基于Kriging 算法的壓氣機(jī)健康參數(shù)主從式插值建模

曾 力，陳仁祥，董紹江

（重慶交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶 400074）

研究航空燃?xì)廨啓C(jī)建模理論對(duì)于其性能分析與飛控系統(tǒng)的設(shè)計(jì)改進(jìn)具有重要意義.壓氣機(jī)是燃?xì)廨啓C(jī)的主要?dú)饴凡考?，通過對(duì)空氣壓縮做功確保其在燃燒室能夠與燃油充分燃燒.壓氣機(jī)的流量系數(shù)是表征壓氣機(jī)流通能力的重要指標(biāo)，同時(shí)也是進(jìn)行燃?xì)廨啓C(jī)數(shù)字化建模的重要參數(shù).通常情況下，流量系數(shù)的獲取首先需要進(jìn)行燃?xì)廨啓C(jī)試車，然后基于試車數(shù)據(jù)構(gòu)造插值模型，利用該模型計(jì)算出滿足燃?xì)廨啓C(jī)建模所需的流量系數(shù).目前，傳統(tǒng)的插值模型在進(jìn)行流量參數(shù)擴(kuò)展時(shí)普遍存在插值精度較低的問題[1-3].

為了提高壓氣機(jī)流量系數(shù)的計(jì)算精度，涂環(huán)等[4]提出了基于Kriging 算法的壓氣機(jī)流量特性預(yù)測(cè)模型，并討論了模型中相關(guān)參數(shù)的初值以及模型本身對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響.尹大偉等[5]引入元建模的原理，通過定義原模型的輸入輸出維數(shù)，利用Kriging算法建立了流量和效率參數(shù)的代理模型，并基于此模型對(duì)其他轉(zhuǎn)速下的特性數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì).趙勇等[6]針對(duì)Kriging 模型對(duì)初始參數(shù)取值敏感的特點(diǎn)提出利用量子粒子群優(yōu)化算法對(duì)原始Kriging 模型中相關(guān)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，建立了優(yōu)化后的Kriging 代理模型.Gholamrezaei 等[7]提出基于有限的實(shí)驗(yàn)樣本，利用前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)壓氣機(jī)的特性數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu).網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和偏差由帶貝葉斯正則化的Levenberg-Marquardt 算法進(jìn)行調(diào)節(jié).Marek 等[8]提出利用兩個(gè)變量逼近特性數(shù)據(jù)曲線，提出了針對(duì)特性數(shù)據(jù)在其變化范圍內(nèi)進(jìn)行建模的可能性，并給出了精度的估算辦法.上述方法在計(jì)算壓氣機(jī)流量系數(shù)時(shí)具有一定的精度，但這些方法并未考慮不同換算轉(zhuǎn)速下流量系數(shù)的相似性，因此，流量系數(shù)的計(jì)算精度具有進(jìn)一步提高的可能性.

為了提高壓氣機(jī)流量系數(shù)的計(jì)算精度，本文建立了基于Kriging 算法的主從式插值模型.首先利用試車數(shù)據(jù)建立增壓比、換算轉(zhuǎn)速、流量系數(shù)的多維樣本向量，通過該向量來表征不同換算轉(zhuǎn)速下流量系數(shù)的相似性，其次分別利用Kriging 算法構(gòu)造面向流量系數(shù)的多維向量插值模型及單點(diǎn)插值模型，最后通過實(shí)際樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證.

1 Kriging 插值模型

Kriging 算法是通過對(duì)樣本賦予一定的權(quán)重，通過加權(quán)線性組合的辦法求出待計(jì)算目標(biāo)處的具體值，且滿足估計(jì)方差最小.其建模過程如下：

步驟1系統(tǒng)的響應(yīng)值與輸入變量可表示為[9]

式中：F(x,β)=fT(x)β，為系統(tǒng)回歸模型集合，β為模型系數(shù)矩陣，且β=[β1β2β3··· βq]p×q，f(x)為p階多項(xiàng)式的回歸模型，通常階次可設(shè)定為1.且f(x)=[f1(x)f2(x)f3(x) ···fq(x)]Tz(x)；為隨機(jī)函數(shù)，且滿足式（2）的條件.

