探析“廣義”彈性碰撞中“一動(dòng)一靜”模型兩組解的取舍問(wèn)題

李紅紅 郭金珂

(1.河北省邯鄲市第四中學(xué) 056107;2.河北省邯鄲市第二中學(xué) 056107)

碰撞是動(dòng)量守恒定律中非常重要的過(guò)程模型之一，因其所反映出來(lái)的物理過(guò)程、狀態(tài)變化及能量關(guān)系，能夠全方位地考查學(xué)生的理解能力、信息加工能力、模型建構(gòu)能力、邏輯推理能力及分析綜合能力，從而培養(yǎng)學(xué)生“運(yùn)用守恒思想、模型方法分析、解決物理實(shí)際問(wèn)題的能力等”相關(guān)的物理學(xué)科核心素養(yǎng).因此碰撞問(wèn)題成為歷年高考試題命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，自然也就成為高考復(fù)習(xí)備考的重點(diǎn)和難點(diǎn).

一、狹義碰撞與廣義碰撞

1. 狹義碰撞

狹義碰撞就是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體相遇而接觸，在極短的時(shí)間內(nèi)，相互作用的這兩個(gè)物體動(dòng)量發(fā)生突變，但兩物體的位移卻可近似認(rèn)為是零的一個(gè)過(guò)程.因其相互作用的內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力，故碰撞時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒.這種碰撞的主要特點(diǎn)是“作用時(shí)間極短”和“內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力”，屬于“短暫性過(guò)程”.

2. 廣義碰撞

廣義上的碰撞則是指兩個(gè)物體的相互作用時(shí)間不是很短，相互作用的內(nèi)力也不是很大，相互作用的內(nèi)力而使系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)物體的動(dòng)量發(fā)生變化的過(guò)程.

廣義碰撞可近似看作是狹義碰撞的“慢鏡頭”，把“短暫性過(guò)程”緩慢拉長(zhǎng)，成為“持續(xù)性過(guò)程”.如圖1所示的兩個(gè)小鋼球之間的“瞬間、短暫”的碰撞過(guò)程就可以看成圖2所示的兩個(gè)物塊A、B與彈簧組成的系統(tǒng)彈簧由原長(zhǎng)變到下一次原長(zhǎng)的過(guò)程.所以，許多類似于圖2的相互作用過(guò)程都可以看作“廣義碰撞”問(wèn)題模型，如圖3中兩個(gè)帶正電小球在光滑的水平面上相互作用的過(guò)程，圖4中小球從小車左端滑上光滑弧形軌道，又滑回軌道底端的過(guò)程.

碰撞分為彈性碰撞、非彈性碰撞、完全非彈性碰撞.其中彈性碰撞動(dòng)能沒(méi)有損失，完全非彈性碰撞動(dòng)能損失最多，而非彈性碰撞的能量介于彈性碰撞與完全非彈性碰撞之間.故平時(shí)主要研究彈性碰撞和完全非彈性碰撞.而在彈性碰撞中，被稱為“黃金二級(jí)結(jié)論”的“一動(dòng)一靜”模型更是師生關(guān)注的重點(diǎn)，如果能夠熟記“一動(dòng)一靜”彈性碰撞中兩物體的碰后速度，則可大大提高做題效率，但我們卻經(jīng)常忽略“一動(dòng)一靜”模型中的另外一組解的應(yīng)用情況.下面我們通過(guò)舉例來(lái)逐步分析，希望能對(duì)大家有所啟發(fā).

二、“一動(dòng)一靜”彈性碰撞模型兩組解的分析

以人教版高中物理教材(2019年版)選擇性必修1第一章第5節(jié)《彈性碰撞和非彈性碰撞》中對(duì)“彈性碰撞的實(shí)例分析”為例，物體m1以速度v1與原來(lái)靜止的物體m2發(fā)生正碰，如圖5所示，碰撞后它們的速度分別為v1′和v2′.

