恒成立問(wèn)題的解析技巧

陳燕琴

(江蘇省海門(mén)中學(xué) 226100)

一、參數(shù)拆分法

顧名思義，參數(shù)拆分法就是將方程式中的參考數(shù)值加以拆分,將其單獨(dú)拎出來(lái)的方法.首先將方程式轉(zhuǎn)化為形式如a≤f(x)，a≥f(x),afman(x).

例1若圖像C1的函數(shù)為f(x)=x3-3x變換到圖像C2要經(jīng)歷以下過(guò)程：首先往右方平直挪動(dòng)u單位，然后往下方平直挪動(dòng)v單位.當(dāng)u>0時(shí)，C1跟C2最多產(chǎn)生一個(gè)交點(diǎn)，求fmin(v)的值.

解∵y=(x-u)3-3(x-u)-v，

∴(x-u)3-3(x-u)-v=x3-3x.

又∵△≤0，

故函數(shù)當(dāng)g(u)在(0，2)上單調(diào)遞增；在(2，+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)u=2時(shí)，g(u)max=4,因此，4為v的最小值.

二、判別式方法

這種方法主要適用于解析可以歸為一元二次函數(shù)類(lèi)題型的最值問(wèn)題，如求方程f(x)的最大值，或最小值，這類(lèi)題的解題技巧在于“問(wèn)什么即設(shè)什么”，然后將所設(shè)的數(shù)值代入已知的方程式中，再逐步求出最值.

解f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2)，

∵x∈R,f′(x)≥m,即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立，

故△=81-12(6-m)≤0，

三、賦值解題法

賦值解題法是指首先假定有一個(gè)數(shù)值能使題目中的不等式恒成立，再將所賦值的具體取值范圍解出來(lái),然后再進(jìn)行倒推、證實(shí)題意的方法.

∵2xy≤x2+y2成立，

∴3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),

又∵x2+y2≥2xy成立，

∴3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y)成立……(2)，

四、聯(lián)結(jié)圖形法

若題中已經(jīng)給定相關(guān)參數(shù)及其取值范圍的情況下，依舊難以解出答案的情況下，這時(shí)就可以結(jié)合題中方程的圖形，在已知條件與圖形之間建立聯(lián)結(jié)，找到解題的切合點(diǎn)，然后分情況算出所求數(shù)值的范圍，再將其并集.

例4現(xiàn)有f(x)=x2-ax+1,當(dāng)a的值域?yàn)楹螘r(shí)，可在任意x∈(1,2)的情況下讓不等式f(x)<0恒成立？

在[1,2]上，有fmax(x)=f(2)=5-2a<0，

∴a>3，

五、偷換主元法

當(dāng)不等式中不僅僅只有一個(gè)變量的時(shí)候，就適宜采用偷換主元法來(lái)解題.即將已知條件更多的、或給定取值范圍的那一自變量當(dāng)成主元，利用其取值范圍來(lái)解題.

∴x2+ax>2x+a-1,即(x-1)2>-a(x-1)在a∈[-1,1]的條件下都能成立.

令f(a)=a(x-1)+(x-1)2，

因此，題中所求x的范圍相當(dāng)于解：當(dāng)x要滿(mǎn)足何種條件時(shí)能讓上述函數(shù)在區(qū)間[-1,1]恒為正.

∴x>2,或x<0,

∴x的取值范圍為：(-∞，0)∪(2，+∞).

恒成立問(wèn)題的巧妙解決，除了上述幾種策略外，還有諸如定義利用法、綜合解決法等多種解題技巧，高中數(shù)學(xué)老師在選定恒成立問(wèn)題的解題技巧時(shí)，要注意將所選的解題技巧與所給題目的性質(zhì)及學(xué)生在此問(wèn)題上已有的認(rèn)知相結(jié)合，選用最優(yōu)的恒成立解題策略，提高解題效率.