楊紫健，吳文兵,2，陸洪智，劉 浩,2，張云鵬

(1.巖土鉆掘與防護教育部工程研究中心(中國地質大學)，武漢 430074；2.廣西防災減災與工程安全重點實驗室(廣西大學)，南寧 530004)

近年來，國內外學者對楔形樁承載機理[1]進行了深入研究。Kodikara等[2]借助三維數(shù)值模型，考慮楔角、平均樁徑等因素的影響，研究了軟巖中多荷載作用下楔形樁的側摩阻力分布。Lee等[3]通過圓錐貫入試驗，對比分析了楔形樁和等截面圓樁的承載力。張可能等[4]和周航等[5]分別利用室內靜力沉樁試驗、圓孔擴張理論等手段，詳細分析了沉樁深度、楔角等因素對沉樁過程的影響。孔綱強等[6-7]通過透明土模型對比試驗，分別研究豎向荷載和水平荷載下楔形樁樁側土的位移變化及破壞形式，詳細分析了楔形樁的豎向承載特性與水平承載特性。進一步，周航等[8]基于Euler梁模型推導出水平荷載下楔形樁樁身水平位移和彎矩的解析表達式，并通過模型試驗進行了分析和驗證。

相對而言，關于楔形樁動力相互作用的研究仍不完善。蔡燕燕等[9]基于平面應變模型推導了成層地基中楔形樁縱向振動阻抗函數(shù)的解析解。吳文兵等[10-11]分別采用Rayleigh-Love桿模型和剪切復剛度傳遞模型考慮楔形樁的橫向慣性效應及其樁側土擠土效應，研究了楔形樁縱向振動響應規(guī)律。進一步，王奎華等[12-13]推導得到了考慮樁周土豎向波動效應和施工擾動效應時楔形樁樁頂縱向振動阻抗函數(shù)的解析解。隨后，王奎華等[14-15]基于非等截面樁體模型，推導出楔形樁縱向振動響應半解析解，并且詳細分析了缺陷楔形樁的縱向動力響應。綜上可以看出，現(xiàn)有關楔形樁動力特性的研究主要是完善了楔形樁的縱向振動理論。

對于港口碼頭、基坑支護等工程，主要考慮樁體的水平動力特性，此內容也是抗震設計的核心。近年來，逐漸出現(xiàn)關于樁體水平動力特性的研究。欒魯寶等[16]和鄭長杰等[17]分別基于Timoshenko 模型和土體三維波動理論推導了管樁的動力復阻抗解析表達式，詳細分析了管樁的水平振動特性。進一步，欒魯寶等[18]基于Biot動力固結理論研究了豎向荷載下樁體的水平動力響應。因此，對楔形樁而言，其水平承載特性的研究也不能僅從靜力角度，需要考慮頻率相關性和共振現(xiàn)象的樁土動力相互作用，但建立一個與實際工況相符的楔形樁水平振動響應模型比較困難。

綜上，為了完善楔形樁振動理論，系統(tǒng)研究了黏彈性地基中水平簡諧激振力作用下的楔形樁水平振動問題?；赪inkler地基和Timoshenko梁模型，建立了樁土橫向耦合振動模型；嚴格推導得到了樁體的水平位移、彎矩和剪力的解析表達式；基于所得解，分析了樁土設計參數(shù)對楔形樁水平振動特性的影響，并通過與Euler梁模型對比驗證了本文解的合理性。

1 數(shù)學模型

Euler梁模型主要研究僅發(fā)生彎曲變形時的梁水平振動問題，但實際上梁在彎曲時也會發(fā)生剪切變形并且伴隨著轉動慣性的作用，忽略這兩個因素會使結果產(chǎn)生較大誤差。Timoshenko[19]在Euler梁模型上考慮了這兩個因素并建立了與實際情況更接近的模型，大大減小了誤差。進一步，陳镕等[20]對Timoshenko梁模型進行了頻譜分析，發(fā)現(xiàn)轉動慣量對模型最終結果的影響不大。因此，在不考慮轉動慣量的情況下，采用Timoshenko梁模型對楔形樁水平振動問題進行求解與分析。

