龐方皓，程慶慶

（上海理工大學(xué) 光電信息與計算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

引 言

超構(gòu)表面是一種由亞波長結(jié)構(gòu)組成的超薄超材料，具備可定制的光學(xué)特性，為實現(xiàn)具有預(yù)期功能的平面光子器件提供了一種新穎的方法[1-2]。目前，基于超構(gòu)表面設(shè)計并證實了廣義Snell定律[3]，并相繼出現(xiàn)了聚焦[4-7]、偏折[8-10]、光束發(fā)生器[11-12]、光學(xué)全息成像[13-14]等。在超構(gòu)表面的分支中，由亞波長結(jié)構(gòu)所組成的超構(gòu)透鏡能夠在平面內(nèi)對電磁波相位進(jìn)行高密度的靈活調(diào)控，區(qū)別于傳統(tǒng)透鏡通過改變電磁波光程的相位調(diào)控方式，超構(gòu)透鏡具備更加輕量化和更易集成化等優(yōu)勢。然而，受限于材料性質(zhì)隨波長變化的特征，超構(gòu)透鏡在成像中存在色差并造成圖像模糊等問題，這阻礙其在光學(xué)顯微成像、超分辨成像等領(lǐng)域的發(fā)展。

近年來，大量的研究通過對超構(gòu)透鏡單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計并實現(xiàn)寬光譜的消色差成像。例如，哈佛大學(xué)Capasso團(tuán)隊提出了一個可見光波段的消色差超構(gòu)透鏡，其工作波長為490～550 nm，實現(xiàn)了對可見光的連續(xù)寬帶消色差聚焦[15]。加州理工學(xué)院的Faraon團(tuán)隊設(shè)計了一個近紅外波段的消色差超構(gòu)透鏡，其工作波長為1 450～1 590 nm，實現(xiàn)了近紅外波段連續(xù)帶寬的消色差聚焦[16]。南京大學(xué)王漱明等[17-18]設(shè)計了光頻段的反射式和透射式消色差超構(gòu)透鏡，其工作波長為1 200～1 680 nm和400～660 nm，分別實現(xiàn)了近紅外的消色差聚焦和可見光波段連續(xù)寬帶的彩色成像。上海理工大學(xué)程慶慶等[19-20]完成了對太赫茲波段的消色差設(shè)計，分別實現(xiàn)了0.3～0.8 THz連續(xù)寬帶的太赫茲消色差聚焦和0.4～0.8 THz連續(xù)寬帶的消色差艾里光束產(chǎn)生。上述的消色差設(shè)計都是借助單層超構(gòu)透鏡結(jié)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化，使得消色差超構(gòu)透鏡在設(shè)計中面臨數(shù)值孔徑小的缺點(diǎn)，此外生成更好的消色差艾里光束受制于小的樣品尺寸。

本文提出雙層硅基級聯(lián)太赫茲消色差超構(gòu)透鏡的方案，優(yōu)化超構(gòu)透鏡上的結(jié)構(gòu)并獲得色差補(bǔ)償相位為φ = 3.87π rad，從而增加太赫茲消色差透鏡的尺寸和數(shù)值孔徑，并且能降低高深寬比樣品的加工難度。理論上將傳輸相位和幾何相位[21]結(jié)合，分別提供頻率范圍從0.5 THz到1.1 THz的色差補(bǔ)償相位和0.5 THz頻點(diǎn)的聚焦相位，最終在模擬中設(shè)計并驗證焦距F = 12 mm、數(shù)值孔徑NA = 0.37和直徑D = 9.6 mm的雙層硅基級聯(lián)太赫茲消色差超構(gòu)透鏡，其消色差聚焦示意圖如圖1（a）所示。本文設(shè)計的雙層硅基級聯(lián)太赫茲消色差超構(gòu)透鏡將在太赫茲探測、成像等領(lǐng)域發(fā)揮重要作用，有助于太赫茲消色差元器件的發(fā)展。

圖 1 雙層硅基級聯(lián)超構(gòu)透鏡消色差聚焦示意圖和相位分布Fig. 1 Schematic diagram of achromatic focusing and phase distribution of cascaded silicon-based achromatic metalens

1 消色差原理

設(shè)計的超構(gòu)表面結(jié)構(gòu)需要滿足消色差聚焦透鏡所需的相位分布。一束平面波經(jīng)過超構(gòu)透鏡后聚焦，其超構(gòu)透鏡的聚焦相位分布如下

