解問題、擬定計劃、實現(xiàn)并檢查求解計劃、檢驗并反思求解過程”（Polya，1978，pp. 5?6），強(qiáng)調(diào)以問題為驅(qū)動，通過設(shè)計、反思方案來解決問題。PISA數(shù)學(xué)測評框架中的問題解決注重現(xiàn)實問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，通過概念、技能、步驟、工具等獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，進(jìn)行學(xué)習(xí)反思，對問題解決方案轉(zhuǎn)化的再解釋等方面體現(xiàn)問題解決的思維過程（胡典順等，2018）。本研究依據(jù)ISTE提出的計算思維操作定義，溫特羅普等人的計算思維實踐分類等文獻(xiàn)，構(gòu)建PBL+CT的教學(xué)流程，將PBL與計算思維的核心要素（如分解、抽象、數(shù)據(jù)采集、建模、算法、模擬、一般化等）進(jìn)行有機(jī)融合，重組數(shù)學(xué)問題解決流程，幫助學(xué)生在實踐過程中深入理解計算思維概念。流程分為五步：第一步，創(chuàng)設(shè)情境，理解問題。通過創(chuàng)設(shè)真實問題的情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入問題情境并理解問題。第二步，采集數(shù)據(jù)、建模抽象。學(xué)生在理解問題的基礎(chǔ)上，運(yùn)用已知和未知條件，通過數(shù)據(jù)建模，組織、分析數(shù)據(jù)，抽象符號。第三步，應(yīng)用算法、協(xié)同推理。在理解算法的基礎(chǔ)上，通過分步驟應(yīng)用，綜合各種已知的數(shù)據(jù)進(jìn)行邏輯推理，思考步驟是否正確或者證明步驟的正確性，排除潛在的錯誤，實施解決方案，初步解決問題。第四步，工具模擬，優(yōu)化方案。使用程序、工具進(jìn)行模擬，調(diào)試參數(shù)和測試結(jié)果，從中選擇問題解決的優(yōu)化方案。第五步，遷移反思、問題解決。將問題解決方案遷移到類似的問題情境中進(jìn)行重用，進(jìn)行學(xué)習(xí)反思，最終建構(gòu)問題解決的系統(tǒng)方案。在教學(xué)流程中，采取提問、協(xié)作學(xué)習(xí)、分步驟的支架、學(xué)習(xí)反思等教學(xué)策略，強(qiáng)調(diào)對問題的創(chuàng)設(shè)與理解，通過協(xié)作探究問題解決方案，注重借助支架進(jìn)行的邏輯推理過程，增強(qiáng)技術(shù)工具對問題解決的作用以及學(xué)習(xí)反思對問題解決過程的回顧。

（三）目標(biāo)層：計算思維核心能力培養(yǎng)

目標(biāo)層表示學(xué)生計算思維所包含的高階思維能力維度。本研究綜合科爾克馬茲等提出的計算思維核心技能及相關(guān)文獻(xiàn)，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，將計算思維分為分解、抽象、算法思維、批判性思維、問題解決、協(xié)作學(xué)習(xí)六大核心能力。其中，分解是將復(fù)雜問題，化繁為簡地細(xì)分成小步子問題。抽象是比較和識別屬性和關(guān)系，從特定對象或示例中提取要素并隱藏冗余信息，專注于理解和解決問題相關(guān)的概念。算法思維是使用規(guī)則為特定類型的問題或任務(wù)制定一系列問題的步驟，可以重復(fù)使用以解決類似問題，優(yōu)化問題解決步驟直到呈現(xiàn)期望的結(jié)果。問題解決是實現(xiàn)計劃方案，并將問題解決方案轉(zhuǎn)移到其他情況或領(lǐng)域，以有效地、高效地解決類似問題。批判性思維是通過解釋、分析和評估相關(guān)的證據(jù)、概念、方法以合理地判斷與決策。協(xié)作學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者從人際交互以及環(huán)境中實現(xiàn)交流與共享依賴，建立協(xié)同策略與機(jī)制，形成群體智能。