1.1 計算簡圖

基于Winkler地基模型，本文的樁土橫向耦合振動計算模型如圖1所示。其中，樁側土為均勻地基，樁頂受到水平簡諧激振力F(t)=Q0cosωt，Q0為外載荷幅值，ω為激振頻率，楔角為θ，樁長為L，樁頂直徑為d1，深度為z。

圖1 樁土橫向耦合計算模型

圖1中，樁土系統(tǒng)從樁頂?shù)綐兜讋澐殖蓅個厚度相等的微元段，依次標記為1，2，…，s。圖中hj表示第j段樁到樁頂?shù)木嚯x。當劃分段數(shù)s足夠大時，各微元段變得非常薄，足以將微元段視作等直徑樁。

為便于后面公式的求解，統(tǒng)一規(guī)定坐標軸：對于所有的楔形樁微元段，均取坐標原點于第1微元段頂部的中點，其中Z軸正方向向下。

1.2 基本假設

運用Winkler地基模型模擬楔形樁與樁側土的相互作用。同時，為了便于求解且保證結果的普適性，作以下假設：1)樁側土均勻、各向同性，可視為線性黏彈性連續(xù)介質；2)樁體為自上而下截面逐漸變小的圓形變截面楔形體；3)施加水平簡諧激振力時僅認為樁土發(fā)生橫向位移；4)樁土界面無相對滑動，且不考慮承臺作用；5)同一個微元段水平振動方程中的土體剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)為常數(shù)。

1.3 樁周土模型

kx和cx分別為樁側土的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，并根據(jù)Gazetas等[21]的研究成果取值如下：

(1)

2 楔形樁水平振動方程的建立與求解

2.1 方程的建立

當給樁頂施加水平簡諧激振力時，考慮了楔形樁的剪切變形，故微元段的變形與受力情況如圖2所示，其中φ為樁體橫截面轉角,α為彈性軸的傾角,β為剪切變形角。

圖2 樁體變形與受力

則可得第j微元段的水平振動方程為

(2)

式中：uj(z,t)、φj(z,t)為第j微元段內某質點的水平位移和轉角；Gp、Ep為樁體剪切模量和彈性模量；mpj、Apj、Ipj為第j微元段的質量、橫截面積和轉動慣性矩；k′為剪切形狀系數(shù)，樁體截面為圓形時取0.75。

2.2 方程的求解

從復頻域內求解穩(wěn)態(tài)簡諧振動下的解析解時，采用分離變量法，可直接令

(3)

將式(3)代入式(2)中，可得

(4)

由式(4)可以看出，對于楔形樁的第j微元段，Ipj、mpj和Apj均為常數(shù)。為簡化計算過程，在等式兩邊同時除以eiωt，并且令

(5)

將式(5)代入式(4)中，通過消元可以得到一個四階常微分方程：

(6)

進一步，轉角ψj可以表示為

(7)

對方程(6)求解，可得其通解為

Uj(z)=eαjz(A1jcosβjz+B1jsinβjz)+

e-αjz(C1jcosβjz+D1jsinβjz)

(8)

式中：A1j、B1j、C1j、D1j為待定系數(shù)，可由邊界條件得到。系數(shù)αj和βj的表達式為

(9)

將式(8)代入式(7)中，整理得轉角的表達式為

ψj(z)=eαjz(A2jcosβjz+B2jsinβjz)+

e-αjz(C2jcosβjz+D2jsinβjz)

(10)

式中：A2j、B2j、C2j、D2j為待定系數(shù)。

同理，根據(jù)彎矩M、剪力Q與水平位移U、轉角ψ之間的關系，依次可推得M、Q的解析表達式：

(11)

(12)

式中：A3j、B3j、C3j、D3j、A4j、B4j、C4j、D4j均為待定系數(shù)。

由于式(10)～(12)均由式(8)推導得到，其待定系數(shù)之間滿足一定的等式關系，式(10)～(12)中的待定系數(shù)可以用式(8)中的待定系數(shù)A1j、B1j、C1j、D1j表示(j=1，…，s)：

(13)

(14)

(15)

(16)

