王康 王久和 王路

摘 要：為滿(mǎn)足低壓應(yīng)用場(chǎng)合下DC-DC變換器高效率、小尺寸和低成本等多方面需求，提出一種同時(shí)優(yōu)化DC-DC變換器的功率損耗、物理尺寸和成本的方法。以低壓開(kāi)關(guān)槽式變換器（switched tank converter，STC）為例，在分析其工作原理基礎(chǔ)上，首先建立元器件的功率損耗、面積和成本模型，以設(shè)計(jì)指標(biāo)為約束條件，再建立一個(gè)以功率損耗、面積和成本為優(yōu)化目標(biāo)的變換器多目標(biāo)優(yōu)化模型，且優(yōu)化模型中的參數(shù)可從器件數(shù)據(jù)手冊(cè)查到。采用基于非支配排序引力搜索算法（non-dominated sorting gravitational search algorithm，NSGSA）改進(jìn)得到的大范圍改進(jìn)的非支配排序引力搜索算法（large-scale improved NSGSA，LSINSGSA）求解變換器多目標(biāo)優(yōu)化模型。將所得優(yōu)化結(jié)果與NSGSA和NSGA-Ⅱ（non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ）算法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果表明，提出的STC變換器多目標(biāo)優(yōu)化方法可以得到綜合性能最優(yōu)的器件組合方案，實(shí)現(xiàn)STC的效率、面積和成本達(dá)到折衷最優(yōu)的目的，改進(jìn)的LSINSGSA算法的收斂性與Pareto前沿中最優(yōu)解均勻分布性均優(yōu)于NSGSA和NSGA-Ⅱ。關(guān)鍵詞：DC-DC變換器;多目標(biāo)優(yōu)化;低壓應(yīng)用;開(kāi)關(guān)槽式變換器;非支配排序引力搜索算法 中圖分類(lèi)號(hào)：TM 46

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-9315（2021）05-0938-10

DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2021.0522開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Multi-objective optimization of switched-tank converter

for low-voltage applications

WANG Kang，WANG Jiuhe，WANG Lu

（School of Automation，Beijing Information Science and Technology University，Beijing 100192，China）

Abstract：In order to meet the requirements of high efficiency，small size and low cost of DC-DC converters in low-voltage application scenarios，taking the low-voltage switched tank converter（STC）as an example，a method for comprehensively optimizing the power loss，physical size and cost of DC-DC converters was extablished in this paper.First，the power loss，area and cost models of the components were separately established based on STCs operation principle，and a multi-objective optimization model of STC with power loss，area，and cost as the optimization goals was derived by using the design requirements as constraints while the parameters in these models could be obtained from device data sheet.Then，the large-scale improved non-dominated sorting gravitational search algorithm（LSINSGSA），an improved algorithm based on the non-dominated sorting gravitational search algorithm（NSGSA），was

established in this paper to solve the derived multi-objective optimization model.Finally，the optimization results were compared with those of NSGSA and NSGA-Ⅱ.The results indicate that the multi-objective optimization method of the STC converter proposed in this paper can facilitate a device combination scheme with the best comprehensive performance，realizing the best compromise between the efficiency，area and cost of the STC，and the convergence and uniform distribution of the optimal solutions in the optimal Pareto frontier of the LSINGSSA are better than that of NSGSA and NSGA-Ⅱ.Key words：DC-DC converter;multi-objective optimization;low-voltage application;switched tank converter;non-domiated sorting gravitational search algorithm

0 引 言

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代到來(lái)，眾多數(shù)據(jù)中心在各地建立，存儲(chǔ)并處理每天產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，且消耗著大量的電能。限于效率、物理尺寸、成本等因素，應(yīng)用于該類(lèi)低壓場(chǎng)合的DC-DC變換器需具備高效率、高集成度、低成本等特征。傳統(tǒng)基于電感器的DC-DC變換器（如Buck，Boost變換器）主要依賴(lài)體積較大的電感器傳輸能量，一方面增加了變換器的體積，另一方面電感器的鐵芯和線(xiàn)圈損耗增加了變換器總損耗，且由于占空比的限制，該類(lèi)變換器較難實(shí)現(xiàn)高電壓增益[1-2]。而開(kāi)關(guān)電容變換器（switched capacitor converter，SCC）則是通過(guò)電容器傳輸能量，得益于電容器的高能量?jī)?chǔ)存密度，變換器的體積可大大減小，易于集成[3-6]。在給定功率下，SCC的開(kāi)關(guān)導(dǎo)通損耗低于基于電感器的直流變換器的開(kāi)關(guān)導(dǎo)通損耗[7]。但是，SCC存在電流過(guò)沖、電磁兼容以及由于其自身拓?fù)涠鴮?dǎo)致電壓轉(zhuǎn)換比固定、輸出電壓不可調(diào)節(jié)或不能連續(xù)調(diào)節(jié)等問(wèn)題[8-10]。對(duì)此，