式中：(x, y）表示聚焦透鏡平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，透鏡直徑D = 9.6 mm（?D/2 ≤ x ≤ D/2,?D/2 ≤y ≤ D/2）；透鏡焦距F = 12 mm；c為光速；f為目標(biāo)頻率，取值范圍為0.5（fmin）～1.1 THz（fmax），可以將式（1）的聚焦相位方程分為兩部分，即聚焦相位φ1（x, y）和色差補(bǔ)償相位φ2（x, y）：

重點(diǎn)是設(shè)計一系列的單元結(jié)構(gòu)使其不僅滿足式（2）中描述的聚焦相位φ1（x, y），同時滿足式（3）中的色差補(bǔ)償相位φ2（x, y）。特別注意的是，聚焦相位φ1（x, y）僅與頻率fmin相關(guān)，匹配該相位分布可以用幾何相位實現(xiàn)，由于幾何相位僅與結(jié)構(gòu)單元的旋轉(zhuǎn)角度有關(guān)，因此通過對特定坐標(biāo)（x, y）上的結(jié)構(gòu)單元引入旋轉(zhuǎn)角度θ = φ1/2來滿足聚焦相位分布。式（3）表示的色差補(bǔ)償相位是一個與頻率f成線性相關(guān)的函數(shù)，該色差補(bǔ)償相位φ2（x, y）可以通過傳輸相位實現(xiàn)，通過設(shè)計不同的單元結(jié)構(gòu)以此滿足色差補(bǔ)償相位的要求。然而，高頻的相位均小于低頻（圖1（b）中的紅色虛線位于藍(lán)色實線下方），使得式（3）呈現(xiàn)一個負(fù)值的色差補(bǔ)償相位φ2，這與材料的正常色散所表現(xiàn)出的相位隨頻率的增大而增大的關(guān)系相違背。因此需要給高頻相位附加相移 φshift(f)=α(f?fmin) ，讓高頻相位大于低頻相位，合并式（2）和式（3）為

2 雙層硅基級聯(lián)消色差超構(gòu)透鏡設(shè)計

雙層硅基級聯(lián)消色差超構(gòu)透鏡的設(shè)計，首要是設(shè)計并排列超構(gòu)表面的單元結(jié)構(gòu)以此滿足色差補(bǔ)償相位。我們利用有限時域差分法（FDTD）對單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真，設(shè)計了六種典型單元結(jié)構(gòu)，柱結(jié)構(gòu)和孔洞結(jié)構(gòu)分別如圖2（a）～（c）和圖2（d）～（f）所示。單元結(jié)構(gòu)的材料折射率為nsi= 3.45，x-和y-方向的周期均為px= py= 60 μm，柱（孔洞）結(jié)構(gòu)的長和寬分別為L = 50 μm和W = 41 μm。圖2（a）所示單層柱結(jié)構(gòu)Ⅰ的襯底和柱結(jié)構(gòu)高度分別為T = 150 μm和H = 250 μm，圖3（a）所示為該結(jié)構(gòu)的覆蓋相位φⅠ= 773°和頻率寬帶內(nèi)的轉(zhuǎn)換效率均在40%以下。為了進(jìn)一步增加結(jié)構(gòu)的覆蓋相位，將襯底和柱結(jié)構(gòu)高度都增大為兩倍（T = 300 μm、H = 500 μm），如圖2（b）所示的結(jié)構(gòu)Ⅱ。在圖3（b）中可以看到結(jié)構(gòu)改變后其覆蓋相位增大為φⅡ= 1 554°，近似為結(jié)構(gòu)Ⅰ覆蓋相位φⅠ的兩倍，出現(xiàn)部分頻點(diǎn)的轉(zhuǎn)換效率在60%（紅色虛線）以上。但由于提高了單元結(jié)構(gòu)的深寬比，而導(dǎo)致增加了樣品的加工難度。為了降低結(jié)構(gòu)的深寬比，我們采用雙層級聯(lián)的方式將兩個結(jié)構(gòu)Ⅰ組合形成圖2（c）所示的結(jié)構(gòu)Ⅲ，襯底和柱結(jié)構(gòu)高度分別為T = 300 μm和H = 250 μm。如圖3（c）所示該結(jié)構(gòu)的覆蓋相位φⅢ= 1 568°和同時大部分頻點(diǎn)的轉(zhuǎn)換效率均在60%（紅色虛線）以上。對比結(jié)構(gòu)Ⅰ和Ⅱ，雙層級聯(lián)結(jié)構(gòu)Ⅲ的覆蓋相位依然滿足兩倍關(guān)系，不僅擴(kuò)大了結(jié)構(gòu)的覆蓋相位，同時還提升了轉(zhuǎn)換效率并降低了結(jié)構(gòu)的深寬比。將上述三種單元結(jié)構(gòu)中的柱結(jié)構(gòu)替換為孔洞結(jié)構(gòu)，保持結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，形成如圖2（d）～（f）所示孔洞結(jié)構(gòu)Ⅳ、Ⅴ和Ⅵ。如圖3（d）～（f）所示孔洞結(jié)構(gòu)Ⅳ、Ⅴ和Ⅵ的覆蓋相位分別為φⅣ=778°，φⅤ= 1 562°和φⅥ= 1 572°，同比柱結(jié)構(gòu)的覆蓋相位都得到增加。此外，轉(zhuǎn)換效率在孔洞結(jié)構(gòu)中同樣都得到提高，其中孔洞結(jié)構(gòu)Ⅵ內(nèi)大部分頻點(diǎn)的轉(zhuǎn)換效率均高于60%?？锥唇Y(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換效率曲線出現(xiàn)更多的由共振模式引起的透射峰，使得孔洞結(jié)構(gòu)能夠提供更大的色差補(bǔ)償相位。因此我們采用雙層級聯(lián)的方法，結(jié)合柱結(jié)構(gòu)和孔洞結(jié)構(gòu)共同設(shè)計消色差超構(gòu)透鏡。

