巧轉(zhuǎn)化 妙思想
——一道三元最值題的破解策略

田 峰

(安徽省合肥方了個(gè)田教育科技有限責(zé)任公司 230031)

在近年的高考題與模擬題中，經(jīng)常會碰到求解雙變元或多變元的代數(shù)式的最值或取值范圍問題.此類問題往往難度較大，思維方式多變，方法有時(shí)也多樣.著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“好題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似之處：它們都是成串成長，找到一個(gè)以后，我們應(yīng)該看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”而當(dāng)我們解完一道題以后，要不斷領(lǐng)悟反思，多角度切入進(jìn)行深度挖掘，從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.下面結(jié)合結(jié)合一道三變元最值題來加以實(shí)例剖析，結(jié)合多維角度切入，達(dá)到殊途同歸.

分析涉及已知關(guān)系式下的三變元代數(shù)式的最值題，一個(gè)基本的思維方向就是通過已知關(guān)系式加以轉(zhuǎn)化，利用基本不等式等方式加以處理與轉(zhuǎn)化，其中離不開基本不等式、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用與綜合.而如何進(jìn)行不等式的放縮，可以借助不同的工具，巧妙利用數(shù)學(xué)思想來指導(dǎo)：整體思想、減元思想、齊次思想、二次函數(shù)思想以及轉(zhuǎn)化思想等，采取不同的方法來處理，進(jìn)而得以突破.

故S的最小值是4.

思想指導(dǎo)2(減元思想)利用基本不等式可得1-z2=x2+y2≥2xy，進(jìn)而通過三元代數(shù)式的減元思維，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)z的關(guān)系式，利用相應(yīng)的基本不等式來確定三元代數(shù)式的最值問題.

故S的最小值是4.

思想指導(dǎo)3(齊次思想)結(jié)合x2+y2+z2=1，通過分子中“1”的轉(zhuǎn)化，利用二次式的展開，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的齊次式，并利用齊次式的應(yīng)用，結(jié)合多次應(yīng)用基本不等式來放縮，進(jìn)而得以確定三元代數(shù)式的最值問題.

故S的最小值是4.

思想指導(dǎo)4 (二次函數(shù)思想)結(jié)合基本不等式的轉(zhuǎn)化2xy≤x2+y2，并利用z2=1-(x2+y2)，把相應(yīng)的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為含有x2+y2的二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來巧妙確定三元代數(shù)式的最值問題.

故S的最小值是4.

故S的最小值是4.

思想指導(dǎo)6(轉(zhuǎn)化思想2)巧妙借助x2+y2+z2=1，利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式的變形公式(a+b)2≥4ab，a2+b2≥2ab，通過相應(yīng)三元代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，進(jìn)行多次轉(zhuǎn)化與應(yīng)用來確定代數(shù)式的最值問題.

故S的最小值是4.

當(dāng)我們解完一道題以后，要不斷領(lǐng)悟反思，多角度切入進(jìn)行深度挖掘，從而達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果.通過從多個(gè)不同角度來處理，巧妙把該題的底蘊(yùn)充分挖掘出來，多角度出發(fā)，多方面求解，真正體現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的融會貫通，充分展現(xiàn)知識的交匯與綜合，達(dá)到提升能力，拓展應(yīng)用的目的.進(jìn)而真正達(dá)到在學(xué)中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”