JIANG S等學(xué)者提出了一種基于諧振回路的模塊化開(kāi)關(guān)槽式變換器（switched tank converter，STC），在不降低效率與增加變換器的體積下，解決了SCC電容器電荷重新分配的問(wèn)題，全負(fù)載范圍內(nèi)可實(shí)現(xiàn)電容器完全軟充電和開(kāi)關(guān)軟切換且開(kāi)關(guān)電壓應(yīng)力保持為低壓端電壓的1倍或2倍電壓[11]。為了實(shí)現(xiàn)STC輸出電壓連續(xù)可調(diào)，HE Y等提出一種高效率、高功率密度且部分功率可調(diào)節(jié)的STC（partial power regualted STC，PPR-STC）[12]。考慮到低壓場(chǎng)合對(duì)DC-DC變換器效率、物理尺寸、成本的限制，且PPR-STC本身具備高效率、高功率密度等優(yōu)點(diǎn)，因此，筆者選擇PPR-STC為對(duì)象進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化研究，進(jìn)一步提升其綜合性能，同時(shí)也為其他DC-DC變換器多目標(biāo)優(yōu)化提供一個(gè)思路。首先，基于PPR-STC的工作原理，建立元器件的損耗模型、面積模型和成本模型，綜合所有器件的損耗模型、面積模型和成本模型建立變換器多目標(biāo)優(yōu)化模型。然后，采用改進(jìn)的非支配排序引力搜索算法（non-dominated sorting gravitational search algorithm，NSGSA）求解多目標(biāo)優(yōu)化模型，得到綜合性能最優(yōu)的Pareto最優(yōu)解。值得注意的是，這些模型中的參數(shù)與變量都可通過(guò)器件數(shù)據(jù)手冊(cè)查到，便于應(yīng)用到實(shí)際中。此外，文中將改進(jìn)的NSGSA與NSGSA、非支配排序遺傳算法（non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ，NSGA-Ⅱ）作比較，優(yōu)化結(jié)果顯示，改進(jìn)的NSGSA的收斂性與Pareto最優(yōu)解均勻分布性?xún)?yōu)于NSGSA和NSGA-Ⅱ。

1 PPR-STC拓?fù)浼肮ぷ髟鞨E Y O等提出的PPR-STC是由X∶1降壓STC與四開(kāi)關(guān)Buck-Boost變換器輸入串聯(lián)、輸出并聯(lián)組成，其中STC承受主要輸入功率，四開(kāi)關(guān)Buck-Boost變換器承受剩余的小部分功率且負(fù)責(zé)調(diào)節(jié)輸出電壓。這里的X∶1表示STC部分的輸入、輸出電壓整數(shù)變比，文中所優(yōu)化的PPR-STC的X為4，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，4∶1 STC拓?fù)淙鐖D2所示?？紤]到開(kāi)關(guān)死區(qū)時(shí)間，STC的開(kāi)關(guān)頻率一般低于其諧振頻率fr，STC的諧振頻率為

fr=12π

Lr

CrCf

Cr+Cf

（1）

式中 Lr=Lr1=Lr2，Cr=Cr1=Cr2[13]。在圖1中STC部分，即圖2中，開(kāi)關(guān)S1、S3、S5、S8、S9的導(dǎo)通相位相同，開(kāi)關(guān)S2、S4、S6、S7、S10的導(dǎo)通相位相同，且這2組開(kāi)關(guān)的占空比互補(bǔ)且各為50%。因此，穩(wěn)態(tài)時(shí)的STC有2種工作狀態(tài)，如圖3所示。圖1中，四開(kāi)關(guān)Buck-Boost變換器作為電壓調(diào)節(jié)變換器對(duì)輸出電壓進(jìn)行調(diào)節(jié)。Cbb、Lbb分別為Buck-Boost變換器的輸入電容和電感，Cout為輸出電容，R為負(fù)載，Q1～Q4為Buck-Boost變換器的開(kāi)關(guān)。由于四開(kāi)關(guān)Buck-Boost變換器只處理總輸入功率的小部分，且它的開(kāi)關(guān)頻率一般低于且不會(huì)遠(yuǎn)低于STC的開(kāi)關(guān)頻率，因此所需電感器的體積較小，有利于DC-DC變換器集成化。