四、教學(xué)設(shè)計與實施——以小學(xué)數(shù)學(xué)“怎樣圍面積最大”課為例

（一）內(nèi)容設(shè)計

1. 主題分析與問題設(shè)計

教學(xué)主題源于小學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材三年級下冊“周長與面積”單元的一道習(xí)題，在方格紙上作周長相等的長方形或正方形，比較它們的面積大小并尋找規(guī)律。湖北省武漢市A小學(xué)將這一內(nèi)容改編成校本課程，設(shè)置探究的問題為“怎樣圍面積最大?”，適合三年級及以上學(xué)生開展數(shù)學(xué)綜合實踐活動。以“怎樣圍面積最大?”這一基本問題為教學(xué)起點(diǎn)，教師選用學(xué)生喜愛的動畫片“馬丁的早晨”創(chuàng)設(shè)情境動畫，貼近學(xué)生生活，充滿趣味性。課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，創(chuàng)設(shè)“葛主任有16段1 M長的柵欄，他想圍長方形或正方形的草莓地……怎樣圍面積最大?”的問題進(jìn)行挑戰(zhàn)。馬丁、葛主任兩位動畫人物貫穿在教學(xué)過程中，以問題來組織、探究和反思學(xué)習(xí)活動?；诓ɡ麃唵栴}分解原則（Polya，1978，p.7），情境導(dǎo)入階段的問題分解引導(dǎo)學(xué)生解讀問題情境，將現(xiàn)實問題逐步轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。通過教師提問，引導(dǎo)學(xué)生找出情境問題中的未知條件、限制條件和已知數(shù)據(jù)。

2. 學(xué)習(xí)者分析

教學(xué)對象為小學(xué)四年級學(xué)生。（1）思維發(fā)展階段上，此年齡段的學(xué)生思維形式處于具體運(yùn)算階段，但邏輯思維能力、認(rèn)知活動的目的性已經(jīng)開始增強(qiáng)，尤其在抽象推理方面的能力開始得到快速進(jìn)步。（2）先驗知識掌握上，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了如何計算長方形和正方形的周長和面積，但對于“數(shù)學(xué)推理”方面的接觸比較少。針對本次教學(xué)內(nèi)容，多數(shù)學(xué)生知道周長與面積是兩個不同的概念，對于“怎樣圍面積最大”這一問題雖然知道在長方形、正方形范圍內(nèi)的結(jié)果，但對結(jié)果怎樣得來卻知之甚少，用變化的眼光思考問題的意識和能力還比較薄弱。（3）信息技術(shù)素養(yǎng)上，對于技術(shù)工具的掌握，他們具有多次在智慧教室學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，熟悉平板等基本的技術(shù)操作，具有一定的技術(shù)使用經(jīng)驗。

3. 教學(xué)目標(biāo)分析

知識與技能：通過探究、驗證得出“周長相等的長（正）方形，長和寬的差越小，面積越大，正方形的面積最大”的結(jié)論，并進(jìn)一步拓展至“周長相等的圖形，圓的面積最大”的規(guī)律。

過程與方法：學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗證和歸納的實踐活動，獲得解決問題的方法與經(jīng)驗。用枚舉法、不完全歸納法解決問題，體會有序思考、全面思考及數(shù)形結(jié)合的思想方法。

情感、態(tài)度與價值觀：學(xué)生在解決問題的過程中，體會到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價值，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲。學(xué)生在解決數(shù)學(xué)復(fù)雜問題過程中激發(fā)學(xué)習(xí)和探索數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)善于協(xié)作和敢于質(zhì)疑、自我反思的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

