何現(xiàn)啟， 彭凌星， 朱自強， 魯光銀

(1.湖南省交通規(guī)劃勘察設計院有限公司, 長沙 410200； 2.中南大學地球科學與信息物理工程學院， 長沙 410083)

通過對反射系數(shù)的近似研究，可以弄清裂隙介質(zhì)中反射系數(shù)的非線性問題轉(zhuǎn)為線性問題，進而利用這些特性進行參數(shù)反演，有利于提高反演速度。對相關(guān)工作，中外學者已開展了部分研究。Quintal等[1]通過一維模型數(shù)值分析，研究了非飽和巖層中飽和度變化及地震波頻率對地震波反射系數(shù)的影響。馮潤海[2]運用MATLAB軟件對各向異性典型模型反射系數(shù)和振幅數(shù)據(jù)進行了比較,討論了各向異性介質(zhì)中地震波反射系數(shù)的變化特征。王小杰等[3]利用弱黏彈性近似推導了黏彈性介質(zhì)反射系數(shù)近似公式,精確地反映了地震波的傳播規(guī)律。付欣[4]指出AVO(amplitude variation with offset)分析的一般線性反射系數(shù)近似公式與精確公式之間還存在較大誤差。Zhao等[5]研究表明，在擴散黏滯性介質(zhì)中的反射系數(shù)的大小不僅與入射角和介質(zhì)參數(shù)有關(guān)，而且還與地震波頻率相關(guān)。許茜茹等[6]研究表明，具有比橫向各向同性(TI)介質(zhì)的正交各向異性介質(zhì)通常需要9個獨立參數(shù)對其進行描述,這使得對傳播特征的計算更為復雜且在奇異點(慢度面的鞍點和交叉點)附近的反射與透射(R/T)系數(shù)的求解不穩(wěn)定。陳長敬等[7]采用基于匹配追蹤(matching pursuit, MP)的多子波分解技術(shù)可以得到準確的反射系數(shù)。單俊臻等[8]推導出一種新的PP波HTI介質(zhì)反射系數(shù)一階擾動近似公式，提高了炮檢距信息的利用率。張繁昌等[9]研究結(jié)果表明，采用傅里葉級數(shù)反射系數(shù)公式能夠準確用于進行裂縫密度預測。陳德元[10]基于地震薄層反射系數(shù)譜提出了線性譜反演約束方法。Song[11]研究了具有水平對稱平面的單斜介質(zhì)中的近似反射系數(shù)，并通過數(shù)值計算證明二階近似公式具有較高的精度。

1 裂隙介質(zhì)的精確反射透射系數(shù)

圖1中, 分別用下標1和2表示兩種介質(zhì)的彈性參數(shù)，當qP波UiP入射至介質(zhì)界面時，產(chǎn)生反射qP波U2和反射qSV波U3，透射qP波U4和透射qSV波U5[12-16],U表示各種波的質(zhì)點偏振位移。

在xoz平面內(nèi)PP波可表示如下。

入射qP波：

(1)

反射qP波：

θiP1為入射波的入射角；θS1為反射qSV波的反射角; θP1為反射qP波的反射角;θS2為透射qSV波的透射角; θP2為透射qP波的透射角圖1 界面處入射qP波、反射波和透射波示意圖Fig.1 Schematic diagram of incident qP wave, reflected wave and transmitted wave at the interface

(2)

式中：UiP、U2分別為入射波和反射波的質(zhì)點偏振位移；A為qP波的振幅；ω為圓頻率；x、z為幾何坐標；t為時間；RPP為以位移表示的qP反射波的反射系數(shù)；φ為與各種波相關(guān)的偏振角[17-20]，下標iP和P1分別為入射波和反射波。

在邊界處位移連續(xù)，即

(3)

應力連續(xù)，即

(4)

式中：

當z=0時，有

(5)

式(5)中：UiPx、U2x、U3x、U4x、U5x分別為入射波、反射波qP和反射qSV波，透射qP波和透射qSV波的x分量。

將式(1)、式(2)代入式(5)得

(6)

式(6)中:RPP、RPS、TPP、TPS分別為以位移表示的qP反射波、qSV反射波、qP透射波和qSV透射波的反射系數(shù)和透射系數(shù)。

根據(jù)裂隙介質(zhì)的彈性矩陣，將波函數(shù)代入邊界條件，整理可得EDA介質(zhì)qP波入射的矩陣形式擬Zoeppritz方程為[21-23]

MR=N

(7)

式(7)中：R=(RPP,RPS,TPP,TPS)；M、N分別為EDA介質(zhì)參數(shù)和與入射角有關(guān)的系數(shù)矩陣，具體表示如下。

(8)

N=[N1,N2,N3,N4]T

(9)

式(9)中：

其中c為彈性系數(shù)矩陣的元素。

利用Cramer準則，可確定地震波的反射、透射系數(shù)解析表達式為

R=M-1N

(10)

式(10)即為裂隙介質(zhì)中qP波入射的反射、透射系數(shù)精確表達式。

2 弱各向異性介質(zhì)中P波反射、透射 系數(shù)