1.1 4：1 STC工作原理在工作狀態(tài)1中，電源給由諧振電感器Lr1和諧振電容器Cr1所組成的諧振單元提供能量，濾波電容器Cf經(jīng)過(guò)由諧振電感器Lr2和諧振電容器Cr2所組成的諧振單元放電，此時(shí)的Cf相當(dāng)于電壓源。在工作狀態(tài)2中，由Lr1、Cr1所組成的諧振單元給Cf充電，由Lr2、Cr2所組成的諧振單元為輸出端提供能量。注意，Lr1=Lr2，Cr1=Cr2，CfCr1（一般

為Cf>10Cr1）。當(dāng)電路處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，諧振電容器Cr2兩端的電壓為Vout，濾波電容器Cf兩端的電壓為2Vout，諧振電容器Cr1兩端的電壓為3Vout，因此可以實(shí)現(xiàn)4倍降壓功能。STC特殊的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)將電容器合理安排，使得每個(gè)開(kāi)關(guān)在關(guān)斷時(shí)都將會(huì)被其附近的電容器兩端的電壓鉗位。因此，STC變換器的所有開(kāi)關(guān)的電壓應(yīng)力為1倍或2倍的低壓端電壓，這有利于選取額定電壓較低的開(kāi)關(guān)。同時(shí)，低額定電壓開(kāi)關(guān)的通態(tài)電阻較低，將進(jìn)一步降低開(kāi)關(guān)的導(dǎo)通損耗。圖2中的STC，除了開(kāi)關(guān)S2和S3的電壓應(yīng)力為2Vout，其余開(kāi)關(guān)的電壓應(yīng)力為Vout。

1.2 四開(kāi)關(guān)Buck-Boost變換器工作原理四開(kāi)關(guān)Buck-Boost變換器分別工作在Buck模式和Boost模式。開(kāi)關(guān)Q1與Q3的占空比互補(bǔ)，開(kāi)關(guān)Q2與Q4的占空比互補(bǔ)。當(dāng)開(kāi)關(guān)Q1保持開(kāi)通、Q3保持關(guān)斷，通過(guò)控制開(kāi)關(guān)Q4的通、斷（Q2的斷、通）實(shí)現(xiàn)Boost模式。當(dāng)開(kāi)關(guān)Q2保持開(kāi)通、Q4保持關(guān)斷，通過(guò)控制開(kāi)關(guān)Q1的通、斷（Q3的斷、通）實(shí)現(xiàn)Buck模式。圖1中的電容器Cr2、Cf、Cr1兩端的電壓分別為Vin-3Vout、Vin-2Vout、Vin-Vout，STC的開(kāi)關(guān)對(duì)應(yīng)的電壓應(yīng)力不變，Buck-Boost中各開(kāi)關(guān)的電壓應(yīng)力隨著工作模式變化。當(dāng)工作在Boost模式時(shí)，開(kāi)關(guān)Q2與Q4的電壓應(yīng)力為Vout，開(kāi)關(guān)Q3的電壓應(yīng)力隨著輸入電壓Vin增大而增大且最大為Vout。當(dāng)工作在Buck模式時(shí)，開(kāi)關(guān)Q4的電壓應(yīng)力為Vout，開(kāi)關(guān)Q1與Q3的電壓應(yīng)力隨著輸入電壓Vin增大而增大且最大為Vin-3Vout。因此，四開(kāi)關(guān)Buck-Boost變換器的開(kāi)關(guān)電壓應(yīng)力較低，可以選擇低額定電壓開(kāi)關(guān)器件，從而進(jìn)一步減小變換器物理尺寸并提高效率。

2 STC元器件參數(shù)化模型建立

2.1 開(kāi)關(guān)器件損耗模型開(kāi)關(guān)管的損耗主要由導(dǎo)通損耗Pcond、輸出電容損耗Pcoss、開(kāi)關(guān)驅(qū)動(dòng)損耗Pdrive和體二極管反向恢復(fù)損耗Prr組成。一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)功率開(kāi)關(guān)管的導(dǎo)通損耗Pcond