4. 教學(xué)重難點(diǎn)分析

本次課的教學(xué)重難點(diǎn)是在“給定周長”“任意周長”和“任意圖形”的不同條件下，設(shè)計如何推導(dǎo)的思路、結(jié)果呈現(xiàn)、應(yīng)用的算法及使用的工具，見表1所示。

表1 教學(xué)重難點(diǎn)內(nèi)容分解

（二）教學(xué)設(shè)計與實施

“怎樣圍面積最大”案例的具體教學(xué)設(shè)計與實施見圖2所示。

圖2 “怎樣圍面積最大”數(shù)學(xué)課例的教學(xué)設(shè)計與實施

1. 創(chuàng)設(shè)情境，理解問題

教師針對三個重要的探究內(nèi)容“給定周長值的長（正）方形”“任意周長值的長（正）方形”“任意周長值的圖形”設(shè)計問題，見下表2所示。在長（正）方形范圍內(nèi)，根據(jù)給定周長值與任意周長值部分，通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行探究，驗證“怎樣圍面積最大”的問題。在任意圖形范圍，將圖形擴(kuò)展到更一般的圖形范圍，可視化驗證規(guī)律。

表2 核心問題、設(shè)計意圖與問題的內(nèi)涵與價值

2. 采集數(shù)據(jù)，抽象建模

教師在課堂中適時引入“GeoGebra”數(shù)學(xué)APP，學(xué)生進(jìn)行可視化操作，創(chuàng)設(shè)從直觀形象到抽象建模的理解路徑。“GeoGebra”APP的度量功能可以直接顯示長（正）方形的周長和面積，不僅可以將學(xué)生思維過程直觀地展示出來，而且?guī)椭麄兛焖倥袛喈嫵龅膱D形是否符合要求，提高了數(shù)學(xué)驗證的效率。小組兩位學(xué)習(xí)同伴開展協(xié)作學(xué)習(xí)，在“GeoGebra”APP上討論作圖，并將產(chǎn)生的數(shù)據(jù)填入表格中，枚舉所有滿足條件的長（正）方形長、寬與面積的值，對數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，如下圖3所示。

圖3 “GeoGebra”APP圖形采集

3. 應(yīng)用算法，協(xié)同推理

學(xué)生根據(jù)教師提供的任務(wù)單開展小組協(xié)作活動，理解枚舉算法，通過排序優(yōu)化算法。教師引導(dǎo)學(xué)生對各小組上傳的“GeoGebra”圖形作品進(jìn)行觀察與評價，依據(jù)長或?qū)挼闹?，對?shù)據(jù)進(jìn)行有序排列。學(xué)生觀察在長方形的長和寬不斷接近的過程中，面積的變化趨勢，從而發(fā)現(xiàn)長與寬的差值規(guī)律，如下圖4所示。

圖4 “GeoGebra”APP小組作品呈現(xiàn)

在“任意周長”探究活動中，教師再次引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的規(guī)律形成過程。每個小組通過選擇任意的一個周長值來計算面積，學(xué)生遷移周長是16 M時的研究思路，將生成的數(shù)據(jù)填入任務(wù)探究單。為了使枚舉在學(xué)生可推導(dǎo)的范圍內(nèi)，教師設(shè)置周長的取值范圍不超過20 M，長寬的取值為整數(shù)。通過全班多個小組的不同周長取值進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，將枚舉算法擴(kuò)展到不完全歸納算法。

4. 工具模擬，最優(yōu)方案

在“任意周長”探究活動中，借助信息技術(shù)工具可以實現(xiàn)算法的模擬，如下圖5所示的幾何畫板課件，只需要輸入周長，就可以直接顯示長和寬，動態(tài)呈現(xiàn)圖形和面積的變化。通過計算機(jī)模擬，拓展了周長的取值范圍，更全面地驗證規(guī)律。在“任意圖形”探究活動中，如下圖6所示的教學(xué)課件：設(shè)置了“增加邊數(shù)”和“減少邊數(shù)”兩個按鈕，可以隨意改變圖形的邊數(shù)，并可以任意輸入周長值，顯示對應(yīng)的面積值，通過數(shù)形結(jié)合探究新的規(guī)律。