式中：E(z(x))、分別為隨機(jī)函數(shù)的均值與方差；xi、xj為兩個(gè)任意輸入樣本；θ 為樣本點(diǎn)相關(guān)性的衰減程度，θ=〈xi,xj〉/(|xi||xj|)；r為樣本點(diǎn)與估值目標(biāo)點(diǎn)之間的相關(guān)性；矩陣R的元素反應(yīng)了樣本點(diǎn)之間的空間關(guān)聯(lián)程度，可用核函數(shù)來表征，常用的核函數(shù)包括高斯核函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)等，本文采用高斯函數(shù)[10-12]，如式（3）.

2 壓氣機(jī)特性數(shù)據(jù)主從式建模

2.1 樣本數(shù)據(jù)預(yù)處理

對(duì)于某給定的換算轉(zhuǎn)速ni，壓氣機(jī)的流量系數(shù)和增壓比存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即有{（ωi1,πi1）,（ωi2,πi2）,···,(ωi j,πij),···,(ωik,πik)}.其中：ωi j、πij分別為對(duì)應(yīng)于ni的第j個(gè)流量系數(shù)和增壓比，i為換算轉(zhuǎn)速的編號(hào)，j=1，2，···，k，k為給定換算轉(zhuǎn)速下流量系數(shù)與增壓比的數(shù)量.為了后面的計(jì)算方便，限定所有換算轉(zhuǎn)速下，效率系數(shù)和流量系數(shù)的樣本數(shù)量相同.

利用Kriging 算法建模首先需要定義輸入、輸出樣本及其維度.根據(jù)壓氣機(jī)流量系數(shù)分布特點(diǎn)，定義輸入輸出樣本向量為

需要注意的是，此處定義的參數(shù)為對(duì)應(yīng)于換算轉(zhuǎn)速、流量系數(shù)、增壓比真實(shí)值的歸一化數(shù)值.

2.2 健康參數(shù)主從式插值建模

傳統(tǒng)的基于Kriging 算法的壓氣機(jī)流量系數(shù)插值是將所有樣本點(diǎn)作為輸入，構(gòu)造面向單個(gè)樣本的插值模型.這種傳統(tǒng)的建模方式精度較低，而且計(jì)算效率低下.文章提出的主從式建模思想是根據(jù)壓氣機(jī)流量系數(shù)的空間分布相關(guān)性，定義固定轉(zhuǎn)速下的樣本維度，建立多維輸入輸出主模型.利用主模型可估計(jì)出目標(biāo)轉(zhuǎn)速下的包含目標(biāo)點(diǎn)的估值向量.然后利用估值向量建立針對(duì)單個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的從模型，最后實(shí)現(xiàn)目標(biāo)點(diǎn)的計(jì)算.圖1 和圖2 描述了傳統(tǒng)Kriging算法建模和主從式Kriging 建模法的處理過程.其中：分別為第i個(gè)換算轉(zhuǎn)速以及對(duì)應(yīng)于該換算轉(zhuǎn)速的第j個(gè)增壓比和流量系數(shù).

圖1 傳統(tǒng)Kriging 插值估計(jì)法Fig.1 Traditional Kriging interpolation estimation method

圖2 主從式Kriging 插值估計(jì)法Fig.2 Master-slave Kriging interpolation estimation method

以上為主模型的計(jì)算過程.利用主模型的計(jì)算結(jié)果作為樣本建立從模型，并針對(duì)待估計(jì)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算.這里首先定義從模型的輸入輸出樣本，有

與主模型的多維輸入輸出形式不同，從模型是針對(duì)具體目標(biāo)參數(shù)進(jìn)行插值計(jì)算，從模型的輸入樣本由組成二維向量，即xi，輸出樣本為ωi.

