虛擬紐結(jié)的區(qū)域不變量

胡冰清，沈廣艷

(東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024)

1 虛擬紐結(jié)的極小生成集

1999年，Kauffman[1]提出了虛擬紐結(jié)的理論.之前研究的經(jīng)典紐結(jié)是把閉曲線嵌入到3維空間中，而虛擬紐結(jié)是把閉曲線嵌入到加厚曲面Sɡ×I(Sɡ為虧格是g的閉曲面，I為閉區(qū)間[0，1]).

兩個(gè)虛擬鏈環(huán)圖D和D′是合痕的，等價(jià)于D可以通過(guò)一系列的推廣的R-移動(dòng)，變成D′.

定義1[1]推廣的R-移動(dòng)：

(1) 關(guān)于經(jīng)典交叉的經(jīng)典的R-移動(dòng)；

(2) 虛擬的VR-Ⅰ，VR-Ⅱ，VR-Ⅲ移動(dòng)；

(3) “半虛擬”的semi-VR-Ⅲ移動(dòng).

定義2[2]一個(gè)虛擬鏈環(huán)是虛擬鏈環(huán)圖模去推廣的R-移動(dòng)的一個(gè)等價(jià)類.

Polyak[3]討論了經(jīng)典紐結(jié)的定向的R-移動(dòng)極小生成集.R-移動(dòng)與VR-移動(dòng)見(jiàn)圖1.

圖1 R-移動(dòng)與VR-移動(dòng)

定理1[3]設(shè)D和D′是同一定向鏈環(huán)在R2中的兩個(gè)投影圖，則可以通過(guò)有限次4種定向的R-移動(dòng)Ω1a，Ω1b，Ω2a，Ω3a，見(jiàn)圖2，使D合痕于D′.

圖2 定向R-移動(dòng)

仿照文獻(xiàn)[3]，本文給出虛擬紐結(jié)的定向的推廣R-移動(dòng)的極小生成集.為此，先將所有的定向的VR-Ⅰ，VR-Ⅱ，VR-Ⅲ，semi-VR-Ⅲ的種類列出來(lái).

圖3 定向VR-移動(dòng)

圖4 定向semi-VR-Ⅲ移動(dòng)

證明見(jiàn)圖5.

圖生成圖

證明見(jiàn)圖6.

圖生成圖

證明見(jiàn)圖7.

圖生成圖

證明見(jiàn)圖8.

圖生成圖

證明見(jiàn)圖9.

圖生成圖

證明見(jiàn)圖10.

圖生成圖

證明由引理1—6可得結(jié)論.

2 虛擬紐結(jié)的區(qū)域不變量

Yang[4]構(gòu)造了一個(gè)區(qū)域不變量，用一個(gè)紐結(jié)的平面圖D把平面分成了很多個(gè)區(qū)域a，b，c，d，…，把每個(gè)區(qū)域都當(dāng)成生成元，見(jiàn)圖11，在每個(gè)交叉都增加一個(gè)線性關(guān)系ax+by+cz+dw=0.用LT(D)={a，b，c，d，…，r1，r2，r3，…}表示產(chǎn)生的代數(shù)結(jié)構(gòu).稱之為D的一個(gè)線性的tridle.[5-7]R-移動(dòng)的不變性表明條件xz=yw一定要滿足.

對(duì)虛擬紐結(jié)投影圖中的經(jīng)典的交叉仍定義關(guān)系r：ax+by+cz+dw=0，其中xz=yw.對(duì)虛擬交叉定義關(guān)系r′：ax′+by′+cz′+dw′=0.要求x，y，z，w，x′，y′，z′，w′可逆.下面，記LT(D)={a，b，c，d，…，r1，r2，r3，…}，給出LT(D)為虛擬紐結(jié)不變量時(shí)，應(yīng)滿足的代數(shù)結(jié)構(gòu).

圖11 定向虛擬紐結(jié)區(qū)域生成元

定理3LT(D)是一個(gè)虛擬紐結(jié)的不變量.

首先對(duì)虛擬的VR-Ⅰ，如圖12所示，將每個(gè)區(qū)域分配生成元a，b，c，….LT(D)={a，b|r1，r2，…}.那么在D′中，生成元滿足bx′+ay′+bz′+cw′=0，LT(D′)={a，b，c，…|bx′+ay′+bz′+cw′=0，r1，r2，…}.應(yīng)用文獻(xiàn)[4]的Tietz變換消去c和c的關(guān)系，得LT(D)?LT(D′).

對(duì)虛擬的VR-Ⅱ，如圖13所示，將每個(gè)區(qū)域分配生成元a，b，c，….LT(D)={a，b，c|r1，r2，…}.那么在D′中，生成元滿足bx′+ay′+dz′+cw′=0，dx′+ay′+bz′+cw′=0.故有x′=z′.那么在D′中，LT(D′)={d，a，b，c，…|bx′+ay′+dz′+cw′=0，r1，r2，…}.應(yīng)用文獻(xiàn)[4]的Tietz變換消去d和d的關(guān)系，得LT(D)?LT(D′).

對(duì)虛擬的VR-Ⅲ，如圖14所示，將每個(gè)區(qū)域分配生成元X，Y，E，….LT(D)={X，Y，E，F(xiàn)，T，U，V，…|r1，r2，…}.

圖12 定向VR-Ⅰ區(qū)域生成元

圖14 定向VR-Ⅲ區(qū)域生成元

r4：Fx′+Ty′+Yz′+Xw′=0；

r5：Yx′+Ty′+Vz′+Ew′=0；

r6：Vx+Ty+Fz+Uw=0.

把T，U，V當(dāng)成未知的，由r4，有T=-{Fx′+Yz′+Xw′}/y′.把T的表達(dá)式代入r5中，有V={Fx′+Xw′-Ew′}/z′.把T，V代入r6中，有

在D′中，這里有3個(gè)交叉，所以有3個(gè)關(guān)系式：

所以

在K中，有3個(gè)交叉.所以有3個(gè)關(guān)系式：

r7：Fx+Ty+Vz+Uw=0；

r8：Fx′+Ty′+Yz′+Xw′=0；

r9：Yx′+Ty′+Vz′+Ew′=0.

由r8，有T=-{Fx′+Yz′+Xw′}/y′.代入r9，有V={Fx′+Xw′-Ew′}/z′.將T，V代入r7，有

在K′中，有3個(gè)交叉.所以有3個(gè)關(guān)系式：