塵埃等離子體中擴(kuò)展的ZK方程的最優(yōu)系統(tǒng)和冪級(jí)數(shù)解

高 芳

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

李對稱分析是非線性偏微分方程求解的方法之一，其思想是通過構(gòu)造不變量作為函數(shù)變換的基礎(chǔ)，使偏微分方程減少一個(gè)自變量得到化簡或求解。比如，文獻(xiàn)[1]研究了耦合可積無色散方程，在李對稱分析的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一維子代數(shù)的最優(yōu)系統(tǒng)，給出了相似約簡和群不變解，并且得到了顯示冪級(jí)數(shù)解和方程的守恒律；文獻(xiàn)[2]也同樣應(yīng)用經(jīng)典對稱方法研究了雙曲曲線流演化方程對稱性的一維最優(yōu)系統(tǒng)，精確解和冪級(jí)數(shù)解；文獻(xiàn)[3]還用同樣方法討論了帶耗散性的正雙曲平均曲率流的群不變解和冪級(jí)數(shù)解以及冪級(jí)數(shù)解的收斂性。

最近，多位學(xué)者研究了塵埃等離子體和量子物理中的非線性Zakharov-Kuznetsov(ZK)型方程。文獻(xiàn)[4]研究了超熱電子-正電子-離子等離子體中的Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程;文獻(xiàn)[5]利用約化微擾法，導(dǎo)出了離子聲孤波的非線性ZK方程;文獻(xiàn)[6]研究了具有上自旋和下自旋電子相對密度效應(yīng)的磁化量子等離子體中的非線性靜電孤立脈沖;文獻(xiàn)[7]探討了磁化塵埃等離子體中三維非線性擴(kuò)展ZK動(dòng)力學(xué)方程的聲孤波解。

高東寧等[8]提出了擴(kuò)展的ZK方程

ut-ux+Auux+Bu2ux+Cuxxx+D(uxyy+uxzz)=0,

(1)

其中A,B,C,D定義于文獻(xiàn)[8]中。Shrouk Weal等[9]研究了方程(1)的對稱約化、守恒律和聲波解，通過李群分析得到6個(gè)李代數(shù)生成子如下：

(2)

基于上述研究成果，擬應(yīng)用(2)式和李對稱方法，研究擴(kuò)展的方程(1)的最優(yōu)系統(tǒng)、精確解和冪級(jí)數(shù)。

1 一維最優(yōu)系統(tǒng)

令(1)(2)式中的系數(shù)A=-2，B=-1,(1)式變?yōu)?/p>

ut-ux-2uux-u2ux+Cuxxx+D(uxyy+uxzz)=0,

(3)

則(2)變?yōu)?/p>

(4)

根據(jù)(4)式和公式

[Vi,Vj]=ViVj-VjVi,

可以得到李括號(hào)表，見表1。

表1 李括號(hào)表

假設(shè)任一向量

V=l1V1+l2V2+l3V3+l4V4+l5V5+l6V6,

(5)

建立線性變換

(6)

令

(7)

(8)

(8)式的解構(gòu)成變換

為了求得最優(yōu)系統(tǒng)，需要化簡向量(6):

情況(a) 如果l1≠0,令

使得

則向量(6)等價(jià)于(l1,0,l3,0,0,0),則V等價(jià)于V1±V3,V1。

情況(b) 如果l1=0,則向量(6)等價(jià)于(0,l2,l3,l4,l5,l6),分為兩種情況：

(b-1) 如果l3≠0,令

(b-2) 如果l3=0,則向量(6)等價(jià)于(0,l2,0,l4,l5,l6),又分為兩種子情況：

(b-2-1) 如果l5≠0,令

(b-2-2) 如果l5=0,此時(shí)向量(6)等價(jià)于(0,l2,0,l4,0,l6),V等價(jià)于V2±V4±V6,V4±V6,V2±V6,V2±V4,V6,V4,V2。

因此，得到一個(gè)最優(yōu)系統(tǒng)

{V1,V2,V3,V4,V5,V6,V1±V3,V2±V4,V2±V6,V3±V2,V3±V6,V4±V6,V5±V6,

V5±V2,V5±V2±V6,V3±V2±V6,V2±V4±V6}。

2 精確解

解特征方程得到不變量為

Y=y,Z=z,X=x-t,

不變解為u=M(X,Y,Z),代入方程(3),得到

-2MX-2MMX-M2MX+CMXXX+D(MXYY+MXZZ)=0。

(9)

對方程(9)進(jìn)行李對稱分析，得到方程(9)的向量

因此，得到4個(gè)生成子

令

則不變解為

M=f(Z,h),h=X-Y,

代入(9)式得到

解特征方程得到不變量為

X=x,Y=y2+z2,T=z+yt,

不變解為u=N(X,Y,T),代入方程(3),得

yNT-NX-2NNX-N2NX+CNXXX+D(4NXY+4YNXYY+4TNXTT+(t2+1)NXTT)=0。

(10)

解特征方程得到不變量為

T=t,Z=z,X=x-y,

不變解為u=H(X,Y,Z),代入方程(3),得到

HT-HX-2HHX-H2HX+CHXXX+D(HXXX+HXZZ)=0。

(11)

方程(11)的李對稱由無窮小生成子

得到李代數(shù)生成子

令

則不變解為

H=S(T,h),h=X-Z,

代入(11)式得到

ST-Sh-2SSh-S2Sh+(C+2D)Shhh=0。

(12)

對方程(12)再次進(jìn)行李對稱分析和對稱約化后得到不變解為

S=f(φ)=f(T-h)，

2f′+2ff′+f2f′-(C+2D)f?=0。

(13)

3 冪級(jí)數(shù)解

應(yīng)用冪級(jí)數(shù)方法研究方程(13)冪級(jí)數(shù)解的構(gòu)成如下：

(14)

其中pn是未知系數(shù)。

把(14)式代入方程(13)，得

(15)

比較方程(15)的系數(shù)，當(dāng)n≥0時(shí)，

(16)

根據(jù)(16)式可以得到(14)式中所有的系數(shù)pi(i≥2),

關(guān)于(16)式，有

其中

定義冪級(jí)數(shù)

顯然

|pn|≤rn,n=0,1,2,…

因此，級(jí)數(shù)R=R(φ)是級(jí)數(shù)(14)的優(yōu)級(jí)數(shù)，則R=R(φ)有正的收斂半徑。

考慮關(guān)于獨(dú)立變量φ的隱函數(shù)

因?yàn)镕在(φ,R)面上是解析的，并且

F(0,r0)=0,FR′(0,r0)=1≠0,

應(yīng)用隱函數(shù)定理[10]得出，在點(diǎn)(0,r0)的一個(gè)鄰域內(nèi)，R=R(φ)是解析的，并且有正的半徑。即意味著，在平面上的點(diǎn)(0,r0)鄰域內(nèi)，冪級(jí)數(shù)(14)收斂。

因此，方程(13)的冪級(jí)數(shù)解(14)是解析的，形如：

因此，方程(3)的顯示冪級(jí)數(shù)解為

u=u(x,y,z,t)=p0+p1(-x+y+z+t)+p2(-x+y+z+t)2+

4 結(jié)論

基于李對稱方法研究了塵埃等離子體中擴(kuò)展的Zakharov-Kuznetsov方程，首先得到了方程的一維最優(yōu)系統(tǒng)，然后解得了方程的精確解，最后應(yīng)用冪級(jí)數(shù)方法得到了方程的顯示解。