Pcond=I2rmsRds，on

（2）

式中 Irms為流過(guò)開(kāi)關(guān)的電流有效值，A;Rds，on為開(kāi)關(guān)的通態(tài)電阻，Ω。開(kāi)關(guān)在開(kāi)通與關(guān)斷狀態(tài)之間切換時(shí)，其輸出電容Coss會(huì)產(chǎn)生放電損耗Pcoss，該損耗與開(kāi)關(guān)的電壓應(yīng)力和開(kāi)關(guān)頻率成正比，計(jì)算公式為

Pcoss=CossV2dsfs

（3）

式中 Vds為開(kāi)關(guān)管漏、源極兩端的電壓，V，一般選取為最大電壓應(yīng)力;fs 為開(kāi)關(guān)頻率，Hz。開(kāi)關(guān)的驅(qū)動(dòng)損耗Pdrive為

Pdrive=VgsQgfs

（4）

式中 Vgs為驅(qū)動(dòng)電壓，V;Qg為門(mén)極總電荷，C。每個(gè)開(kāi)關(guān)都有一個(gè)體二極管與之反并聯(lián)用來(lái)在開(kāi)關(guān)軟切換瞬間給開(kāi)關(guān)的輸出電容提供放電路徑，因此，開(kāi)關(guān)損耗還包含體二極管反向恢復(fù)損耗Prr

Prr=QrrVdsfs

（5）

式中 Qrr為體二極管反向恢復(fù)電荷，C。開(kāi)關(guān)的損耗模型Psw為

Psw=Pcond+Pcoss+Pdrive+Prr

（6）

2.2 電感器損耗模型電感器的損耗主要可分為磁芯損耗和繞組損耗2大類(lèi)。電感器的磁芯損耗計(jì)算方法因電感器所受到的激勵(lì)波形不同而不同[14]。圖1所示的PPR-STC中含有諧振電感器Lr1、Lr2和儲(chǔ)能電感器Lbb。諧振電感器Lr1、Lr2由于諧振作用，它們受到的激勵(lì)波形為正弦波，而儲(chǔ)能電感器Lbb受到矩形波激勵(lì)。這2種電感器所受到的激勵(lì)波形不同，因此在計(jì)算電感器的磁芯損耗時(shí)應(yīng)有所區(qū)別。對(duì)于計(jì)算正弦波激勵(lì)的電感器磁芯損耗，采用經(jīng)典有效的Steinmetz方程[15-17]。Steinmetz方程為

Pv=Cmfα1Bβ1

（7）

式中 Pv為單位體積磁芯損耗，W/cm3;Cm、α1，β1為磁芯材料系數(shù)，這些系數(shù)可從生產(chǎn)廠(chǎng)家的數(shù)據(jù)手冊(cè)查到;f為開(kāi)關(guān)頻率，Hz;B定義為峰值磁感應(yīng)強(qiáng)度，Gs，且B=1/2

ΔBpp，ΔBpp為交流分量磁感應(yīng)強(qiáng)度峰峰值，Gs。在給定設(shè)計(jì)參數(shù)電感電流紋波峰峰值ΔILpp以及電感L的情況下，可以依據(jù)生產(chǎn)廠(chǎng)家的數(shù)據(jù)手冊(cè)計(jì)算ΔBpp為

ΔBpp

=k×ΔILpp×L×10-3

（8）

式中 k為系數(shù)，可從數(shù)據(jù)手冊(cè)查到;ΔILpp的單位為A，電感L的單位為nH，ΔBpp的單位為高斯。因此，正弦波激勵(lì)的電感器的磁芯損耗Pcore1為

Pcore1=Pv×Vcore

（9）

式中 Vcore為磁芯有效體積，cm3。對(duì)于矩形波激勵(lì)的電感器的磁芯損耗計(jì)算公式Pcore2為

Pcore2=Cmfα1Bβ1ac

a

[d（1-d）]b（1+s2da）γBdcVbb

（10）

式中 d為占空比;a，b，γ為常數(shù);Bac為交流磁感應(yīng)強(qiáng)度，Gs;Bdc為直流偏置下的磁感應(yīng)強(qiáng)度，Gs;sda為Bdc與Bac的比值;Vbb為四開(kāi)關(guān)Buck-Boost變換器的輸入電壓[14]，V。由安培定律，可得Bdc為