式(8)中的待定系數(shù)A1j、B1j、C1j、D1j需通過樁體的邊界條件進行求解，這里考慮樁頂約束轉角、樁底固定的情況，其他的邊界條件可以通過類似的方法進行求解。樁頂和樁底處的邊界條件可分別表達為

(17)

在第j微元段與第j+1微元段的分界面處，楔形樁的水平位移、轉角、彎矩和剪力滿足連續(xù)條件，即

(18)

將式(18)轉化成矩陣關系可得

Τj(hj)Xj=Tj+1(hj)Xj+1

(19)

進一步可得

(20)

其中，各項矩陣的詳細表達如下：

(21)

(22)

利用式(20)進行累乘可以得到矩陣Xs，即

(23)

將樁頂邊界條件代入轉角和剪力表達式中，轉化成矩陣方程組，可以得到式(24)；同理，由樁底邊界條件可以得到式(25)，即

(24)

(25)

將式(23)代入式(25)中，得到有關矩陣X1的兩個方程，再結合式(24)，便可以得到有關矩陣X1的4個方程，經(jīng)過推導和整理后能夠計算出X1，最后通過式(23)可以推導出每個微元段的Xj，于是得到整個楔形樁的水平位移函數(shù)，繼而推導出轉角、彎矩和剪力的表達式，利用分段函數(shù)則可以表示出整個楔形樁的動力響應表達式。

基于上述推導，可得式(8)中系數(shù)A1j、B1j、C1j、D1j的解析表達式：

(26)

其中

(27)

Cj=t6j·(e2αjL-e-2αjL)+t5j·(2sin 2βjL)

(28)

因此，整個楔形樁的水平位移函數(shù)表達式為

u(z,t)|z=z0=uj(z,t)|z=z0,hj≤z0≤hj+1

(29)

3 理論模型的驗證與分析

3.1 樁體單元劃分精度研究

本文求解的關鍵在于將楔形樁劃分為s個厚度相等的薄微元段，然后對每個微元段建立水平振動方程進行求解，因此，樁體單元劃分精度關乎整個模型的精度，首先研究樁體單元劃分精度的問題。

如無特別說明，樁土設計參數(shù)的取值情況參考文獻[22]，如表1所示。

表1 樁土設計參數(shù)取值

為了使結果更客觀，令a0=ω·d1/vs，并且引入無量綱參數(shù)，將水平簡諧激振下荷載為最大值時的樁身位移、彎矩和剪力無量綱化為

(30)

在研究樁體單元劃分精度時，樁頂直徑d1設置為0.6 m，樁長L設置為8 m，劃分段數(shù)s分別設置為10、20、50和100，其余參數(shù)取值如表1所示。圖3反映了樁體單元劃分精度對樁體水平位移的影響，可以看出，劃分段數(shù)s=100時，樁體水平位移曲線已經(jīng)趨于穩(wěn)定。通過試算多種工況下劃分段數(shù)s對樁體水平位移、彎矩和剪力的影響，結果表明：當s>100時，計算結果已經(jīng)穩(wěn)定收斂。因此，如果不作特別說明，本文統(tǒng)一取樁身微元段厚度與楔形樁樁長的比值為1 /100。

圖3 樁體單元劃分精度對樁體水平位移的影響

3.2 模型驗證

為了驗證本文所建立模型的準確性和可靠性，將楔形樁-土系統(tǒng)橫向耦合振動模型與胡安峰等[22]建立的等直徑樁水平振動模型進行對比分析。樁頂直徑d1設置為0.6 m，樁長L設置為8 m，楔角為0°，其余參數(shù)取值如表1所示。兩種模型計算下的樁體水平位移如圖4所示，兩種解基本吻合。通過計算多種工況時兩種模型下的樁體水平位移、彎矩和剪力，兩種解仍然基本吻合，從而驗證了本文計算模型的正確性。

圖4 兩種模型下樁體水平位移對比

4 楔形樁空間響應分析

動力荷載作用下樁身不同深度處的水平位移、彎矩和剪力的最大值會對設計造成比較大的影響，是工程關注的重點內容，本節(jié)將詳細討論水平簡諧激振下荷載為最大值時樁頂約束轉角和樁底固定工況的楔形樁空間響應，其他邊界條件可以通過類似的方法進行研究。