圖5 幾何畫板課件：任意周長值的長（正）方形

圖6 幾何畫板課件：任意周長值的圖形

5. 遷移反思，問題解決

遷移應(yīng)用過程分兩個階段。第一個階段讓學(xué)生自我回顧問題解決過程，遷移問題解決方案。以“怎樣圍面積最大”這一核心問題為導(dǎo)向設(shè)計練習(xí)題，難度由淺入深，分別考察學(xué)生直接運(yùn)用規(guī)律進(jìn)行問題求解的能力；考察用圖示建模表示“相鄰兩邊靠墻”的情況，掌握對問題進(jìn)行分解與抽象的能力；將“一邊靠墻”的情況分解為“長邊靠墻或短邊靠墻”兩種情況，并用圖示建模表示，掌握對問題進(jìn)行深入分解與抽象的能力。通過逐層遞進(jìn)的練習(xí)，發(fā)展學(xué)生重用分解、建模、抽象、算法等計算思維概念進(jìn)行問題解決。同時學(xué)生通過微視頻學(xué)習(xí)，檢驗自己的學(xué)習(xí)成果，糾正在問題求解中的錯誤。第二階段為學(xué)生集體回顧問題解決過程，教師通過板書“研究了什么?”，“怎樣研究?”，“還想研究什么?”引導(dǎo)學(xué)生基于核心問題進(jìn)行反思，聚焦問題解決的目標(biāo)、過程與結(jié)果，全面回顧整個學(xué)習(xí)過程。

五、實驗研究設(shè)計及教學(xué)效果分析

（一）問卷設(shè)計及研究過程

本研究問卷基于科爾克馬茲等人（2017）的計算思維量表進(jìn)行改編，圍繞理論框架中計算思維的六個維度設(shè)計題項，采用李克特5分量表計分。為了確保問卷評測的信效度，研究者邀請了有關(guān)專家對問卷的適當(dāng)性和科學(xué)性進(jìn)行了評價。通過SPSS進(jìn)行項目分析，計算各個題目的CR值，所選題項的CR（T）值都呈顯著性差異（P<0.05），具有顯著的區(qū)分度。對問卷的信度進(jìn)行測試，得到整體問卷的克朗巴哈系數(shù)的值為0.94，其中分解維度0.71、抽象維度0.71、算法思維維度0.75、批判性思維維度0.70、問題解決維度0.79、協(xié)作學(xué)習(xí)維度0.86，問卷總體具有良好的信度。

本研究為準(zhǔn)實驗研究法，研究過程具體為：課程學(xué)習(xí)前組織學(xué)生填寫計算思維前測問卷，實驗對象為小學(xué)四年級某班隨機(jī)選擇的36位學(xué)生。研究團(tuán)隊與教師對教學(xué)設(shè)計進(jìn)行研討、改進(jìn)，制作教學(xué)資源。課程學(xué)習(xí)分預(yù)備教學(xué)和正式教學(xué)。預(yù)備教學(xué)為30分鐘，教師使用問卷星平臺設(shè)計測驗題，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)周長與面積的先前知識。熟悉“GeoGebra”數(shù)學(xué)APP，掌握網(wǎng)格圖的設(shè)置、制作圖形、調(diào)整圖形、標(biāo)記周長和面積、刪除圖形、移動圖形等相關(guān)的技術(shù)操作。正式教學(xué)實施時間為50分鐘。學(xué)生在教學(xué)結(jié)束后填寫計算思維后測問卷和自評表，并進(jìn)行隨機(jī)訪談。

