倪佳樂 劉 雷

(南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院 江蘇南京 210000)

齒輪傳動(dòng)是機(jī)械裝置中最為常見的傳動(dòng)形式，其中漸開線齒廓齒輪因其出色的性能而被廣泛運(yùn)用，但同時(shí)該齒輪也有著一定的局限性，因此新型齒輪齒廓一直是齒輪研究的一個(gè)重要方向。劉雷提出了等相對曲率(CRC)齒輪[1]，相較于漸開線齒輪，該新型齒輪具有如下優(yōu)勢：齒面接觸強(qiáng)度有所提升，齒面應(yīng)力分布不均的問題得到改善；齒輪具有較小的滑動(dòng)系數(shù)，可有效減小齒面磨損；齒間最小油膜厚度得到了提高，改善了齒面潤滑效果。LIU等[1]通過對齒面滑動(dòng)系數(shù)以及最小油膜厚度的計(jì)算,從側(cè)面展現(xiàn)了CRC齒輪的磨損性能，但缺少直接且準(zhǔn)確的磨損性能研究結(jié)果。因此本文作者將通過齒面磨損量的計(jì)算，對CRC齒輪的磨損性能展開更直接的理論研究。

齒輪磨損在傳動(dòng)過程中長久存在且不可避免，并且磨損量在累積之后會(huì)對齒輪傳動(dòng)效率、傳動(dòng)精度以及齒輪嚙合剛度造成影響[2]，縮短齒輪的使用壽命，加速輪齒的失效；過度的磨損甚至?xí)?dǎo)致輪齒斷裂從而發(fā)生事故[3]；此外，齒面的磨損亦會(huì)對齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生影響，從而激勵(lì)系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)與噪聲[4]。隨著齒輪向高速、重載、精密、高效與低噪等方向發(fā)展[5]，傳動(dòng)系統(tǒng)對耐磨性的需求急劇增強(qiáng)。因此，對于齒輪磨損性能的研究有著很大的現(xiàn)實(shí)意義。

針對齒輪磨損的研究理論非常豐富，但主要分為以下3種：

(1)基于黏著磨損理論的齒輪磨損計(jì)算。國內(nèi)外對于黏著磨損理論的研究大多基于Archard黏著磨損通式。在該理論的基礎(chǔ)上，ANDERSON和ERIKSSON[6]提出了單點(diǎn)觀測法，將嚙合過程離散為有限個(gè)觀測點(diǎn)，對每個(gè)觀測點(diǎn)都進(jìn)行單獨(dú)的磨損計(jì)算，同時(shí)還推導(dǎo)了滑動(dòng)距離的解析計(jì)算式；FLODIN和ANDERSSON[7]則考慮了單點(diǎn)觀測法中單次嚙合過程的接觸壓力和滑動(dòng)速度的變化；LUNDVALL和KLARBRING[8]在此之上引入有限元法來計(jì)算直齒輪的齒面接觸壓力和滑動(dòng)距離。

(2)基于疲勞磨損理論的齒輪磨損計(jì)算?？死w爾斯基率先提出了疲勞磨損的計(jì)算公式。潘爾順等[9]基于邊界元理論，提出用三次樣條曲線擬合磨損后的齒面，結(jié)合克拉蓋爾斯基的疲勞磨損計(jì)算式，分析直齒輪的疲勞磨損。王淑仁等[10]根據(jù)齒面疲勞磨損與剝層磨損機(jī)制的相似性，建立了閉式齒輪傳動(dòng)的疲勞磨損模型，給出了相關(guān)參數(shù)的計(jì)算方法。

(3)基于能量磨損理論的齒輪磨損計(jì)算。1973年，F(xiàn)LEISHER提出了能量磨損理論[11]，并給出了摩擦功與磨損體積的關(guān)系式。該理論的基本觀點(diǎn)是：摩擦功大部分以熱能的形式散失，但仍有少部分以勢能的形式儲(chǔ)存在摩擦配副材料中；當(dāng)一定體積的材料儲(chǔ)能達(dá)到臨界值時(shí)，則以磨屑或磨粒的形式從基礎(chǔ)表面剝落。章易程等[12]根據(jù)該理論推導(dǎo)了基于摩擦功原理的高副滑動(dòng)磨損計(jì)算式。