4.1 楔角對楔形樁空間響應的影響

分析楔角對楔形樁空間響應的影響時，保持樁頂直徑不變，楔角θ分別設置為0°、0.8°和1.6°，隨著楔角的增大，樁身直徑沿深度方向逐漸減小，其余參數(shù)取值如表1所示。楔形樁位移包絡圖、彎矩包絡圖和剪力包絡圖如圖5所示，反映了楔角對樁體水平動力特性的影響，圖中橫坐標表示無量綱的水平位移、彎矩和剪力，縱坐標表示土體深度。

圖5 楔角對楔形樁空間響應的影響

由圖5可知，在距離樁頂0.5 m內，楔角的變化對樁身的水平位移、彎矩和剪力的影響很小，基本可以忽略。隨著楔角的增大，樁身水平位移沿深度方向衰減加快，樁身剪力逐漸減??；樁身彎矩除樁中部外，均隨著楔角的增大而減小。這是由于楔角對樁頂部直徑的改變不明顯，樁中部和底部直徑發(fā)生較明顯變化。

綜上，楔角對樁頂部產(chǎn)生的影響很小，對樁中部和底部則會產(chǎn)生較大的影響。

4.2 樁土剛度比對楔形樁空間響應的影響

分析樁土剛度比對楔形樁空間響應的影響時，保持土體彈性模量不變，Ep/Es分別設置為1 000、5 000和10 000，其余參數(shù)取值如表1所示。包絡圖如圖6所示，反映了樁土剛度比對楔形樁水平動力特性的影響。

圖6 樁土剛度比對楔形樁空間響應的影響

由圖6可知，整體上樁身的水平位移、彎矩和剪力都會隨著樁土剛度比的增大而增大。樁底部的水平位移、剪力受樁土剛度比的影響很小；隨著樁土剛度比的減小，樁身水平位移、剪力沿深度方向衰減加快；樁身彎矩除樁中部外，均隨著樁土剛度比的增大而增大。這表明雖然增大了樁土剛度比，由于楔角的存在導致楔形樁樁頂部、樁中部和樁底部空間響應的變化仍然存在差異，并且該差異受樁土剛度比顯著影響。

4.3 無量綱頻率對楔形樁空間響應的影響

在分析無量綱頻率對楔形樁空間響應的影響時，a0分別設置為0.1、0.5和1，其余參數(shù)取值如表1所示。包絡圖如圖7所示，反映了無量綱頻率對楔形樁水平動力特性的影響。

由圖7可以看出，樁頂部、中部的水平位移、剪力隨著無量綱頻率的增大而減??；樁底部的水平位移則基本不變，彎矩隨著無量綱頻率的增大而減小，剪力隨著無量綱頻率的增大而增大。這是由假設樁頂約束轉角、樁底固定導致的。綜上，無量綱頻率對樁體的作用比較復雜，并且會產(chǎn)生明顯的影響。

圖7 無量綱頻率對楔形樁空間響應的影響

5 楔形樁時間響應分析

前文詳細研究了不同參數(shù)影響下的楔形樁水平位移、彎矩和剪力的空間變化規(guī)律，對設計有一定的指導作用。本節(jié)進一步研究樁體各部位的時間變化規(guī)律，探明楔形樁不同部位的時間響應規(guī)律。

進行楔形樁時間響應分析時，在樁頂部、樁中部和樁底部各選取一微元段為代表，以考慮無量綱頻率對楔形樁時間響應的影響為例，其余設計參數(shù)的影響可作類似分析。假設樁長為10倍樁頂直徑，分別取研究深度為z=0、1.5和3 m，歷時多個周期。為了減少誤差，引入無量綱參數(shù)，將樁身水平位移和彎矩無量綱化為

(31)

5.1 樁身水平位移時間響應分析

分析無量綱頻率對樁身的影響時，a0分別設置為0.1、0.5和1，其余樁土設計參數(shù)的取值如表1所示。樁頂部、樁中部和樁底部的樁身水平位移時間響應圖如圖8所示，橫坐標表示時間，縱坐標表示某深度的水平位移無量綱響應值。