（二）實驗結(jié)果分析

采用紙質(zhì)形式發(fā)放與回收問卷，32人參與問卷測試，前后測配對的學(xué)生共28人，其中男生15人，女生13人。經(jīng)非參兩相關(guān)樣本W(wǎng)ilcoxon檢驗，小學(xué)生在分解、抽象、算法思維、批判性思維、問題解決和協(xié)作學(xué)習(xí)六個維度上的后測均值均高于前測均值，尤其是在分解、算法思維和協(xié)作學(xué)習(xí)三個維度上有顯著的提升，如表3所示。

表3 計算思維維度前后測比較

計算思維整體維度（M前測=4.05，M后測=4.31，Z=?3.12，p=0.002<0.01），前后測差異顯著。學(xué)生對探究問題和規(guī)律理解的完整性、準(zhǔn)確性上整體表現(xiàn)較好。訪談中學(xué)生能清晰地用自己的話表達(dá)一個或兩個規(guī)律，并能系統(tǒng)說出問題解決的思維方法與過程。學(xué)生在課程中學(xué)習(xí)的認(rèn)可度高，自評顯示學(xué)生“在本次課中學(xué)的開心的程度達(dá)到中等及以上的比例為97.3%”，說明學(xué)生在學(xué)習(xí)中持有較高的學(xué)習(xí)動機(jī)，具有積極的問題解決態(tài)度?？扑顾热耍?017）通過研究表明通過將計算思維和數(shù)學(xué)結(jié)合在一起的教學(xué)實踐，可以對學(xué)生解決問題的能力產(chǎn)生積極影響。同時，在數(shù)學(xué)問題解決中體現(xiàn)計算思維視角的活動也可以提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解能力（Sung，Ahn，& Black，2017）。

分解維度（M前測=4.03，M后測=4.36，Z=?2.62，p=0.009<0.01），前后測差異顯著。結(jié)合學(xué)生自評，“100%的學(xué)生遇到問題時能運(yùn)用合理的方法解決問題”“91.89%的學(xué)生能嘗試從不同角度思考問題”。算法思維維度（M前測=4.11，M后測=4.35，Z=?2.04，p=0.042<0.05），前后測差異顯著。通過小組枚舉算法作品分析，并借助幾何畫板擴(kuò)展取值范圍，在整個對算法的不斷糾正與深入中提升了思維的準(zhǔn)確性。

協(xié)作學(xué)習(xí)維度（M前測=3.88，M后測=4.44，Z=?3.64，p=0.000<0.001），前后測差異顯著。本次實驗采取了多樣化的協(xié)作學(xué)習(xí)策略，學(xué)生進(jìn)行了高質(zhì)量的互動與活動，因此學(xué)生在與他人協(xié)作進(jìn)行問題解決的態(tài)度傾向上表現(xiàn)顯著。通過學(xué)生之間協(xié)作學(xué)習(xí)的互動實踐，促進(jìn)更多思想的交流與分享。在男女性別上，前后測差異均不顯著。前測整體維度的差異（ M 男生=4.07，M 女生=4.02，Z=?0.25，p=0.800 >0.05），后測整體維度的差異（M 男生=4.24，M 女生=4.40， Z=?0.67，p=0.504 > 0.05），在具體的分維度上，性別也均未體現(xiàn)顯著差異，說明性別影響因素較小。

六、總結(jié)與思考

（一）理論模型驗證了小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科培養(yǎng)學(xué)生計算思維的有效性

本研究構(gòu)建的小學(xué)數(shù)學(xué)PBL+CT教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生計算思維的理論模型，通過內(nèi)容設(shè)計到教學(xué)最后直達(dá)學(xué)生思維的培養(yǎng)，三層之間緊密相聯(lián)，層層遞進(jìn)，通過外在的教學(xué)干預(yù)，促進(jìn)學(xué)生的思維轉(zhuǎn)化為高階技能。其中，教學(xué)內(nèi)容包含主題選擇、學(xué)習(xí)者分析、問題設(shè)計、重難點(diǎn)設(shè)計等，所選主題能準(zhǔn)確定位數(shù)學(xué)與計算思維的融合，體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容和計算思維能力培養(yǎng)目標(biāo)的明確聯(lián)系。它能突破傳統(tǒng)教學(xué)的局限，既有效達(dá)成學(xué)科教學(xué)規(guī)定的目標(biāo)，又能夠體現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的計算思維。

