控制方向未知的非線性系統(tǒng)有限時間跟蹤控制

孟 波,劉文慧

(南京師范大學南瑞電氣與自動化學院,江蘇 南京 210023)

近年來,非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定控制問題受到了國內(nèi)外學者廣泛的關注. 從工程實踐的角度來看,有限時間穩(wěn)定性比漸近時間穩(wěn)定性更有意義,比如行駛中的汽車制動問題. 線性系統(tǒng)的有限時間控制問題是由Tang[1]所提出,該方法是更優(yōu)于線性滑膜方法的終端滑膜方法. Lyapunov有限時間穩(wěn)定性理論很好地解決了在非線性系統(tǒng)中由滑?？刂破饕鸬亩墩駟栴}[2]. 近年來,Lyapunov有限時間穩(wěn)定性理論的應用愈發(fā)廣泛[3-6]. Li等[7]對一類多輸入多輸出的非嚴格反饋非線性系統(tǒng)結合反步法和動態(tài)面控制設計了有限時間控制器. 在現(xiàn)實生活中,船只航向、航空航天等的自動控制問題廣泛涉及到控制方向未知的非線性系統(tǒng),但是上述文獻[3-7]并沒有討論當非線性系統(tǒng)控制方向未知時的控制問題. 在這一領域具有開拓性意義的是Nussbaum[8]提出的利用Nussbaum函數(shù)解決控制方向未知這一難題的方法,該方法至今仍是解決控制方向未知問題的主要方法. 文獻[9-10]都是通過坐標變換將原系統(tǒng)轉換為控制增益已知的新系統(tǒng)后設計了狀態(tài)觀測器應用Nussbaum函數(shù)和反步法來設計控制器,所不同的是前者設計的是線性觀測器而后者設計的是模糊狀態(tài)觀測器. 文獻[11-12]都利用了Nussbaum函數(shù)和動態(tài)面控制思想分別解決了系統(tǒng)控制增益符號未知的問題以及“計算膨脹”現(xiàn)象. 但是上述文獻[8-12]并沒有考慮有關控制方向未知的非線性系統(tǒng)的有限時間控制問題.

鑒于此,Ma等[13]針對一類具有執(zhí)行器故障和未知控制方向的非線性系統(tǒng)設計了控制器,并且可以保證該系統(tǒng)全局有限時間鎮(zhèn)定. Wu等[14]針對多未知控制方向的非線性系統(tǒng)提出了一種全局有限時間控制策略,文獻[15]在文獻[14]的基礎上對于多未知控制方向非線性系統(tǒng)增加了未知參數(shù)并設計了全局有限時間控制器. 但是上述文獻[12-15]都基于系統(tǒng)狀態(tài)向量可測情形. 另一方面,作為控制系統(tǒng)中常見的非線性問題,死區(qū)往往會降低系統(tǒng)的控制性能,甚至導致控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定[16-19].

對于一類控制方向未知的不確定非線性系統(tǒng)的有限時間自適應輸出反饋跟蹤控制問題,本文主要做以下工作:

(1)針對文獻[3-7]中系統(tǒng)均為控制方向已知,本文假設系統(tǒng)控制方向未知并借助Nussbaum函數(shù)來解決.

(2)對比文獻[8-12]沒有考慮有關控制方向未知的非線性系統(tǒng)的有限時間控制問題,本文對于此類系統(tǒng)設計了一種新的有限時間控制器.

(3)對于文獻[12-15]的控制器是基于系統(tǒng)狀態(tài)反饋設計的,本文對此條件進行了放寬,以此提出的控制策略可以更廣泛地應用于工程實踐.

1 問題描述、預備知識和模糊邏輯系統(tǒng)

1.1 問題描述

考慮下面嚴格反饋非線性系統(tǒng):

(1)

(2)

H(υ)=μ(t)υ+Δ(t).

(3)

式中

然后可以得到:

(4)

假設2參考信號yr和它的n階導數(shù)均是分段連續(xù),已知且有界的.

1.2 預備知識

引理2[20]對于任意的正常數(shù)μ,τ,κ和實變量e,有不等式|e|μ||τ成立.