圖 2 柱結(jié)構(gòu)（a-c）和孔洞結(jié)構(gòu)（d-f）示意圖Fig. 2 Schematic diagram of column structure (a-c) and hole structure (d-f)

圖 3 柱結(jié)構(gòu)（a-c）和孔洞結(jié)構(gòu)（d-f）的覆蓋相位和轉(zhuǎn)換效率Fig. 3 Phase coverage and conversion efficiency of column structure (a-c) and hole structure (d-f)

依據(jù)上述消色差理論，超構(gòu)透鏡通過傳輸相位提供工作寬帶內(nèi)的色差補(bǔ)償相位，幾何相位提供0.5 THz頻點(diǎn)所需的聚焦相位，最終實現(xiàn)0.5～1.1 THz寬帶消色差聚焦。將設(shè)計的所有結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行整理，如表1所示，總共有34種結(jié)構(gòu)，包含柱狀結(jié)構(gòu)（編號1～19）和孔洞結(jié)構(gòu)（編號20～34）長度、寬度的結(jié)構(gòu)參數(shù)和覆蓋相位的數(shù)值大小。編號1～19的柱狀結(jié)構(gòu)提供從1 168°到1 568°的覆蓋相位，編號20～34的孔洞狀結(jié)構(gòu)實現(xiàn)從1 572°到1 858°的覆蓋相位。在結(jié)構(gòu)排布中，孔洞結(jié)構(gòu)排布在超構(gòu)透鏡的中心位置（?3 180 μm到3 180 μm），另外靠近透鏡邊緣的區(qū)域由柱結(jié)構(gòu)組成（?4 800 μm到?3 180 μm和3 180 μm到4 800 μm）。由于超構(gòu)透鏡的對稱關(guān)系，表2給出超構(gòu)透鏡半徑上（?x方向）的單元結(jié)構(gòu)排序，包含每個單元結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)位置、編號和旋轉(zhuǎn)角度。

表 1 單元結(jié)構(gòu)參數(shù)及覆蓋相位數(shù)值Tab. 1 Parameters and compensation phase of structural units

表 2 雙層硅基級聯(lián)消色差超構(gòu)透鏡單元結(jié)構(gòu)排布Tab. 2 Structural unit arrangement of cascaded silicon-based achromatic metalens