教學(xué)層包括教學(xué)模式的選擇、流程的構(gòu)建和方法策略的選擇等。隨著國內(nèi)中小學(xué)智慧教室環(huán)境建設(shè)的不斷發(fā)展，有利于創(chuàng)設(shè)學(xué)生使用計算機(jī)技術(shù)的沉浸式數(shù)字化環(huán)境。學(xué)習(xí)者通過對工具、環(huán)境的探索與互動，增強(qiáng)利用技術(shù)對數(shù)學(xué)問題解決的理解。通過在教學(xué)流程中融入計算思維的核心要素，在實踐中提升理解計算思維的概念。對于方法和策略的選擇，對應(yīng)計算思維的高階思維技能，聚焦問題情境，靈活應(yīng)用師生對話、任務(wù)單支架、學(xué)習(xí)反思、計算工具來支持和引導(dǎo)學(xué)生對問題的分解、抽象和批判性思維的發(fā)展；通過不同層次的協(xié)作學(xué)習(xí)策略，培養(yǎng)學(xué)生自主探究和協(xié)作學(xué)習(xí)能力；通過提供明確的教學(xué)流程和支架策略，培養(yǎng)學(xué)生步驟化解決問題的算法思維能力；以及通過增強(qiáng)CT核心要素的問題解決流程，培養(yǎng)學(xué)生利用計算機(jī)科學(xué)思想、方法與技術(shù)來解決數(shù)學(xué)問題的能力。

思維層是教學(xué)的目標(biāo)，圍繞理論模型進(jìn)行具體案例的教學(xué)設(shè)計與實施，并對其應(yīng)用效果進(jìn)行驗證?；谡n堂觀察、問卷、訪談和自評表單等多種研究方法和工具，多維度地驗證理論模型促進(jìn)小學(xué)生計算思維培養(yǎng)的有效性。實證研究驗證該模型能顯著地促進(jìn)小學(xué)生整體計算思維的培養(yǎng)，尤其是在分解、算法思維、協(xié)作學(xué)習(xí)上具有顯著的促進(jìn)作用。

（二）通過問題驅(qū)動的教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生分解、抽象和批判性思維的發(fā)展

PBL+CT教學(xué)以問題來設(shè)計、架構(gòu)和引領(lǐng)教學(xué)，從注重知識的傳授到注重思維的訓(xùn)練與培養(yǎng)，這也是計算思維培養(yǎng)學(xué)生問題解決所要經(jīng)歷的基本過程，彰顯了思維教學(xué)的動態(tài)性、生成性。在問題的設(shè)計中，教師依據(jù)PISA能力測驗的現(xiàn)實問題情境的分類設(shè)計，注重問題的劣構(gòu)性、開放性和探究性。在教學(xué)過程中，學(xué)生通過教師提出的核心問題進(jìn)行學(xué)習(xí)、思考、對話和表達(dá)，教師則積極關(guān)注學(xué)生在課堂上思維外化的過程，不斷追問，通過層層遞進(jìn)的問題，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行高質(zhì)量的對話，動態(tài)生成資源，使課堂教學(xué)成為不斷制造學(xué)生認(rèn)知矛盾與沖突、不斷幫助學(xué)生對知識進(jìn)行同化、順應(yīng)的場所，有效促進(jìn)學(xué)生對問題的分解、抽象和批判性思維的發(fā)展。問題導(dǎo)向的評價綜合了學(xué)生的自我評價、學(xué)生互相評價和教師評價，體現(xiàn)了多元化評價，彰顯了學(xué)生主體性的教育理念。張蕾提出的計算思維WPBL模式，重視將問題情境作為模型的核心要素（張蕾，2014）。