碰撞過(guò)程遵從動(dòng)量守恒定律，據(jù)此可列出包含上述各已知量和未知量的方程

m1v1=m1v1′+m2v2′

(1)

彈性碰撞中沒(méi)有動(dòng)能損失，于是可以列出另一個(gè)方程

(2)

從方程 (1)(2)可以解出兩個(gè)物體碰撞后的速度分別為

(4)

方程組解得的(3)和(4)這組解是教材中給出符合兩物體真實(shí)運(yùn)動(dòng)情境的一組解，也是前面提到的彈性碰撞模型中的“黃金二級(jí)結(jié)論”之一，熟記這個(gè)二級(jí)結(jié)論，確實(shí)可大大提高解題的效率.

但從數(shù)學(xué)角度來(lái)看由(1)(2)組成的方程組，還有一組解就是

v1′=v1(5)v2′=0

(6)

由(5)(6)組成的這組解，其代表的含義是“后面的物體m1以速度v1與前面原來(lái)靜止的物體m2發(fā)生正碰，碰后兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持不變”，這看上去確實(shí)很荒謬，完全不符合真實(shí)情境，所以在教學(xué)中直接將這組解舍棄理所當(dāng)然，甚至這組解在教學(xué)中都不曾被提及.但如果題中給出廣義碰撞中的相互作用情境，我們就需要考慮那組被舍棄的解了.

三、廣義彈性碰撞之“上下坡類”模型

例1如圖6所示，小車的上面是由中突的兩個(gè)對(duì)稱的光滑曲面組成，整個(gè)小車的質(zhì)量為m，原來(lái)靜止在光滑的水平面上，今有一個(gè)可以看作質(zhì)點(diǎn)的小球，質(zhì)量也為m，以水平速度v從左端滑上小車，恰好到達(dá)小車的最高點(diǎn)后，又從右側(cè)曲面滑下，當(dāng)小球滑到右側(cè)曲面底端時(shí)，求小車和小球的速度分別為多少?

分析與解：小球在小車曲面上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球與小車組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，由小車上中突的曲面光滑可知，小球由左端滑上曲面至小球滑到右側(cè)曲面底端的過(guò)程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，且初末位置動(dòng)能相等.

小球與小車的相互作用過(guò)程可等效為“一動(dòng)一靜”彈性碰撞過(guò)程，故由前面分析，可對(duì)小球與小車組成的系統(tǒng)列動(dòng)量守恒方程mv=mv1+mv2

相互作用過(guò)程中沒(méi)有機(jī)械能損失，初末位置系統(tǒng)動(dòng)能相等，于是可以列出另一個(gè)方程

若套用“黃金二級(jí)結(jié)論”，則可得出小球的速度v1與小車的速度v2分別為

這表明：當(dāng)小球滑到右側(cè)曲面底端時(shí)，小球速度為0，而小車速度為向右的v，小車運(yùn)動(dòng)速度比小球大，而由實(shí)際運(yùn)動(dòng)情境可知，小球滑到曲面最高點(diǎn)時(shí)，小球與小車速度相等，小球由右側(cè)曲面滑下的過(guò)程中，小球速度在增加，小車速度在減小，故不可能出現(xiàn)上述結(jié)果.所以此種情境下，合理的速度應(yīng)該是方程的另一組解，即小球速度變回原來(lái)的v，而小車速度減為0.

變式1若將例1中的小車變?yōu)槿鐖D7所示，光滑弧形軌道足夠長(zhǎng)，小球不會(huì)從軌道上端滑出，求小球再次滑回弧形軌道底端時(shí)，小車與小球的速度分別為多少?

分析與解由分析可知，小球與小車之間的相互作用過(guò)程仍然屬于廣義彈性碰撞中“一動(dòng)一靜”模型，套用“黃金二級(jí)結(jié)論”可直接解得二者的速度分別為

即因小球與小車質(zhì)量相等，小球與小車交換速度.這種運(yùn)動(dòng)情境完全可套用“一動(dòng)一靜”模型的結(jié)論.

思考倘若上述例1和變式1中小車質(zhì)量為M，小球質(zhì)量為m，二者質(zhì)量不相等，那上述兩種情況下，小球與小車的速度又如何呢?

四、廣義彈性碰撞之“彈簧——滑塊類”模型

例2如圖8所示，一輕彈簧的兩端與質(zhì)量分別是m1和m2的兩物體A、B拴接在一起，它們靜止在光滑水平地面上，現(xiàn)給物體A一個(gè)瞬時(shí)沖量，使它獲得水平向右的速度v0，從此時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，求彈簧每次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)兩物體A、B的速度.