Bdc=ILavgLNcoreAe

（11）

式中 ILavg為電感電流平均值，A;Ncore為線(xiàn)圈匝數(shù);Ae為磁芯有效面積，cm2。由電磁感應(yīng)定律，可得Bac為

Bac

=ΔILppL2NcoreAe

（12）電感器的繞組損耗Pw可由電感電流有效值ILrms與繞組等效電阻Rdc相乘可得

Pw=I2LrmsRdc

（13）綜上，電感器的損耗模型PL為

PL=Pcore+Pw

（14）

式中 Pcore依據(jù)激勵(lì)波形選擇Pcore1或Pcore2。

2.3 電容器損耗模型為了減小由諧振電感器和諧振電容器的本身參數(shù)誤差給開(kāi)關(guān)零電流切換帶來(lái)的不利影響，文中選擇電容值穩(wěn)定、低容錯(cuò)（-5%～+5%）、低串聯(lián)等效電阻的ClassⅠ 陶瓷電容作為STC中的諧振電容器，將低交流電壓紋波的Class Ⅱ 陶瓷電容器作為濾波電容器。陶瓷電容器的功率損耗PC主要由其等效串聯(lián)電阻RESR和電流有效值ICrms決定，可表示為

PC=I2CrmsRESR

（15）一般情況下，廠(chǎng)家提供的數(shù)據(jù)手冊(cè)可能不提供RESR，但是提供損耗因素（dissipation factor，DF），有時(shí)表示為tan δ，且

tan δ=2πfCRESR

（16）因此，也可以根據(jù)數(shù)據(jù)手冊(cè)中的最大損耗因素DF計(jì)算電容器功率損耗PC為

PC=I2Crmstan δ

2πfC

（17）

2.4 PPR-STC多目標(biāo)優(yōu)化模型建立由于STC的開(kāi)關(guān)頻率高達(dá)數(shù)百kHz，目前較多應(yīng)用在低功率場(chǎng)合下，應(yīng)用于該場(chǎng)合的功率開(kāi)關(guān)多為芯片結(jié)構(gòu)，體積較小，所以計(jì)算開(kāi)關(guān)器件的面積更有實(shí)際意義。為了便于集成化，采用平面型功率電感器和基于表貼技術(shù)（surface mount technology，SMT）的電容器，它們的高度一般只有幾個(gè)毫米，因此，相較于計(jì)算體積，計(jì)算面積更能反映它們?cè)谟≈齐娐钒迳系拿娣e使用情況?？偣β蕮p耗模型Ploss，tot為

Ploss，tot=∑NSi

Psw，i+

∑NLj

PL，i+

∑NCm

PC，m

（18）

式中 Ns，NL，NC分別為開(kāi)關(guān)器件、電感器和電容器的數(shù)量，件;Psw，i，PL，j和PC，m分別表示每個(gè)開(kāi)關(guān)器件、電感器以及電容器的功率損耗，W?？偯娣e模型Atot為

Atot

=

∑NSi

Asw，i+

∑NLj

AL，i+

∑NCm

AC，m

（19）

式中 Asw，i，AL，j，AC，m分別為每個(gè)開(kāi)關(guān)管、電感器、電容器的封裝面積，cm2?？偝杀灸Ｐ虲tot為

Ctot=

∑Nall

ici

（20）

式中 ci為每個(gè)器件的價(jià)格，元;Nall為所有開(kāi)關(guān)器件、電感器和電容器的數(shù)量，件。對(duì)總功率損耗模型、總體積模型、總成本模型

同時(shí)進(jìn)行最小化，得到PPR-STC多目標(biāo)優(yōu)化模型為

minfmulti_obj=

Ploss，tot

Atot

Ctot

（21）

約束條件為

p*∈Db

（22）

式中 p*為屬于元器件數(shù)據(jù)庫(kù)Db的離散變量。

3 NSGSA算法改進(jìn)NSGSA算法收斂性與最優(yōu)解均勻分布性都要優(yōu)于NSGA-Ⅱ等多目標(biāo)優(yōu)化算法，但是NSGSA在求解三維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出解的收斂性與多樣性不足的問(wèn)題[18-19]。對(duì)此，基于NSGSA算法提出一種改進(jìn)的NSGSA，即LSINSGSA[20]。

3.1 存檔集維護(hù)策略改進(jìn)NSGSA在維護(hù)存檔集長(zhǎng)度時(shí)只考慮粒子的均勻分布性，對(duì)存檔集中均勻分布性最差的粒子依次刪除，而未考慮到收斂性較好的粒子能夠加快全局的收斂速度。受文獻(xiàn)