3 仿真驗(yàn)證

某型燃?xì)廨啓C(jī)壓氣機(jī)流量系數(shù)15 組，為了驗(yàn)證論文提出的主從式建模方法的精度，以12 組數(shù)據(jù)作為樣本，剩下3 組作為驗(yàn)證數(shù)據(jù)，分別利用傳統(tǒng)Kriging插值模型和主從式模型進(jìn)行流量系數(shù)計(jì)算[13-16].待估計(jì)流量系數(shù)對(duì)應(yīng)的換算轉(zhuǎn)速及增壓比如下：

表1 待估計(jì)流量系數(shù)Tab.1 Flow coefficients to be estimated

圖3 為利用主從式模型估算流量系數(shù)向量值的示意，表2 為插值精度比較，且所有數(shù)據(jù)均以歸一化處理.

圖3 基于主從式模型的流量系數(shù)向量插值Fig.3 Calculation of flow coefficients vector based on the Master-slave model

從圖3 可以看出：相比傳統(tǒng)模型的估值精度，代表主從式模型估計(jì)值的紅色點(diǎn)更靠近藍(lán)色曲線.

從表2 可以看出：傳統(tǒng)模型在轉(zhuǎn)速為0.3315和0.8478 時(shí)精度較好，而在轉(zhuǎn)速為1.1268 時(shí)，誤差有所增大.導(dǎo)致這種結(jié)果是由于傳統(tǒng)模型在計(jì)算過程中樣本矩陣求逆時(shí)存在奇異值，利用偽逆矩陣代替逆矩陣時(shí)引入的誤差.另外，Kriging 模型計(jì)算時(shí)為了保證高精度，要求樣本點(diǎn)具有代表性，采樣時(shí)應(yīng)盡量反應(yīng)數(shù)據(jù)分布特性，傳統(tǒng)模型的建模難以有效提取數(shù)據(jù)分布特征.而主從式模型將樣本數(shù)據(jù)映射到高維空間，通過高維度樣本插值得到對(duì)應(yīng)目標(biāo)轉(zhuǎn)速下的流量系數(shù)向量值，然后以向量估計(jì)值作為樣本點(diǎn)，構(gòu)造針對(duì)目標(biāo)點(diǎn)的插值模型.這種處理方式淡化了樣本數(shù)據(jù)分布過于集中帶來的影響.

表2 流量系數(shù)精度比較Tab.2 Accuracy comparison of flow coefficients

接下來將15 組數(shù)據(jù)樣本中換算轉(zhuǎn)速取值為0.2182、0.9018、1.0620 對(duì)應(yīng)的流量系數(shù)作為待估計(jì)點(diǎn)，其他樣本作為模型輸入?yún)?shù)，估值結(jié)果如圖4 所示，流量系數(shù)目標(biāo)點(diǎn)估值見表3.

由圖4 和表3 可以看出：在單點(diǎn)插值的情況，主從模型插值精度高于傳統(tǒng)模型.

表3 流量系數(shù)目標(biāo)點(diǎn)估值Tab.3 Estimation of target point of flow coefficients

圖4 基于主從式模型的流量系數(shù)單點(diǎn)插值Fig.4 Flow coefficient calculation of single-points based on the Master-slave model

4 結(jié) 論

為了提高航空燃?xì)廨啓C(jī)數(shù)字模型的建模精度，建立一種基于Kriging 算法的面向壓氣機(jī)流量系數(shù)的主從式插值模型.首先構(gòu)造包含換算轉(zhuǎn)速、增壓比、流量系數(shù)在內(nèi)的多維樣本向量；其次基于Kriging算法建立適用于向量形式的主插值模型；最后利用主插值模型的計(jì)算結(jié)果作為樣本，構(gòu)造目標(biāo)點(diǎn)插值模型.通過仿真表明，該建模方式有效可行，且具有以下特點(diǎn)：

1）針對(duì)多目標(biāo)點(diǎn)（向量插值）或單目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行插值計(jì)算時(shí)具有較高的精度，且精度明顯高于傳統(tǒng)插值模型.

2）可以實(shí)現(xiàn)多維向量插值計(jì)算，計(jì)算效率明顯高于傳統(tǒng)模型.

3）利用換算轉(zhuǎn)速、增壓比、流量系數(shù)構(gòu)造的多維樣本向量具有表征參數(shù)相似性的優(yōu)點(diǎn).