在“怎樣圍面積最大”的課例教學(xué)中，在問題提出階段，創(chuàng)設(shè)動畫情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)與任務(wù)挑戰(zhàn)，逐步分解問題并提取問題中的有價值的信息，實現(xiàn)現(xiàn)實生活問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。在分析論證階段，通過“給定周長值為16 M的長（正）方形”“任意周長值的長（正）方形”和“任意周長值的圖形”三個不同內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考、探究規(guī)律。在問題遷移階段，圍繞“怎樣圍面積最大”這一核心問題，由易到難進(jìn)行問題解決的遷移。在問題解決階段，引導(dǎo)學(xué)生集體反思學(xué)習(xí)過程，鞏固探究問題解決的方式路徑，進(jìn)一步提升思維品質(zhì)。

（三）采取分步驟的支架教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生算法思維的發(fā)展

PBL+CT注重分步驟教學(xué)，將數(shù)學(xué)課堂蘊(yùn)含的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等方法與過程充分展現(xiàn)出來，使學(xué)生經(jīng)歷從論點(diǎn)提出、論據(jù)搜集、合理論證到得到結(jié)論，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)邏輯推理的科學(xué)研究方法?！霸鯓訃娣e最大”是一個靈活性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題，在長（正）方形范圍和一般圖形的范圍具有不同的規(guī)律，對規(guī)律由淺入深地進(jìn)行探究，可提升學(xué)生的認(rèn)知范圍與深度。教學(xué)中根據(jù)不同的重點(diǎn)，采取分解教學(xué)策略，細(xì)化任務(wù)，幫助學(xué)生逐步習(xí)得思維過程。在計劃階段，根據(jù)周長值尋找面積求解的知識“原點(diǎn)”，即利用周長回溯邊長來計算面積的不同組合。在探究階段，任務(wù)單活動設(shè)計用簡潔的動詞概括，如“想一想”，“畫一畫”，“比一比”，提供具體、明確的探究任務(wù)。通過數(shù)據(jù)表格分解長、寬、面積的數(shù)據(jù)變量，以直觀的形式組織、分析變量。通過數(shù)學(xué)工具可視化操作和數(shù)形結(jié)合觀察等一系列的分解活動，將靜態(tài)的知識動態(tài)化，抽象的知識具體化，幫助學(xué)生逐步抽象規(guī)律，建立認(rèn)知模式，經(jīng)歷從枚舉法到不完全歸納法的思維歸納過程。因此，教學(xué)中學(xué)生“對數(shù)學(xué)運(yùn)算感興趣”，“能用清楚、簡潔的方式記錄思維過程”，“善于用圖表方式解決問題”，“分步驟解決問題”等都得到了提升，有效發(fā)展了學(xué)生的算法思維能力。