[21]啟發(fā)，提出將全局損害與粒子勢(shì)能[22]的動(dòng)態(tài)加權(quán)和作為粒子收斂性評(píng)價(jià)指標(biāo)，將粒子的擁擠距離作為粒子均勻分布性評(píng)價(jià)指標(biāo)，并將二者比值作為平衡粒子收斂性與均勻分布性的融合指標(biāo)。對(duì)比NSGSA算法僅依賴(lài)均勻分布性指標(biāo)維護(hù)存檔集，本文提出的兼顧粒子收斂性與均勻分布性的融合指標(biāo)在保持粒子均勻分布性的同時(shí)能夠?qū)κ諗啃暂^好的粒子進(jìn)行保留，將有益于提高全局收斂速度。

3.2 位置更新策略改進(jìn)NSGSA采用符號(hào)變異與坐標(biāo)變異策略更新移動(dòng)列表中粒子的位置，以防止粒子陷入局部最優(yōu)。但是，經(jīng)符號(hào)變異與坐標(biāo)變異后的粒子可能會(huì)退化。針對(duì)該問(wèn)題本文提出退步策略，即位置更新后的粒子如果被位置更新前的粒子支配，則保持該粒子當(dāng)前位置為更新前的位置，否則，粒子當(dāng)前位置為經(jīng)符號(hào)變異與坐標(biāo)變異更新后的位置。

3.3 KBEST策略改進(jìn)為避免陷入局部最優(yōu)，NSGSA沿用引力搜索算法（gravitational search algorithm，GSA）中的KBEST策略[23-24]。但是，該策略的不足在于，最后幾次迭代過(guò)程中的少數(shù)Kbest粒子會(huì)破壞良好的全局收斂以及Pareto最優(yōu)解的均勻分布。對(duì)此，提出在迭代后期由M個(gè)極端粒子和M個(gè)最不擁擠粒子組成Kbest集合，使算法在迭代后期依然可以保持較好的全局收斂性、得到分布較為均勻的Pareto前沿。此處的M表示子優(yōu)化目標(biāo)個(gè)數(shù)。

3.4 精英策略改進(jìn)為加快全局收斂速度，提出迭代前期將勢(shì)能小的粒子加入到移動(dòng)粒子列表去吸引勢(shì)能大的粒子加速向帕累托前沿移動(dòng)，后期將勢(shì)能大的粒子加入移動(dòng)粒子列表中讓其受到極端粒子和最不擁擠粒子的吸引。此外，為了加快算法在迭代后期的收斂速度，在迭代后期對(duì)非極端粒子和非最不擁擠粒子的位置更新不采取符號(hào)變異和坐標(biāo)變異策略;為了實(shí)際的帕累托前沿接近理論上的帕累托前沿且獲得良好的最優(yōu)解集分布情況，對(duì)極端粒子和最不擁擠粒子仍采取符號(hào)變異與坐標(biāo)變異策略。LSINSGSA算法的操作步驟如下：

1）初始化LSINSGSA算法的迭代次數(shù)、粒子個(gè)數(shù)、存檔長(zhǎng)度等參數(shù)，隨機(jī)初始化所有粒子的位置并將所有粒子的初始速度和加速度都設(shè)置為零，將初始位置代入到多目標(biāo)函數(shù)中得到粒子的初始多目標(biāo)函數(shù)值。

2）對(duì)移動(dòng)粒子列表中的粒子進(jìn)行非支配排序，并采用改進(jìn)的融合指標(biāo)維護(hù)外部存檔集長(zhǎng)度。

3）基于改進(jìn)的精英策略與最不擁擠粒子選取方法更新移動(dòng)粒子列表。

4）基于粒子等級(jí)計(jì)算移動(dòng)粒子的適應(yīng)度值。

5）計(jì)算移動(dòng)粒子的質(zhì)量，并基于改進(jìn)的KBEST策略計(jì)算移動(dòng)粒子所受到的引力和加速度。6）計(jì)算移動(dòng)粒子的速度并基于退步策略更新移動(dòng)粒子的位置，該步驟包括計(jì)算更新后粒子的多目標(biāo)函數(shù)值。7）如果當(dāng)前迭代次數(shù)未達(dá)到最大迭代次數(shù)，則依次重復(fù)步驟2）～6）;否則，退出循環(huán)，返回存檔集中的粒子信息。LSINSGSA算法流程如圖4所示。

