探求解析幾何中動點橫(縱)坐標取值范圍(最值)的策略

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

平面解析幾何中動點橫(縱)坐標取值范圍(最值)問題，是高考中的熱點，是教師教學中的重點，是同學學習中的難點.由于這類問題，沒有固定的解題模型，沒有規(guī)律可循，解法靈活，思維性強.因此，大多數(shù)同學想不到、找不到解題的切入點與突破口，心生畏懼，一籌莫展.對此問題，筆者試想，沒有定法，應該有法，應該有策略.有幾種？具體是什么方法？是什么策略？筆者結合自己多年積累的教學資料(教師錯題集)和教學經(jīng)驗，反復思考，反復探究，歸納總結，給出如下六種策略，希望對同學們的學習有所啟示和幫助，希望對同仁的教學有參考價值.

一、走數(shù)形結合之路

雖然解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何學問題的學科，但是仍然離不開由數(shù)想形、由數(shù)畫形、以形助數(shù)、由形化數(shù)，問題獲解.

圖1

二、走三角函數(shù)之路

選取變量角為自變量，建立所求與變量角的函數(shù)關系式，把問題轉化為三角函數(shù)的值域(最值)問題，問題獲解.

例2 (2014年高考全國卷Ⅱ理科數(shù)學第16題)設點M(x0，1)，若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是____.

分析選取∠MNO為自變量，記∠MNO=α，應用正弦定理建立x0與α的關系式，問題轉化為求角α的三角函數(shù)的值域問題.

解因為點M(x0，1)在直線y=1上運動，記∠MNO=α，如圖2，則∠MON+α=135°，所以0°<α<135°，又因為MO≥ON，所以在△MON中知，α≥45°，于是45°≤α<135°.

圖2

圖3

三、走數(shù)量積定義之路

根據(jù)數(shù)量積定義，進行向量坐標運算，建立關于所求的不等式，問題獲解.

四、走代數(shù)函數(shù)之路

選取動直線的變量斜率k或變量橫截距a或變量縱截距b或圓錐曲線中的參變量為自變量，建立所求與變量斜率k或變量橫截距a或變量縱截距b或圓錐曲線中的參變量的函數(shù)關系式，把問題轉化為代數(shù)函數(shù)的值域(最值)問題，問題獲解.

解 方法1由題意可設直線AB的方程為y=kx+1，A(x1，y1)，B(x2，y2).

因為P(0，1)，所以由AP=2PB，得-x1=2x2， ③

五、走判別式之路

依題意，選取一個參變量，建立所求與所選取的參變量的關系式，由此得關于以參變量為未知數(shù)的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程有實根的充要條件是判別式不小于零，問題獲解.

例5 已知拋物線y=x2上有一定點A(-1，1)和兩動點P，Q，當PA⊥PQ時，點Q的橫坐標取值范圍是____.

六、走圓錐曲線范圍之路

建立所求與圓錐曲線上動點橫(縱)坐標的關系式，再利用圓錐曲線范圍，問題獲解.