2.1 弱各向異性介質(zhì)中入射和透射波P的慢度向量和偏振向量

為便于計算，假設地震波入射平面與xoz平面重合，如圖2所示。在一般各向異性介質(zhì)中，在界面處各產(chǎn)生3種反射波和透射波，其中P表示縱波，S1表示SV波，S2表示SH波。圖2中，n為分界面的法向向量，p0(0)為各向同性介質(zhì)中P波的慢度，p0(1)=p0(2)和p0(4)=p0(5)分別為反射和透射橫波的慢度，i、j分別為入射P波與反射波的相角，g0(0)為入射P波的偏振向量，在弱各向異性條件下，慢度向量可以表示為攝動形式[24-27]。

圖2 背景介質(zhì)中零方位角(入射平面為xoz)的 R/T波示意圖Fig.2 The schematic diagram of R/T in xoz plane for background media

p(N)≈p0(N)+δp(N)

(11)

式(11)中：p(N)為各向異性介質(zhì)中地震波的慢度向量；δp(N)為加入的攝動量，N=0、1、2、3分別表示入射P波、反射S1、反射S2、反射P波，N=4、5、6分別對應于透射波S1、S2、P波；p0(N)為各向同性介質(zhì)中的慢度向量，具體表示為

(12)

式(12)中：a、β分別為各向同性介質(zhì)中P波和S波的速度。

(13)

式(13)中:δc(0)為入射波的相速度與各向同性介質(zhì)中相速度的偏差，其表達式為

(14)

由式(11)、式(12)可得在界面Σ上，慢度的切向分量bi可表示為

(15)

式(15)中：vi為速度分量。

(16)

在弱各向異性條件下，式(11)可表示為

(17)

式(17)中：ξ(6)為法向向量；δbi、δξ(6)vi分別為弱各向異性介質(zhì)中透射波慢度的切向和法向分量的擾動量。

由式(15)～式(17)可得

(18)

由式(15)、式(18)可得弱各向異性條件下，透射波的慢度為

(19)

偏振向量可表示為

g(N)≈g0(N)+δg(N)

(20)

(21)

式(21)中：Φ為介質(zhì)1中的偏振角；Ψ為介質(zhì)2中的偏振角；g0(0)、g0(1)、g0(2)、g0(3)、g0(4)、g0(5)、g0(6)分別代表入射P波，反射S1、S2、P波，透射波S1、S2、P。

(22)

在上述結(jié)果基礎上，可以對邊界條件進行線性化,進而推導出各種波的反射、透射系數(shù)表達式。

2.2 弱各向異性介質(zhì)中PP波反射系數(shù)

依據(jù)Vaclav Vavrycukand Ivan Psenck(1998)的結(jié)論，結(jié)合將式(12)、式(19)代入(x，z)平面內(nèi)的可得PP波反射系數(shù)表達式為

(23)

(24)

假設入射平面與(x,z)面之間的夾角為φ，彈性參數(shù)可表示為

(25)

式(25)中:c11、c′11分別為旋轉(zhuǎn)角度φ后的介質(zhì)彈性系數(shù)及未經(jīng)轉(zhuǎn)換的彈性系數(shù)。

由Thomsen(1993)[x-z]平面內(nèi)的PP波反射系數(shù)表示為

(26)

式(26)中：Δc33為彈性系數(shù)；Δρ為介質(zhì)密度；Δε*為各項異性系數(shù)的擾動量。

弱各向異性介質(zhì)中PP波的反射系數(shù)RPP(φ,θP)的計算公式為

(27)

式(27)中：Δ為拉普拉斯算子。

3 HTI介質(zhì)中的PP反射系數(shù)

依據(jù)HTI介質(zhì)彈性參數(shù)，式(27)可簡化為

Δδcos2φsin2φ)sin2θPtan2θP

(28)

當φ=π/2，且假設入射面與介質(zhì)的垂直各向同性面重合，則式(28)可簡化為

(29)

4 裂隙介質(zhì)中PP反射系數(shù)

當HTI(horizontal transverse isotropy)介質(zhì)的對稱軸與x軸之間有一定夾角φ0時，可以看成是裂隙EDA(extensive dilatancy anisotropy)介質(zhì)，其彈性系數(shù)矩陣為

(30)

其PP反射系數(shù)為

(31)

將各向異性系數(shù)代入式(31)可得

Δεzcos2φsin2φ+2Δε16cos2φsinφ+

2Δε26sin3φcosφ]sin2θPtan2θP

(32)

式(32)中:Δεx為各向異性系數(shù)的微小攝動量；RPP(φ,θP)為方位角φ、傾角θP方向的PP波反射系數(shù)。

5 算法驗證

為了驗證所推導的PP波反射系數(shù)的近似公式[式(28)和式(31)]的準確性和計算精度，通過建立HTI及裂隙介質(zhì)的數(shù)學模型，通過數(shù)值計算驗證近似公式與精確公式計算誤差，以便確定其應用范圍，對實際勘探的應用給與指導。