4 優(yōu)化結(jié)果以圖1所示的PPR-STC為優(yōu)化對(duì)象，依據(jù)電路參數(shù)及其相關(guān)的約束條件，采用改進(jìn)的LSINSGSA算法求解式（21）所示的多目標(biāo)優(yōu)化模型，并與NSGSA和NSGA-Ⅱ的優(yōu)化效果進(jìn)行比較。電路設(shè)計(jì)參數(shù)見(jiàn)表1。

根據(jù)圖1所示的PPR-STC的工作原理及表1所示的電路參數(shù)，可以得出各開(kāi)關(guān)器件可承受的最大電壓應(yīng)力和電流應(yīng)力、電容器的最大電壓和電感器的最大電流。考慮到器件的降額使用，相應(yīng)的各器件約束條件見(jiàn)表2。

根據(jù)表2可從創(chuàng)建的元器件數(shù)據(jù)庫(kù)中篩選出符合條件的各元器件型號(hào)，并按照表2可將符合上述條件的元器件進(jìn)行劃分，共可分為10類(lèi)，如開(kāi)關(guān)S1～S4可分為一類(lèi)，開(kāi)關(guān)S5～S10分為一類(lèi)，開(kāi)關(guān)Q1和Q3為一類(lèi)。采用LSINSGSA算法式（21）所示的多目標(biāo)優(yōu)化模型的基本思想為：首先，將上述的每類(lèi)別器件作為決策變量的一個(gè)維度，故決策變量有10個(gè)維度，即對(duì)應(yīng)于多目標(biāo)優(yōu)化算法中粒子的位置坐標(biāo)維度為10，且位置坐標(biāo)的每一維度取值為正整數(shù)。每類(lèi)別器件在數(shù)據(jù)庫(kù)中有多種滿(mǎn)足條件的型號(hào)，所有類(lèi)別器件的型號(hào)組合構(gòu)成搜索空間。例如，表2中不同類(lèi)別器件的型號(hào)數(shù)目為（S1～S4，S5～S10，Q1、Q3，Q2、Q4，Cf，Cbb，Lbb，Cout，Lr1、Lr2，Cr1、Cr2）=（9，7，12，8，8，11，11，8，2，25），則有2，341，785，600種可行方案組合，這些方案組合構(gòu)成了搜索空間。型號(hào)越多代表粒子位置坐標(biāo)的每一維度取值上限越大，從而搜索空間越廣泛、潛在的Pareto最優(yōu)解也越多。因此，粒子位置代表了一組表2所示器件的一種組合。其次，依據(jù)式（21）計(jì)算每個(gè)粒子的目標(biāo)函數(shù)值，得到每個(gè)粒子在三維目標(biāo)空間中的坐標(biāo)。最后，在定義了粒子的位置坐標(biāo)后，可按照?qǐng)D4所示的LSINSGSA算法流程對(duì)器件多目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行求解。LSINSGSA算法參數(shù)設(shè)置：最大迭代次數(shù)為250，其余算法參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表3。NSGSA算法和NSGA-Ⅱ算法的最大迭代次數(shù)為250，種群大小為200，NSGSA算法的其余參數(shù)設(shè)置同文獻(xiàn)[18]，NSGA-Ⅱ算法的其余參數(shù)設(shè)置同文獻(xiàn)[25]。