3 雙層級聯(lián)與單層超構(gòu)透鏡的消色差效果

依據(jù)上述雙層級聯(lián)超構(gòu)透鏡的結(jié)構(gòu)排布，利用FDTD對該超構(gòu)透鏡進(jìn)行了消色差效果的仿真驗證。如圖4（a）所示為雙層級聯(lián)消色差超構(gòu)透鏡的相位曲線，其中最大色差補(bǔ)償相位φ1=φmax?φmin= 3.87π rad（φshift1= φmax）。由圖5（a）所示的該透鏡聚焦電場強(qiáng)度的分布，可以看出0.5 THz和1.1 THz兩個頻點(diǎn)的焦點(diǎn)均在同一位置F1= 12 mm，與預(yù)期一致。兩個頻點(diǎn)的焦斑在縱向和橫向上的強(qiáng)度歸一化半高寬分別為FWHM0.5THz= 0.80 mm（橫向）、FWHM1.1THz=0.35 mm（橫向）和FWHM0.5THz= 3.72 mm（縱向）、FWHM1.1THz= 7.82 mm（縱向）。根據(jù)NA=n?sinθ 計算得雙層級聯(lián)超構(gòu)透鏡的數(shù)值孔徑NA1= 0.37，由 F WHM=0.5λ/NA 計算得到兩個頻點(diǎn)的焦斑橫向半高寬FWHM0.5THz' = 0.81 mm（橫向）和FWHM1.1THz' = 0.36 mm（橫向），這與模擬仿真中測量所得的橫向半高寬相接近。

雙層級聯(lián)超構(gòu)透鏡能夠引入更大的色差補(bǔ)償相位，是單層超構(gòu)透鏡色差補(bǔ)償相位的兩倍，以至于在相同工作頻率寬帶內(nèi)雙層級聯(lián)超構(gòu)透鏡能夠獲得更小的焦距。為了更直觀地說明雙層級聯(lián)超構(gòu)透鏡的特征，做了單層超構(gòu)透鏡的消色差聚焦效果對比。單層超構(gòu)透鏡由單層柱（孔洞）結(jié)構(gòu)組成，結(jié)構(gòu)參數(shù)與表1相同，另外旋轉(zhuǎn)角度取表2中旋轉(zhuǎn)角度的一半。單層超構(gòu)透鏡的相位曲線和仿真效果如圖4（b）和圖5（b）所示，其中最大色差補(bǔ)償相位φ2= φmax?φmin= 1.93π rad（φshift2= φmax）為雙層級聯(lián)超構(gòu)透鏡最大色差補(bǔ)償相位φ1的一半，0.5 THz和1.1 THz兩個頻點(diǎn)的焦距均在F2= 24 mm，大于雙層級聯(lián)超構(gòu)透鏡的焦距F1。此外，計算得到透鏡的數(shù)值孔徑為NA2= 0.19，小于雙層級聯(lián)超構(gòu)透鏡的數(shù)值孔徑NA1=0.37。兩個頻點(diǎn)的焦斑在縱向和橫向上的強(qiáng)度歸一化半高寬分別為FWHM0.5THz=0.87 mm（橫向）、FWHM1.1THz= 0.61 mm（橫向）和FWHM0.5THz= 13.66 mm（縱向）、FWHM1.1THz=17.16 mm（縱向），均大于雙層級聯(lián)超構(gòu)透鏡的焦斑半高寬。

圖 4 雙層級聯(lián)超構(gòu)透鏡和單層超構(gòu)透鏡的相位曲線Fig. 4 (a) Phase curves of cascaded metalens and single layer metalens

圖 5 雙層級聯(lián)超構(gòu)透鏡與單層超構(gòu)透鏡的聚焦效果對比Fig. 5 Comparison of focusing effect between cascaded and single layer metalens

4 結(jié)論

本論文提供了一種獲得大色差補(bǔ)償相位的雙層級聯(lián)超構(gòu)透鏡設(shè)計方案，解決了單層超構(gòu)透鏡中色差補(bǔ)償相位受限的問題。進(jìn)一步，通過參數(shù)優(yōu)化并獲得0.5 THz到1.1 THz頻段內(nèi)的色差補(bǔ)償相位φ = 3.87π rad，在仿真上設(shè)計并驗證了焦距F = 12 mm、樣品尺寸D = 9.6 mm和數(shù)值孔徑NA = 0.37的太赫茲消色差超構(gòu)透鏡。本文提出的雙層硅基級聯(lián)太赫茲消色差超構(gòu)透鏡在太赫茲探測超分辨成像系統(tǒng)等領(lǐng)域具有很大的潛在應(yīng)用，將會促進(jìn)太赫茲成像領(lǐng)域的發(fā)展。