5.1 HTI介質(zhì)中PP波反射系數(shù)

模型1 HTI參數(shù)如表1所示。表1中，VP0、VS0分別為介質(zhì)對稱軸方向的縱波和橫波速度，ε、δ、γ為Thmosne各向異性系數(shù)，ρ為介質(zhì)密度。將相關(guān)彈性系數(shù)代入式(10)及式(28)便可得到HTI介質(zhì)中地震波的精確反射系數(shù)及其近似值，采用MATLAB求解，結(jié)果如圖3所示，近似值與精確值得絕對誤差和相對誤差計算結(jié)果如圖4所示，反射系數(shù)隨入射角的變化關(guān)系如圖5所示。

表1 模型1彈性參數(shù)Table 1 Elastic parameters of model 1

圖3 HTI介質(zhì)PP波反射系數(shù)Fig.3 Reflction coefficient of PP wave in HTI media

圖4 HTI介質(zhì)中PP波近似反射系數(shù)誤差Fig.4 Approximation reflection coefficient error of PP wave in HTI media

圖5 HTI介質(zhì) PP波反射系數(shù)與入射角的關(guān)系Fig.5 Relationship between PP wave reflection coefficient and incidence angle in HTI media

由圖3～圖5可知，在HTI介質(zhì)中，在弱各向異性條件下，式(28)計算精度較高，相對誤差在4%，絕對誤差在6×10-4以內(nèi)。反射系數(shù)隨入射角增大先變小，后增大，在50°左右達到極小值，這可為測線的激發(fā)點及采集器的布置提供依據(jù)，便于提高數(shù)據(jù)的信噪比，提高數(shù)據(jù)采集質(zhì)量。

5.2 裂隙介質(zhì)中PP波反射系數(shù)

將模型1的彈性矩陣繞z軸旋轉(zhuǎn)60°，則兩層裂隙介質(zhì)的彈性矩陣為

(33)

(34)

通過求解式(10)和式(31)即可得到裂隙介質(zhì)中PP波的精確反射系數(shù)和近似反射系數(shù)，結(jié)果如圖6～圖8所示。

圖6 EDA介質(zhì)中PP波反射系數(shù)Fig.6 Reflection coefficient of PP wave for EDA media

圖7 EDA介質(zhì)中PP波近似反射系數(shù)誤差Fig.7 Approximation reflection coefficient error of PP wave for EDA media

圖8 EDA介質(zhì)PP波反射系數(shù)與入射角的關(guān)系Fig.8 The relationship between reflection coefficient of PP wave and incident angle for EDA media

分析圖6～圖8可知當入射角在0°～40°時，模型1裂隙介質(zhì)的近似反射系數(shù)絕對誤差在2×10-3以內(nèi),相對誤差在4%以內(nèi)。由圖8可知，隨著入射角的加大其計算誤差有所增加。

雖然近似計算公式[式(31)]是在弱各向異性條件下求解得到的，但是對于各向異性較強的介質(zhì)也成立，通過模型3的計算做進一步分析。模型參數(shù)如表2所示，參數(shù)含義同模型1。

旋轉(zhuǎn)所得裂隙介質(zhì)的彈性系數(shù)為

(35)

(36)

通過求解式(10)和式(31)即可得到裂隙介質(zhì)中PP波的精確反射系數(shù)和近似反射系數(shù)，結(jié)果如圖9～圖11所示。

圖9 模型2 EDA介質(zhì)PP波反射系數(shù)Fig.9 Reflection coefficient of PP wave of EDA media for model 2

圖11 模型2 EDA介質(zhì) PP波反射系數(shù)與入射角的關(guān)系Fig.11 The relationship between reflection coefficient of PP wave and incident angle for EDA media modle 2

由圖9～圖11可知，當各向異性系數(shù)達0.2時，其絕對誤差為4×10-3，當入射角增大到60°時其相對誤差接近25%，但入射角在0°～45°范圍時，其相對誤差仍然小于10%。由此可見當各向異性較強時，在入射角相對較小的情況下，式(31)仍然有效。

6 結(jié)論

通過研究HTI及裂隙介質(zhì)中地震波的反射特征，得出如下結(jié)論。

(1)通過求解各向異性介質(zhì)中地震波的Christoffel方程，推導了HTI介質(zhì)及裂隙介質(zhì)中PP波、PS1波、PS2波的反射系數(shù)精確表達式。

(2)通過對各向同性介質(zhì)進行微小擾動，模擬弱各向異性條件，采用擾動法求解得到裂隙介質(zhì)中地震波反射系數(shù)的近似表達式。

(3)計算結(jié)果表明，對HTI介質(zhì)近似公式計算精度較高，相對誤差在4%以內(nèi)，入射角對其影響較小。

(4)對裂隙介質(zhì)，當各向異性系數(shù)較小時(小于0.1)，近似解的相對誤差在4%以內(nèi)，入射角的加大其計算誤差有所增加，但不超過7%。

(5)當各向異性系數(shù)增大時，誤差相應增加，但當?shù)卣鸩ǖ娜肷浣菫?°～50°時，其近似解精度較高，甚至在各向異性系數(shù)都取0.2時其相對誤差仍然保持在7%以內(nèi)。