時(shí)滯獨(dú)立狀態(tài)下離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

孫 鳳 琪

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

離散系統(tǒng)是實(shí)際問(wèn)題中普遍存在的一類控制系統(tǒng).為確保在控制上達(dá)到較高的精度，需將時(shí)滯、不確定性因素對(duì)離散系統(tǒng)的影響考慮進(jìn)去，很多學(xué)者在離散時(shí)滯不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方面做了一些研究[1-3].尤其對(duì)于時(shí)滯依賴情形，參數(shù)的增加能夠有效降低系統(tǒng)的保守性，但提高了矩陣不等式條件的復(fù)雜性和求解難度.由于時(shí)滯獨(dú)立情形的穩(wěn)定性判據(jù)簡(jiǎn)潔易于操作，有時(shí)控制效果往往還會(huì)優(yōu)于時(shí)滯依賴情形[4].用結(jié)果的保守性來(lái)?yè)Q取控制效果的簡(jiǎn)潔性和可行性，控制效果各有所能.在離散時(shí)滯依賴方面諸多研究已見(jiàn)諸文獻(xiàn)[5-10]，而對(duì)于含有奇異攝動(dòng)不確定時(shí)滯離散這類綜合控制控制系統(tǒng)，時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性分析上成果不多，尚需補(bǔ)充完善.

因此，本文對(duì)該系統(tǒng)通過(guò)設(shè)計(jì)新的Lyapunov函數(shù)，利用相關(guān)引理、線性矩陣不等式方法以及新的差分不等式等交叉項(xiàng)界定技術(shù)，進(jìn)行時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性研究，對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行推廣.最后利用數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證結(jié)論可行性、方法有效性以及相比于文獻(xiàn)的控制效果的優(yōu)越性.

考慮如下時(shí)滯奇異攝動(dòng)不確定性離散控制系統(tǒng)：

(1)

其中F(k)∈Ri×j是范數(shù)有界的不確定系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣，滿足

FT(k)F(k)≤I.

(2)

其他系統(tǒng)矩陣和相關(guān)條件均與文獻(xiàn)[8]的系統(tǒng)(4.1)相同.

1 主要結(jié)論

(3)

(4)

證明設(shè)計(jì)新的Lyapunov泛函如下：

其中Q為對(duì)稱正定矩陣，即QT=Q>0，則V(k)為正定的.將V(k)沿著系統(tǒng)(1)向前差分，并由文獻(xiàn)[9]引理3，存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣P，對(duì)稱陣N和R，使得

-(-xT(k))[(A+ΔA)TZT(ε)Z(ε)(B+ΔB)]x(k-d(k))≤

則ΔV(k)≤ηT(k)G(ε)η(k).其中：

(5)

為求出定理1中未知的參數(shù)變量，需要將不確定性從(5)式中消去，利用文獻(xiàn)[9]引理2，以及Schur補(bǔ)引理進(jìn)行化簡(jiǎn)，類似于文獻(xiàn)[8]中定理2，可得如下線性矩陣不等式條件判定定理：

其中E(ε)，Z(ε)，A，B，D，Ea，Eb同上.

將含有時(shí)滯上下界的正定項(xiàng)在Lyapunov-Krasovskii函數(shù)中去掉，得到以上定理結(jié)論.相比于時(shí)滯依賴穩(wěn)定性判據(jù)，雖未考慮時(shí)滯取值范圍，但簡(jiǎn)潔可行，對(duì)任何時(shí)滯都可行，這是時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性判據(jù)的優(yōu)越性所在.

將系統(tǒng)(1)除去不確定性F(k)，可易得以下推論：

其中E(ε)，Z(ε)，ΔA，ΔB，A，B同上.

2 算例

對(duì)帶有慣性環(huán)節(jié)的電力系統(tǒng)問(wèn)題，建模成如下非標(biāo)準(zhǔn)情形的離散時(shí)滯奇異攝動(dòng)不確定控制系統(tǒng)：

其中：

Z4=14.084 3，Z5=-18.346，γ=7.962 1.

可見(jiàn)，?ε∈(0，6.152 3]，系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定.

表1 算例穩(wěn)定性數(shù)據(jù)分析

本算例說(shuō)明了本文所得結(jié)論的優(yōu)越性和可行性，進(jìn)一步體現(xiàn)出在某種程度上，時(shí)滯獨(dú)立的穩(wěn)定性效果更好.

3 結(jié)語(yǔ)

(1) 本文是在文獻(xiàn)[8]基礎(chǔ)上的后續(xù)理論研究，其創(chuàng)新點(diǎn)在于，對(duì)比較復(fù)雜的離散控制綜合系統(tǒng)進(jìn)行了時(shí)滯獨(dú)立情形下的穩(wěn)定性研究，突顯了時(shí)滯獨(dú)立的理論特性及其優(yōu)越點(diǎn)，可以為相關(guān)時(shí)滯獨(dú)立狀態(tài)下的魯棒控制問(wèn)題研究提供理論參考.

(2) 基于連續(xù)的時(shí)滯系統(tǒng)中普遍涉及輸入時(shí)滯，而在離散的時(shí)滯系統(tǒng)中也存在輸入時(shí)滯的問(wèn)題.因此，對(duì)于怎樣解決輸入時(shí)滯與離散系統(tǒng)之間的關(guān)系是需要進(jìn)一步完善研究的課題.