比較法在信號與系統(tǒng)課程教學中的應用

張靜 陶彬彬

摘要：信號與系統(tǒng)這門課程抽象、理論性強、基本概念、數學公式及推導較多，學生不容易理解，容易望而生畏，學習起來倍加困難，但是好的方法可以使信號的學習效果達到事半功倍。比較法是一種特別適合于信號與系統(tǒng)課程的教學方法，將比較法用于實際的教學，不僅可以激發(fā)學生的學習熱情，提升學習效果，而且可以提高學生的學習能力。

關鍵詞：連續(xù)系統(tǒng);離散系統(tǒng);卷積;傅里葉變換;拉普拉斯變換

中圖分類號：G642.4? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）26-0261-03

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

1 背景

信號與系統(tǒng)課程是電子信息類專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎課，該課程是一門承上啟下的課程，其先修課程為高等數學、電路原理、復變函數等，其后續(xù)課程有自動控制原理、高頻電子線路、通信原理、數字信號處理等[1-2]。該課程理論性較強，數學公式頗多、基本概念、基本分析方法很重要，并且因為數學頗多、理論性強、比較抽象，所以學好信號這門課程需要花費很多的精力。因此，好的學習法對于信號與系統(tǒng)課程的學習，不僅可以事半功倍，而且可以激發(fā)學生的學習熱情，進而提升信號的學習效果，為后續(xù)課程的學習以及考研打下牢固良好的基礎。

信號與系統(tǒng)課程主要包括：連續(xù)系統(tǒng)的時域分析、離散系統(tǒng)的時域分析、傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析、連續(xù)系統(tǒng)的s域分析、離散系統(tǒng)的z域分析、系統(tǒng)函數及狀態(tài)變量等[3]。本文以信號與系統(tǒng)前6章的內容為例，將比較法用于其中。通過比較法不僅將連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)時域內的基本信號與性質、卷積、響應的求解進行比較，而且將三大變換域-頻域、復頻域、z域進行比較。通過比較法發(fā)現相似規(guī)律及差異，進而可以更好地掌握信號系統(tǒng)的基本理論，構建系統(tǒng)性的知識體系。

2 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的基本信號及性質的比較

連續(xù)系統(tǒng)及離散系統(tǒng)中有一些基本的信號，基本信號有其獨特的性質以及響應，他們有很多相似的地方，可以對比掌握?；拘盘柕牟ㄐ螆D如圖1～圖4所示?；拘盘?、響應、關系及性質如表1所示。

2 卷積積分和卷積和的比較

2.1 定義式

卷積積分：

[ft=f1t*f2t=-∞+∞f1τ?f2t-τdτ]? ? ? ? ? ? ?（1）

卷積和：

[fk=f1k*f2k=-∞+∞f1i?f2k-i]? ? ? ? ? ? ? ?（2）

無論卷積積分還是卷積和都分為5步走，即：換元、反轉、右移、相乘、積分（求和），唯一不同的是連續(xù)信號的積分對應離散信號的求和。

2.2 卷積積分和卷積和的性質

卷積積分和卷積和有很多重要的性質，靈活的運用性質可以簡化卷積的運算[4]。表2為卷積積分和卷積和的性質，他們有著相似之處，運用比較法可以幫助理解、記憶、掌握。

從表2可以發(fā)現卷積積分和卷積和的性質類似，區(qū)別在于前者為連續(xù)變量，后者為離散變量。連續(xù)信號里面求原函數的積分對應離散信號求迭分，連續(xù)系統(tǒng)的微分對應于離散系統(tǒng)的差分。

2.3 卷積的求解方法

卷積積分的求解方法有：1）定義式法;2）圖解法：3）性質法。

卷積和的求解方法有：1）定義式法;2）圖解法：3）性質法 ;4）不進位乘法求卷積和;5）列表法。

2.4 卷積法求零狀態(tài)響應

連續(xù)系統(tǒng)，對于任意[ft]通過LTI系統(tǒng)產生的零狀態(tài)響應等于其卷積該系統(tǒng)的沖擊響應，即：[yzst=ft*ht];

離散系統(tǒng)，對于任意[fk]通過LTI系統(tǒng)產生的零狀態(tài)響應等于其卷積該系統(tǒng)的單位序列響應，即：[yzsk=fk*hk];

只要知道系統(tǒng)的沖擊響應[ht]或者單位序列響應[hk]，對于任意信號[ft]或[fk]，就可以求出他們的零狀態(tài)響應[yzst]或[yzsk]。

3 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)求解響應的比較

連續(xù)系統(tǒng)的全響應：

[yt=yht+ypt=yxt+yft]，連續(xù)系統(tǒng)全響應分為自由響應[yht]和強迫響應[ypt]，也可以分為零輸入響應[yxt]和零狀態(tài)響應[yft]。

離散系統(tǒng)的全響應：

[yk=yhk+ypk=yxk+yfk]，離散系統(tǒng)全響應分為自由響應[yhk]和強迫響應[ypk]，也可以分為零輸入響應[yxk]和零狀態(tài)響應[yfk]。

無論是求解連續(xù)系統(tǒng)的微分方程還是求解離散系統(tǒng)的差分方程相同的是都包含以下幾個步驟：1）特征方程的求解 ;2）求初始值 ;3）求齊次解; 4）求特解 ;5）通過初始值求待定系數等。也就是說求解思路是一樣的。所不同的是，求初始值的方法不同，前者初始值用積分求，后者的初始值用遞推;齊次解的表達式也不一樣，前者，特征根在指數上，后者特征根在底部。

4 傅里葉變換與拉普拉斯變換、z變換的比較

4.1 三者之間的關系[3]

[ft]的傅里葉變換為[Fjω]，簡記作[ft?Fjω]，[Fft=Fjω]，

[Fjω=-∞+∞fte-jωtdt]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

傅里葉逆變換為：

[F-1Fjω=ft=-∞+∞Fjωejωtdω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）