分析與解由于兩物體與彈簧組成的系統(tǒng)所受外力為0，所以系統(tǒng)動(dòng)量守恒，又由于系統(tǒng)只存在勢(shì)能與動(dòng)能之間的轉(zhuǎn)化，故機(jī)械能守恒.當(dāng)物體A獲得初速度之后，兩物體和彈簧一起在水平面上做“先壓縮、再恢復(fù)原長(zhǎng)、再拉伸、再恢復(fù)原長(zhǎng)”地重復(fù)性地向前運(yùn)動(dòng)，且在彈簧原長(zhǎng)時(shí)，彈性勢(shì)能為0，系統(tǒng)只有動(dòng)能.設(shè)第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物體A、B的速度分別為v1和v2.第二次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物體A、B的速度分別為v1′和v2′.

(1)從開始運(yùn)動(dòng)到彈簧第一次恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)

此過(guò)程彈簧一直處于壓縮狀態(tài)，B物體一直做加速運(yùn)動(dòng)，A物體一直做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)物體B速度達(dá)到最大，物體A速度減到最小.由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得

m1v0=m1v1+m2v2

此方程與“一動(dòng)一靜”彈性碰撞方程一致，解得速度

(2)從彈簧第一次恢復(fù)到原長(zhǎng)到彈簧第二次恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)

此過(guò)程彈簧一直處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，B物體一直做減速運(yùn)動(dòng)，A物體一直做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)物體B速度減到最小，物體A速度達(dá)到最大.由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′

等價(jià)于m1v0=m1v1′+m2v2′

此方程與“一動(dòng)一靜”彈性碰撞方程也一致，但我們通過(guò)分析可知，此次彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物體的速度與第一次彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物體的速度不相同.所以，第二次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，解得的速度應(yīng)為方程組的另一組解，即v1′=v0；v2′=0，其含義為：當(dāng)彈簧第二次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，物體A恢復(fù)為原來(lái)的初速度v0，物體B速度正好減小為0，所有物理量及狀態(tài)都恢復(fù)為開始運(yùn)動(dòng)的初狀態(tài).依此類推，在此后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)彈簧第奇數(shù)次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，物體A、B的速度均與第一次速度相同；當(dāng)彈簧第偶數(shù)次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，物體A、B的速度均與第二次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)速度相同.

變式2如圖9所示，物體A、B間拴接一個(gè)壓縮后被鎖定的輕質(zhì)彈簧，整個(gè)系統(tǒng)靜止放在光滑水平地面上，其中A物體最初與左側(cè)的固定擋板相接觸，B物體質(zhì)量為2 kg.現(xiàn)解除對(duì)彈簧的鎖定，在A離開擋板后的某時(shí)刻開始，B物體的v-t圖象如圖10所示，則可知( ).

A.A的質(zhì)量為4kg

B.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A最大速度為4m/s

C.在A離開擋板前，系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒

D.彈簧原來(lái)儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為9J

分析與解通過(guò)對(duì)A、B的運(yùn)動(dòng)分析，配合題中所給B物體的v-t圖象，可知B物體速度最大為3m/s時(shí)，A物體速度為0；B物體速度最小為1m/s時(shí)，A物體速度最大為v，由“黃金二級(jí)結(jié)論”可得，彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)速度滿足

在A離開擋板前，由于擋板對(duì)A有作用力，所以系統(tǒng)合外力不為0，則系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，C錯(cuò)誤；

總結(jié)在碰撞類動(dòng)量守恒定律中，記住模型及其對(duì)應(yīng)的結(jié)論固然重要，但結(jié)論的得出及取舍過(guò)程更能體現(xiàn)物理學(xué)科的嚴(yán)密思維及推理過(guò)程，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)獲取能力、模型建構(gòu)能力、邏輯推理能力、分析綜合能力、信息加工能力的最佳途徑.所以建議在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該讓學(xué)生親自去計(jì)算、去體會(huì)方程組不同的解進(jìn)行取舍的原因，而不是純粹記結(jié)論、套公式.