1.3 模糊邏輯系統(tǒng)

系統(tǒng)中的未知非線性項用模糊邏輯系統(tǒng)描述如下,IF-THEN規(guī)則:

2 模糊狀態(tài)觀測器設計

(5)

(6)

式中

(7)

(8)

(9)

注1可以看到在系統(tǒng)(5)中,所有的控制增益都是已知的. 由于(5)由原系統(tǒng)(1)通過線性變換所得,所以(5)中所有的狀態(tài)都是不可知的. 因此,本文設計了一個模糊狀態(tài)觀測器來估計(5)中不可測的狀態(tài),然后基于此觀測器提出了一種新的有限時間控制策略.

3 控制器設計和穩(wěn)定性分析

3.1 控制器設計

提出一種基于反步法的自適應有限時間控制方案. 跟蹤誤差zi以及Lyapunov函數(shù)分別為:

z1=y-yr,

(10)

(11)

(12)

第1步:由(5)、(10)計算跟蹤誤差導數(shù)為下式,其中ε′1=ε1+D1,

(13)

由(12)、(13)計算V1的導數(shù)為:

(14)

(15)

(16)

將(15)、(16)代入(14)可得:

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

第i(i=2,3,…,n-1)步:由(5)、(6),計算zi的導數(shù)為:

(22)

根據(jù)(12)和(22),Vi的導數(shù)為:

(23)

(24)

(25)

將(24)、(25)代入(23)可得:

(26)

(27)

(28)

由(27)和(28)代入(26)可以得到:

(29)

第n步:求得Vn的導數(shù)為:

(30)

應用Young’s不等式,由(4)可得:

(31)

(32)

(33)

由(30)、(31)、(32)和(33)可得:

(34)

3.2 穩(wěn)定性分析

定理1考慮具有未知控制方向和輸入死區(qū)的非線性系統(tǒng)(1),在假設3和引理5的條件下,基于模糊狀態(tài)觀測器設計的控制器(18)、(27)、(32)和自適應律(20)、(28)、(29)和(33)可以保證此閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有信號的有界性和跟蹤誤差在原點處的收斂性.

證明:選擇李雅普諾夫函數(shù)V=Vn,由(34)有:

(35)

應用Young’s不等式,有

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

將(39)、(40)、(41)和(42)代入(38)有:

(43)

4 仿真實例

考慮下面非線性系統(tǒng)

(44)

式中,s1=1,s2=-1,參考信號yr=sint,對原系統(tǒng)進行坐標變換后新系統(tǒng)和模糊觀測器分別為:

(45)

(46)

根據(jù)設計的控制器υ仿真結果如圖1-圖4所示,圖1是輸出信號y和參考信號yr的軌跡,圖2是跟蹤誤差z1的仿真結果. 由圖1和圖2可以看出,輸出信號y在控制器υ的作用下具有良好的跟蹤性能. 圖3 顯示了經(jīng)過坐標變換后式(45)的狀態(tài)變量和狀態(tài)估計,圖4給出了模糊自適應參數(shù).

圖1 輸出y和參考信號yr的軌跡Fig.1 Trajectories of output y and tracking signal yr

圖2 跟蹤誤差z1Fig.2 Tracking error z1

圖3 狀態(tài)變量ξ1和它的估計量Fig.3 State variable ξ1 and and its estimation

圖4 模糊自適應參數(shù)Fig.4 Fuzzy adaptation parameters

5 結論

本文針對一類具有輸入死區(qū)以及控制方向未知且只有輸出可測的非線性系統(tǒng)設計了半全局有限時間控制器. 首先,引入坐標變換,將所研究的系統(tǒng)轉化為控制增益已知的等效系統(tǒng). 然后,設計了一個模糊狀態(tài)觀測器來估計不可測的狀態(tài). 通過Nussbaum函數(shù)解決了該系統(tǒng)控制方向未知的困難,基于模糊狀態(tài)觀測器,通過反步法利用變換后的系統(tǒng)間接得到原系統(tǒng)的控制器. 此外,由仿真算例可以看出在該控制器的作用下跟蹤誤差在有限時間內(nèi)保持有界并收斂至原點的一個小鄰域內(nèi),且由引理4可知閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號都保持有界.