基于思維可視化的教學(xué)設(shè)計(jì)

張青雨

一、課標(biāo)解讀

在高中階段學(xué)生所學(xué)的周期函數(shù)中，三角函數(shù)屬于比較典型的一類。這類函數(shù)具有之前所學(xué)函數(shù)的共性但又具有特性。本章教學(xué)中，借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，在思維上體現(xiàn)“以形助數(shù)”，“以數(shù)輔形”的思想，同時(shí)利用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)的性質(zhì)。借助單位圓可以畫出三角函數(shù)的圖像，利用此方法可以更加直觀地了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上，以及正切函數(shù)在（[-π2，π2]）上的性質(zhì)，以便后續(xù)的研究。

二、教材分析

本節(jié)課的內(nèi)容是選自《蘇教版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》第七章第三節(jié)的三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。三角函數(shù)是一類在生活中最常見的周期函數(shù)模型，是將之前所學(xué)的任意角三角函數(shù)值的內(nèi)容和函數(shù)內(nèi)容相結(jié)合，故此節(jié)內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)中有著重要的地位。研究一類函數(shù)可以按照：“函數(shù)的定義→函數(shù)的圖像→函數(shù)的性質(zhì)”的路徑進(jìn)行學(xué)習(xí)學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了冪指對(duì)函數(shù)相應(yīng)知識(shí)的基礎(chǔ)上，再來學(xué)習(xí)本節(jié)三角函數(shù)的內(nèi)容，可以習(xí)得知識(shí)遷移的能力，掌握更多有共性且有函數(shù)的性質(zhì)。

三、學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，此前還學(xué)習(xí)銳角的正弦函數(shù)和任意角的正弦函數(shù)，并掌握了“描點(diǎn)法”繪制函數(shù)的圖像的方法，在此基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)正弦函數(shù)[y=sinx]的圖像，充分體現(xiàn)了抽象函數(shù)與函數(shù)圖像之間數(shù)學(xué)結(jié)合的思維發(fā)展過程，為今后的正弦函數(shù)的性質(zhì)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及函數(shù)[y=Asin（ωx+φ）]的圖像的研究打好基礎(chǔ)，起到了承上啟下的作用。因此本節(jié)的學(xué)習(xí)有著極其重要的地位，發(fā)展學(xué)生在數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等方面的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

四、教學(xué)目標(biāo)

1.通過理解正弦線在單位圓中的作用，理解利用幾何法作出在[[0，2π]]上正弦函數(shù)圖像的生成過程;

2.通過動(dòng)手操作，正確運(yùn)用五點(diǎn)法作出正弦函數(shù)在[[0，2π]]上的圖像;

3.在探究的過程中深化數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在函數(shù)中的應(yīng)用;

教學(xué)中體現(xiàn)的核心素養(yǎng)：

a.數(shù)學(xué)抽象：五點(diǎn)作圖法;

b.邏輯推理：利用函數(shù)的周期性，能將正弦函數(shù)在[[0，2π]]的圖像拓展到R上;

c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：特殊三角函數(shù)的求解;

d.直觀想象：運(yùn)用函數(shù)圖像分析問題;

e.數(shù)學(xué)建模：正弦函數(shù)圖像及其變換;

五、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：用“五點(diǎn)法”繪制正弦函數(shù)的圖象.

教學(xué)難點(diǎn)：

1.掌握利用幾何法繪制正弦函數(shù)圖象上一個(gè)點(diǎn)P[（x0，sinx0）]的方法.

2.利用單位圓的正弦線作出正弦函數(shù)在[[0，2π]]上的圖像.

3.掌握五點(diǎn)法的作圖步驟.

4.在掌握正弦函數(shù)的作圖方法的基礎(chǔ)上，學(xué)生探索如何畫出余弦函數(shù)圖像.

