一類兩正冪指數(shù)大小比較問題的多種解法

張 輝,方曉峰

(火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710025)

0 引言

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[1]125-180是一元函數(shù)微分學(xué)的重要內(nèi)容和難點(diǎn)知識(shí)，而利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判定函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而判定兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是一個(gè)常見的問題。在我校2020年秋季學(xué)期高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))的期終考試中，就出現(xiàn)了一道判定兩個(gè)正冪指數(shù)的大小問題，具體為:若0

1 5種解法

一般情形下，判定兩個(gè)正數(shù)的大小關(guān)系的方法有兩種，一種是研究這兩個(gè)正數(shù)之差與0之間的大小關(guān)系，一種是研究這兩個(gè)正數(shù)之比與1之間的大小關(guān)系。在此過程中常常需要構(gòu)造輔助函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判定兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系。對(duì)于此問題，可以首先構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=xa-ax，a≤x≤b，則有f(a)=0，f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且當(dāng)a

解法1當(dāng)a=1時(shí)，顯然有ab=1=a

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，即使是同一個(gè)解題思路和方法，構(gòu)造不同的輔助函數(shù)也導(dǎo)致求解過程和計(jì)算工作量大大不同。因此，需要同學(xué)們?cè)谇蠼鈫栴}中,一般構(gòu)造便捷有效的輔助函數(shù)來(lái)求解問題，達(dá)到事半功倍的效果。

事實(shí)上，此類問題是判定兩個(gè)正冪指數(shù)的大小關(guān)系，對(duì)于冪指數(shù)往往可以通過取對(duì)數(shù)進(jìn)行變形簡(jiǎn)化研究，因此也可以采用解法2來(lái)求解。

解法2因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)lnx為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，所以比較ab和ba的大小關(guān)系就等價(jià)于比較lnab和lnba的大小關(guān)系，即比較blna和alnb的大小關(guān)系?，F(xiàn)考慮alnb-blna與0的大小關(guān)系。

從上述求解過程可以看出，此種方法不需要證明函數(shù)a-xlna在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取值大于0這個(gè)重要結(jié)論，也就是說(shuō)比第一種方法簡(jiǎn)單一些，因此推薦此解法的第二種方法。

在解法2和解法3中，我們是利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性通過取對(duì)數(shù)進(jìn)行恒等變形進(jìn)行分析研究的，而冪函數(shù)也同樣具有一致的單調(diào)性，這也為我們提供了一種求解思路和方法，于是可得解法4。

在解法2、3和4中，我們是利用對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性通過恒等變形進(jìn)行分析研究的。而指數(shù)函數(shù)也同樣具有一致的單調(diào)性，這同樣也為我們提供了一種新的求解思路和方法，于是可得解法5。

解法5當(dāng)a=1時(shí)，則有ab=1=a

下面分兩種情形討論分析，當(dāng)0f(b)，從而0>alogab-b，即alogabab，故有ba>ab；當(dāng)a>1時(shí)，lna>0和f′(x)>0，即f(x)在閉區(qū)間[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)遞增，有f(a)b和aaloga b>ab，故有ba>ab。綜上所述可得ba>ab。

需注意的是，上面構(gòu)造的輔助函數(shù)只含有a并不含有b，求解過程較為復(fù)雜。若構(gòu)造另一個(gè)輔助函數(shù)只含有b并不含有a，其求解計(jì)算量是否會(huì)減少呢？以下給出詳細(xì)的求解過程。

當(dāng)b=1時(shí)，則有ba=1=b>a=ab。

當(dāng)b≠1時(shí)，因?yàn)閍b=bblogb a和指數(shù)函數(shù)bx為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，所以比較ab和ba的大小關(guān)系就等價(jià)于轉(zhuǎn)化為比較blogba和a的大小關(guān)系。

從上述求解過程可以看出，此種方法不需要證明函數(shù)a-xlna在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取值大于0這個(gè)重要結(jié)論，也就是說(shuō)比第一種方法簡(jiǎn)單一些，因此推薦解法5的第二種方法求解。

以上我們利用5種方法分析判定兩正冪指數(shù)的大小關(guān)系，通過比較可以發(fā)現(xiàn)，解法3是較為簡(jiǎn)單的方法，但這種方法需要進(jìn)行一些恒等變形并不容易會(huì)想到。值得注意的是，我們所給出的研究問題是可以進(jìn)行簡(jiǎn)化的。事實(shí)上，當(dāng)a=1時(shí)，則有ab=1=a

事實(shí)上，對(duì)于兩個(gè)正冪指數(shù)ab和ba的大小關(guān)系，有一般性的結(jié)論：

1)當(dāng)0

2)當(dāng)e≤aba；

3)當(dāng)a52和23<32。

圖1 函數(shù)的圖形Fig.1 Curve of the function

2 小結(jié)

本文研究了兩正冪指數(shù)ab和ba的大小關(guān)系的判定問題，利用5種方法進(jìn)行了分析討論，旨在為大一學(xué)生對(duì)如何利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系的解法有更深的理解和掌握，進(jìn)而對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[2-6]有更深入的理解。對(duì)于大一學(xué)生而言，關(guān)鍵是如何針對(duì)具體問題尋找便捷有效的方法解決問題，這也是大一學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中需要著重提高的環(huán)節(jié)，進(jìn)而達(dá)到事半功倍、舉一反三的效果。