各算法優(yōu)化結(jié)果如圖5所示，優(yōu)化得到的功率損耗與面積、功率損耗與成本、面積與成本之間的關(guān)系分別如圖6、圖7和圖8所示。

由上述的功率損耗-面積圖、功率損耗-成本圖、面積-成本圖可知，改進(jìn)得到的LSINSGSA算法求解式（21）所示的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)所得到的Pareto最優(yōu)解集的多樣性與收斂性，均優(yōu)于NSGA-Ⅱ和NSGSA算法，保證了在綜合功率損耗、面積和成本下的最優(yōu)器件組合方案。在這3個(gè)算法中，NSGA-Ⅱ優(yōu)化得到的結(jié)果不如NSGSA和LSINSGSA，NSGSA的Pareto最優(yōu)解集多樣性劣于LSINSGSA。從圖6可以看出，功率損耗與面積的關(guān)系近似為反比關(guān)系，即面積越大，功率損耗越小。這是因?yàn)楝F(xiàn)代半導(dǎo)體集成技術(shù)飛速發(fā)展，可以使得元器件的尺寸大大縮小，但是功耗降低的速度遠(yuǎn)低于尺寸縮小的速度，導(dǎo)致了元器件的單位面積功耗隨著物理尺寸的減小而增加。圖7所示的功率損耗-成本關(guān)系，反映了文中設(shè)計(jì)的PPR-STC的成本隨著功率損耗的降低而增加。原因在于，功率損耗較低導(dǎo)致所需的變換器面積增加，即電路的物理實(shí)現(xiàn)需要占用硅片的面積增加，而硅片的面積與其成本呈正相關(guān)，如圖8所示，因此成本隨著功耗降低而增加。為進(jìn)一步比較LSINSGSA、NSGSA和NSGA-Ⅱ求解器件多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的性能，分別從各個(gè)算法優(yōu)化所得的方案中挑選出總功率損耗最小方案Case A、總面積最小方案Case B、總成本最少方案Case C以及由灰色關(guān)聯(lián)度理論得到綜合最優(yōu)方案Case D，并對(duì)這些方案進(jìn)行比較分析[19，26]。各方案具體信息見(jiàn)表4，表中的Pu為單位面積功耗。

分析表4數(shù)據(jù)，可以得到如下結(jié)果。1）在總功率損耗Ploss，tot最小方案Case A下，LSINSGSA優(yōu)化得到的Ploss，tot為5.57 W，小于NSGA-Ⅱ和NSGSA的優(yōu)化結(jié)果。其中，NSGA-Ⅱ優(yōu)化得到的總功率損耗最大。此外，LSINSGSA優(yōu)化得到的效率η與單位面積功耗Pu均優(yōu)于其他2個(gè)算法優(yōu)化的結(jié)果。2）在總面積Atot最小方案Case B下，LSINSGSA優(yōu)化得到的Atot為1 008 mm2，是3個(gè)算法中最小的。其中，NSGA-Ⅱ優(yōu)化得到的總面積最大。另外，LSINSGSA優(yōu)化得到的效率η與單位面積功耗Pu均優(yōu)于其他2個(gè)算法優(yōu)化的結(jié)果。3）在總成本Ctot最小方案Case C下，LSINSGSA優(yōu)化得到的Ctot為238.1元，與NSGSA優(yōu)化得到的Ctot相差不大。其中，NSGA-Ⅱ優(yōu)化得到的總成本最大。3個(gè)算法優(yōu)化得到的效率基本一致，而LSINSGSA優(yōu)化得到的Pu略大于其他2個(gè)算法。4）在綜合最優(yōu)方案Case D下，LSINSGSA優(yōu)化得到總功率損耗最小，NSGA-Ⅱ優(yōu)化得到的總面積Atot最大。LSINSGSA與NSGSA優(yōu)化得到的總面積Atot相同，但是LSINSGSA優(yōu)化得到的Ctot小于NSGSA。其中，NSGA-Ⅱ優(yōu)化得到的Ctot最小。綜上分析可知，在求解式（21）所示的多目標(biāo)優(yōu)化模型時(shí)，LSINSGSA算法的收斂性與Pareto最優(yōu)解集多樣性均優(yōu)于NSGSA和NSGA-Ⅱ。

5 結(jié) 論

1）在分析PPR-STC的工作原理基礎(chǔ)上，建立元器件的功率損耗、面積以及成本模型，得到PPR-STC多目標(biāo)優(yōu)化模型，且這些模型中的參數(shù)可從廠(chǎng)家提供的器件數(shù)據(jù)手冊(cè)獲得。2）為提高NSGSA求解三維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的性能，從存檔集維護(hù)、位置更新、KBEST選取和精英策略這4個(gè)方面對(duì)原有的NSGSA改進(jìn)，改進(jìn)后的LSINSGSA算法的收斂性與最優(yōu)解集均勻分布性均優(yōu)于NSGSA和NSGA-Ⅱ。

3）采用改進(jìn)的LSINSGSA算法求解器件多目標(biāo)優(yōu)化模型，并與NSGSA和NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行比較分析，得出由LSINSGSA算法優(yōu)化得到的器件組合可以使得PPR-STC在效率、面積和成本方面綜合最優(yōu)。同時(shí)，文中提出的優(yōu)化PPR-STC變換器方法也可為設(shè)計(jì)人員在優(yōu)化DC-DC變換器時(shí)提供參考。

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