六、設(shè)計(jì)思路

1.知識(shí)回顧的設(shè)計(jì)意圖

本節(jié)課的目標(biāo)之一，是借助正弦線畫出正弦函數(shù)的圖像，在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前回顧單位圓中的正弦線，為正弦函數(shù)作圖時(shí)所用到的正弦線打下伏筆，喚起學(xué)生的記憶。

2.五點(diǎn)作圖法與幾何法的聯(lián)系與區(qū)別

（1）比較描點(diǎn)法作函數(shù)圖像與三角函數(shù)作圖方法的聯(lián)系與區(qū)別，從代數(shù)和幾何的不同角度實(shí)現(xiàn)描點(diǎn)繪圖。

（2）在畫出[y=sinx]在[[0，2π]]上的函數(shù)圖像之前，先對(duì)如何在坐標(biāo)系中，如何正確描出函數(shù)的一個(gè)點(diǎn)，讓學(xué)生進(jìn)行討論。

（2）在學(xué)生掌握了正弦曲線的形狀后，利用連續(xù)函數(shù)的特點(diǎn)，抓住一個(gè)周期內(nèi)五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的位置進(jìn)行五點(diǎn)法作圖的教學(xué)。

3.以問題驅(qū)動(dòng)方式貫穿整節(jié)課

設(shè)計(jì)問題串來調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，從而帶動(dòng)課堂教學(xué)。這樣的設(shè)計(jì)可以充分體現(xiàn)了教師主導(dǎo)作用，將課堂還給學(xué)生的的教學(xué)理念與方法。

主要問題例舉如下：

其一：正弦函數(shù)的概念

在復(fù)習(xí)回顧正弦線后：對(duì)于這樣的式子[y=sinx]，教師提問：“這是否為函數(shù)關(guān)系式？”

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回憶鞏固三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù)。

當(dāng)學(xué)生回答[y=sinx]是函數(shù)表達(dá)式后，教師：“這類函數(shù)叫什么函數(shù)？我們應(yīng)該從哪些方面去研究一個(gè)函數(shù)？”

【設(shè)計(jì)意圖】這樣就明確[y=sinx]是一種函數(shù)表達(dá)形式，同時(shí)是具有周期性的函數(shù)。要研究這樣函數(shù)的性質(zhì)，首先需要掌握這類函數(shù)的畫法，讓學(xué)生了解本節(jié)課在研究三角函數(shù)中的重要性。

其二：作正弦函數(shù)的圖像

開始引入正弦函數(shù)作圖內(nèi)容時(shí)，教師提問：“既然[y=sinx]是函數(shù)，那么如何作出正弦函數(shù)[y=sinx]的圖像？從我們之前學(xué)習(xí)的函數(shù)回憶一下，學(xué)過什么樣的函數(shù)圖像繪制方法？”

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生回憶函數(shù)作圖的一般方法——描點(diǎn)法。

在學(xué)生回答了函數(shù)作圖的一般方法是描點(diǎn)法后，教師接著問：“那么，在正弦函數(shù)中，給你一個(gè)自變量x0，你能直接得出函數(shù)值嗎？我們?cè)撊绾卧谧鴺?biāo)軸里準(zhǔn)確繪制正弦函數(shù)圖象上一個(gè)點(diǎn)P（x0，sin x0）？在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中可以借助使用什么特殊的圖形工具？”

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生從代數(shù)與幾何的兩個(gè)不同的角度考慮這個(gè)問題。同時(shí)，注意點(diǎn)P所在角的在橫、縱坐標(biāo)上的實(shí)數(shù)表達(dá)與單位圓上的幾何對(duì)應(yīng)關(guān)系。

當(dāng)學(xué)生提出可以利用正弦線、可以將單位圓滾起來、可以用棉線等方法后，教師再問：“正弦函數(shù)的定義域是什么？在作圖中，我們是否有必要作出整個(gè)定義域上正弦函數(shù)的圖像？為什么？”

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)化作圖，再次強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)一種典型的周期函數(shù)模型。

通過GGB作圖，讓學(xué)生能夠直觀感受正弦函數(shù)圖像的形狀和趨勢(shì)，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注特殊位置和特殊點(diǎn)，問：“我們是否可以通過確定一些關(guān)鍵點(diǎn)的位置來快速的作出正弦函數(shù)的大致圖像？請(qǐng)?jiān)賮碛^察一下剛才在[0.2π]上作的圖像，其中有哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)？并請(qǐng)說出它們的坐標(biāo)?！?/p>

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生抓住圖像的特殊點(diǎn)，為了簡(jiǎn)化作圖做鋪墊。