由圖8可知，由于無量綱頻率減小，激振頻率ω相應減小，故整個樁體到達最大水平位移所需的時間相應增大。因此，樁頂部和樁中部的水平位移隨著無量綱頻率的增大而減??；而由于假設樁底固定，樁底部的水平位移非常小以至于可以忽略。

圖8 樁身水平位移時間響應分析

綜上，無量綱頻率對樁體的動力性質有比較大的影響，并且影響隨深度逐漸變弱。

5.2 樁身彎矩時間響應分析

同理，圖9反映了不同深度樁身彎矩隨時間的變化響應?？梢钥闯?，無量綱頻率減小即激振頻率ω減小，整個樁體到達最大彎矩所需的時間相應增大。由于假設樁頂約束轉角，樁頂部的彎矩隨著無量綱頻率的增大而減小，樁中部和樁底部的彎矩基本不隨無量綱頻率改變。

圖9 樁身彎矩時間響應分析

6 與Euler梁模型的對比

6.1 Euler梁模型的求解

對于Euler梁模型，樁體分層后第j微元段的水平振動方程為

(32)

仍采用分離變量法在復頻域內求解穩(wěn)態(tài)振動，涉及的邊界條件、連續(xù)條件與Timoshenko梁模型解法相同，其他邊界條件可以通過類似的方法進行研究。

首先，令

uj(z,t)=Uj(z)·eiωt

(33)

利用分離變量法和傳遞矩陣法，最后可以得到第j微元段的振幅函數(shù)如下：

Uj(z)=C1eλzcosλz+C2eλzsinλz+

C3e-λzcosλz+C4e-λzsinλz

(34)

其中所涉及的系數(shù)分別為

(35)

(36)

(37)

C=e2λL-e-2λL+2sin 2λL

(38)

C3=Q2(e2λL+sin 2λL+cos 2λL-2)/C

(39)

C4=Q2(e2λL+sin 2λL-cos 2λL)/C

(40)

C1=C3-Q2,C2=Q2-C4

(41)

(42)

因此，將振幅函數(shù)代入式(33)可以求出第j微元段的水平位移函數(shù)uj(z,t)。

6.2 兩種模型的差異

對于長細構件，使用Timoshenko梁模型(簡稱TB)與Euler梁模型(簡稱EB)的計算結果非常接近，故本節(jié)將詳細討論小長徑比下兩種模型受楔角的影響，其他樁土設計參數(shù)的影響可作類似分析。令樁頂長徑比L/d1為5，楔角θ分別設置為0°、0.8°和1.6°，其余樁土設計參數(shù)取值如表1所示。

圖10反映了楔角對兩種模型下樁體水平動力特性的影響。可以看出，兩種模型下樁體動力響應的變化規(guī)律與第4節(jié)的分析基本一致；彎矩先減小后增大，可能是由小長徑比下樁中部的截面轉角很小導致的；兩種模型下樁體的動力響應存在一定差異，但是楔角對兩種模型造成的影響基本相同。

圖10 兩種模型下楔形樁空間響應對比

7 結 論

采用Winkler地基和Timoshenko梁模型，建立了樁頂水平簡諧激振力作用下楔形樁-土系統(tǒng)的控制方程，并得到了楔形樁水平位移、彎矩和剪力的解析解。基于所得解，詳細分析了樁土設計參數(shù)對楔形樁空間響應和時間響應的影響，得出以下主要結論：

1)樁頂部的動力響應受楔角改變的影響很小，樁中部和樁底部則隨著楔角增大而明顯減小。

2)整個樁體的動力響應基本隨樁土剛度比的增大而明顯增大。

3)隨著無量綱頻率的減小，整個樁體的動力響應到達最大值所需的時間也相應增大；改變無量綱頻率會使樁體各部位的動力響應發(fā)生明顯不同的變化，作用比較復雜，并且影響隨深度逐漸變弱。

4)雖然Timoshenko梁模型與Euler梁模型在小長徑比下存在一定差異，但楔角對兩種模型造成的影響基本相同。