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      一類兩正冪指數(shù)大小比較問題的多種解法

      2021-10-15 00:23:24方曉峰
      關(guān)鍵詞:冪指數(shù)單調(diào)導(dǎo)數(shù)

      張 輝,方曉峰

      (火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部,陜西 西安 710025)

      0 引言

      導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[1]125-180是一元函數(shù)微分學(xué)的重要內(nèi)容和難點(diǎn)知識(shí),而利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判定函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而判定兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是一個(gè)常見的問題。在我校2020年秋季學(xué)期高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))的期終考試中,就出現(xiàn)了一道判定兩個(gè)正冪指數(shù)的大小問題,具體為:若0

      1 5種解法

      一般情形下,判定兩個(gè)正數(shù)的大小關(guān)系的方法有兩種,一種是研究這兩個(gè)正數(shù)之差與0之間的大小關(guān)系,一種是研究這兩個(gè)正數(shù)之比與1之間的大小關(guān)系。在此過程中常常需要構(gòu)造輔助函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判定兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系。對(duì)于此問題,可以首先構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=xa-ax,a≤x≤b,則有f(a)=0,f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且當(dāng)a

      解法1當(dāng)a=1時(shí),顯然有ab=1=a

      通過上述分析可以發(fā)現(xiàn),即使是同一個(gè)解題思路和方法,構(gòu)造不同的輔助函數(shù)也導(dǎo)致求解過程和計(jì)算工作量大大不同。因此,需要同學(xué)們?cè)谇蠼鈫栴}中,一般構(gòu)造便捷有效的輔助函數(shù)來(lái)求解問題,達(dá)到事半功倍的效果。

      事實(shí)上,此類問題是判定兩個(gè)正冪指數(shù)的大小關(guān)系,對(duì)于冪指數(shù)往往可以通過取對(duì)數(shù)進(jìn)行變形簡(jiǎn)化研究,因此也可以采用解法2來(lái)求解。

      解法2因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)lnx為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù),所以比較ab和ba的大小關(guān)系就等價(jià)于比較lnab和lnba的大小關(guān)系,即比較blna和alnb的大小關(guān)系?,F(xiàn)考慮alnb-blna與0的大小關(guān)系。

      從上述求解過程可以看出,此種方法不需要證明函數(shù)a-xlna在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取值大于0這個(gè)重要結(jié)論,也就是說(shuō)比第一種方法簡(jiǎn)單一些,因此推薦此解法的第二種方法。

      在解法2和解法3中,我們是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性通過取對(duì)數(shù)進(jìn)行恒等變形進(jìn)行分析研究的,而冪函數(shù)也同樣具有一致的單調(diào)性,這也為我們提供了一種求解思路和方法,于是可得解法4。

      在解法2、3和4中,我們是利用對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性通過恒等變形進(jìn)行分析研究的。而指數(shù)函數(shù)也同樣具有一致的單調(diào)性,這同樣也為我們提供了一種新的求解思路和方法,于是可得解法5。

      解法5當(dāng)a=1時(shí),則有ab=1=a

      下面分兩種情形討論分析,當(dāng)0f(b),從而0>alogab-b,即alogabab,故有ba>ab;當(dāng)a>1時(shí),lna>0和f′(x)>0,即f(x)在閉區(qū)間[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)遞增,有f(a)b和aaloga b>ab,故有ba>ab。綜上所述可得ba>ab。

      需注意的是,上面構(gòu)造的輔助函數(shù)只含有a并不含有b,求解過程較為復(fù)雜。若構(gòu)造另一個(gè)輔助函數(shù)只含有b并不含有a,其求解計(jì)算量是否會(huì)減少呢?以下給出詳細(xì)的求解過程。

      當(dāng)b=1時(shí),則有ba=1=b>a=ab。

      當(dāng)b≠1時(shí),因?yàn)閍b=bblogb a和指數(shù)函數(shù)bx為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),所以比較ab和ba的大小關(guān)系就等價(jià)于轉(zhuǎn)化為比較blogba和a的大小關(guān)系。

      從上述求解過程可以看出,此種方法不需要證明函數(shù)a-xlna在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取值大于0這個(gè)重要結(jié)論,也就是說(shuō)比第一種方法簡(jiǎn)單一些,因此推薦解法5的第二種方法求解。

      以上我們利用5種方法分析判定兩正冪指數(shù)的大小關(guān)系,通過比較可以發(fā)現(xiàn),解法3是較為簡(jiǎn)單的方法,但這種方法需要進(jìn)行一些恒等變形并不容易會(huì)想到。值得注意的是,我們所給出的研究問題是可以進(jìn)行簡(jiǎn)化的。事實(shí)上,當(dāng)a=1時(shí),則有ab=1=a

      事實(shí)上,對(duì)于兩個(gè)正冪指數(shù)ab和ba的大小關(guān)系,有一般性的結(jié)論:

      1)當(dāng)0

      2)當(dāng)e≤aba;

      3)當(dāng)a52和23<32。

      圖1 函數(shù)的圖形Fig.1 Curve of the function

      2 小結(jié)

      本文研究了兩正冪指數(shù)ab和ba的大小關(guān)系的判定問題,利用5種方法進(jìn)行了分析討論,旨在為大一學(xué)生對(duì)如何利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系的解法有更深的理解和掌握,進(jìn)而對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[2-6]有更深入的理解。對(duì)于大一學(xué)生而言,關(guān)鍵是如何針對(duì)具體問題尋找便捷有效的方法解決問題,這也是大一學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中需要著重提高的環(huán)節(jié),進(jìn)而達(dá)到事半功倍、舉一反三的效果。

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