七、教學(xué)過程

八、板書設(shè)計(jì)

九、課堂內(nèi)容的思維可視化呈現(xiàn)

十、教學(xué)反思

1.對(duì)新教材的處理能力有待提高。

本次我是設(shè)計(jì)的是一節(jié)高一新教材課程，也是第一次把握新教材的重難點(diǎn)。重視對(duì)新教材的課時(shí)分解、內(nèi)容把握、設(shè)計(jì)思路，通過本節(jié)課的設(shè)計(jì)讓我對(duì)新教材的處理和把握重點(diǎn)、難點(diǎn)的能力有了一定的提升。

2.對(duì)問題的設(shè)計(jì)能力還要加強(qiáng)。

在教學(xué)中，我采用的是提出問題——解決問題——建立數(shù)學(xué)構(gòu)建的模式進(jìn)行教學(xué)，在備課時(shí)，對(duì)自己設(shè)計(jì)的問題認(rèn)為考慮的比較充分，具有一定的層次性和引導(dǎo)性。但是在磨課的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)我問題提出的方式和問題的指向性有了理解上的偏差，課后同組老師對(duì)我設(shè)計(jì)的問題和問題提出的時(shí)機(jī)進(jìn)行了指導(dǎo)，在此基礎(chǔ)上，我對(duì)問題提出的過度方式和問題的指向性進(jìn)行了優(yōu)化調(diào)整，并且在這個(gè)過程中，理解了對(duì)不同層次班級(jí)的學(xué)生要用不同的難度設(shè)計(jì)。在課堂中，如果學(xué)生不能很好地通過老師所設(shè)計(jì)的問題進(jìn)行學(xué)習(xí)，老師的引導(dǎo)則至關(guān)重要，這需要較強(qiáng)的應(yīng)變能力，不過從另一方面來說，課堂上學(xué)生的錯(cuò)誤有時(shí)候也會(huì)從成為老師課堂經(jīng)典的案例。

如果學(xué)生答錯(cuò)了，或者無法按照老師的設(shè)計(jì)回答問題，那么老師就應(yīng)該在此展開，讓學(xué)生更加深入地理解。

如果學(xué)生反應(yīng)過快，提前完成了自己的預(yù)設(shè)，則這也可以成為自己課堂設(shè)計(jì)的一部分，繼續(xù)向下走，主客地位互換而已。

因此，在提問式的課堂設(shè)計(jì)上，一定要注意每個(gè)問題的設(shè)計(jì)，層次的過度，問題環(huán)環(huán)相扣，難度層層遞進(jìn)。

3.在教學(xué)中，教師的語言還有待進(jìn)一步提高。

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，因此老師每句話都因該經(jīng)得起推敲。每次磨課下來，課后我都主動(dòng)詢問組內(nèi)聽課老師，是否有表達(dá)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤交蛘呖谡`，盡量在控場(chǎng)的同時(shí)，注意語言表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性。在后期的課堂中，更需時(shí)刻注意，否則從學(xué)生的角度會(huì)清晰地發(fā)現(xiàn)你的口誤和錯(cuò)誤。

4.注重學(xué)生的主體地位。

課堂上，我做的應(yīng)該是引導(dǎo)者的角色，在每個(gè)問題的設(shè)置上，我都設(shè)置了討論和探究部分。但是在這個(gè)部分，我忽略了分組方式、沒有設(shè)置小組代表，以及沒有及時(shí)對(duì)小組的活動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià)和小結(jié)，使得活動(dòng)顯得留于形式化。

5.加大多媒體使用比重，增加可視化效果。

本次課的主題是：“基于思維可視化的課程設(shè)計(jì)”，而我的主題正是函數(shù)圖像。為此，我研究了GeoGebra軟件，利用多媒體呈現(xiàn)了書上未體現(xiàn)的內(nèi)容，直接在感官上體現(xiàn)了思維可視化過程，由于本軟件不同于傳統(tǒng)的幾何畫板，故在備課的過程中，也花了較多時(shí)間進(jìn)行學(xué)習(xí)和研究。通過本次課的磨煉，也激發(fā)了我今后的多媒體的興趣，希望今后能夠多開發(fā)對(duì)應(yīng)的材料。