（四）注重協(xié)作和反思策略，促進(jìn)學(xué)生協(xié)作學(xué)習(xí)和批判性思維的發(fā)展

科索普洛斯等人（2017）認(rèn)為計算思維以建構(gòu)主義和社會建構(gòu)主義為理論基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)環(huán)境與策略的構(gòu)建以強(qiáng)化人際交流、對話與反思，促進(jìn)數(shù)學(xué)表達(dá)這一核心素養(yǎng)的發(fā)展。充分運(yùn)用小組協(xié)作方法，讓學(xué)生體驗到不斷嘗試、不斷質(zhì)疑。通過在過程中加強(qiáng)不斷反思的體驗，有學(xué)者在總結(jié)計算思維的有效策略時，強(qiáng)調(diào)了學(xué)習(xí)反思策略的重要性，鼓勵學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)表現(xiàn)進(jìn)行不斷審視（Lye et al.，2014）?！霸鯓訃娣e最大”課例中教師根據(jù)不同的任務(wù)，采取通過小組兩位和四位學(xué)習(xí)同伴開展不同的有針對性的協(xié)作策略，促進(jìn)交流互動，聚合群體智慧。如在推導(dǎo)思路階段，通過大組四位學(xué)習(xí)同伴的交流，分享問題解決的計劃方案。在問題求解階段，教師提供任務(wù)明確、操作性強(qiáng)的學(xué)習(xí)支架，在小組兩位學(xué)習(xí)同伴中開展協(xié)作學(xué)習(xí)。在作品分享階段，則又通過大組四位學(xué)習(xí)同伴的交流，討論有序思維的重要性及長寬的變化規(guī)律等。問題解決的小結(jié)階段，通過學(xué)習(xí)反思促進(jìn)學(xué)生對習(xí)得的思維方法進(jìn)行自我的、集體的表達(dá)，深化對問題解決的理解，促進(jìn)認(rèn)知的深層次發(fā)展。

（五）創(chuàng)設(shè)PBL+CT的教學(xué)流程，促進(jìn)學(xué)生問題解決能力的提升

在培養(yǎng)計算思維的過程中，學(xué)生不容易理解如抽象、分解等的計算思維概念，因此，教師需要在教學(xué)活動中將這些概念分解為具體的，可理解的和可操作的計算思維實踐。在本案例中，學(xué)生通過操作數(shù)學(xué)APP，對數(shù)據(jù)進(jìn)行圖示建模，協(xié)作推理等，理解枚舉、不完全歸納算法的執(zhí)行步驟和適用范圍。例如，在枚舉算法中，不僅要列出所有符合條件的數(shù)對，還需對數(shù)據(jù)進(jìn)行有序排列。在體驗算法的基礎(chǔ)上，又借助數(shù)學(xué)工具進(jìn)行算法模擬，一方面借助計算工具，將學(xué)生難以用手動計算的邏輯推導(dǎo)自動化、可視化，同時也使學(xué)生掌握計算機(jī)執(zhí)行算法過程中背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理。學(xué)生借助計算工具進(jìn)行數(shù)字化探索，形成對待技術(shù)世界的計算觀念，發(fā)展技術(shù)素養(yǎng)（Brennan & Resnick，2012；Lye et al.，2014）。在傳統(tǒng)教學(xué)中進(jìn)行的“怎樣圍面積最大”的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，學(xué)生主要通過枚舉法、不完全歸納法進(jìn)行數(shù)學(xué)規(guī)律的探索，認(rèn)知范圍局限在長（正）方形范圍內(nèi)。此次教學(xué)實驗通過計算工具實現(xiàn)對數(shù)據(jù)的采集、組織、分析和模擬，探索的環(huán)境能夠幫助學(xué)生運(yùn)用技術(shù)手段形成、理解與驗證問題的解決方案，大大擴(kuò)展了四年級學(xué)生的認(rèn)知范圍。同時計算工具又是思維理解的工具，具體與抽象相結(jié)合，讓思維過程可視化，數(shù)學(xué)規(guī)律直觀化，促進(jìn)思維的深層次加工。數(shù)學(xué)工具給問題解決帶來了諸多優(yōu)勢，如趣味性、便捷性、做中學(xué)、高效性等。訪談中學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)APP“好玩”，“玩中學(xué)”，“為學(xué)習(xí)提供了便利”，“激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣”，“利用技術(shù)節(jié)約了紙質(zhì)本子”等。此外，教師還借助互動課堂、問卷星等技術(shù)媒介，讓課堂互動、評價更及時、更全面。

本研究是筆者研究團(tuán)隊在數(shù)學(xué)學(xué)科中培養(yǎng)小學(xué)生計算思維的一次有益探索，由于受研究對象、研究條件等因素的限制，研究還不夠完善。在今后的研究中，還需在數(shù)學(xué)學(xué)科中進(jìn)行長期、深入的應(yīng)用和效果評測。