CRC齒輪齒型不同于漸開線齒輪，其嚙合線不是直線，這增加了齒輪磨損量計(jì)算的難度。鑒于此，本文作者通過建立CRC齒輪的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)數(shù)學(xué)模型獲得齒廓上各點(diǎn)的坐標(biāo)，精確求解相關(guān)幾何參數(shù)，分別基于克拉蓋爾斯基磨損計(jì)算方法及Archard磨損計(jì)算方法對CRC齒輪的磨損量進(jìn)行了計(jì)算，并與相同參數(shù)的漸開線齒輪的磨損情況作對比分析。

1 CRC齒輪數(shù)學(xué)模型

圖1示出了齒廓嚙合原理，坐標(biāo)系定義如下：S(Oxy)固定坐標(biāo)系原點(diǎn)位于節(jié)點(diǎn)P，轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系S1(O1x1y1)、S2(O2x2y2)分別與主動(dòng)齒輪與從動(dòng)齒輪固結(jié)，原點(diǎn)分別位于齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)中心，移動(dòng)坐標(biāo)系S3(O3x3y3)與產(chǎn)形齒條固結(jié)。由圖1可知，在起始位置Ⅰ處，主動(dòng)輪齒廓Σ1、從動(dòng)輪齒廓Σ2與產(chǎn)形齒條齒廓Σ3嚙合于嚙合線上一點(diǎn)A。若此時(shí)虛擬齒條向左移動(dòng)距離L，則Σ1將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度φ1與Σ3嚙合于點(diǎn)b。因此，主動(dòng)齒廓在起始位置的對應(yīng)點(diǎn)B1可通過將嚙合點(diǎn)b繞原點(diǎn)O1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度φ1得到，主動(dòng)輪齒廓點(diǎn)B1在S1系中的坐標(biāo)如下：

圖1 基于嚙合線的齒廓設(shè)計(jì)Fig 1 Design of tooth profiles based on path of contact

(1)

式中：r表示原點(diǎn)O到點(diǎn)b的距離；α表示原點(diǎn)O與點(diǎn)b的連線與x軸正方向的夾角；r1表示主動(dòng)輪的節(jié)圓半徑。

同理，可得從動(dòng)齒廓點(diǎn)B2在S2系中的坐標(biāo)為

(2)

式中：r2表示從動(dòng)輪的節(jié)圓半徑。

CRC齒輪的設(shè)計(jì)核心在于控制齒輪嚙合過程中的相對曲率保持不變，且該曲率為相同設(shè)計(jì)參數(shù)下漸開線齒輪嚙合過程中相對曲率的最小值Kr，min。由微分幾何得齒輪1齒廓的曲率：

(3)

式中:x′1、x″1、y′1、y″1為x1、y1對α的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。

(4)

(5)

其中

(6)

(7)

(8)

將式(4)—(8)代入式(3)可以得到

(9)

同理，可得齒輪2齒廓的曲率：

(10)

當(dāng)齒輪嚙合位置處于第一或第二象限時(shí)，嚙合點(diǎn)的共軛齒廓相對曲率[1]可以表示為

Kr=k1-k2=

Kr,min

(11)

令t=sinα可得：

(12)

(13)

對式(13)求數(shù)值解,可求得關(guān)于t的多項(xiàng)式表達(dá)如下：

t=sinα=anrn+an-1rn-1+…+a1r+a0

(14)

式中：an,an-1,…,a0為多項(xiàng)式系數(shù)。

同理可得，當(dāng)齒輪嚙合位置處于第三或第四象限時(shí)，微分方程則表示為

(15)

此時(shí)t的解可以表示為

t=sinα=bnrn+bn-1rn-1+…+b1r+b0

(16)

式中：bn,bn-1,…,b0為多項(xiàng)式系數(shù)。

當(dāng)嚙合線位于第Ι、Ш象限時(shí)，在一個(gè)嚙合周期內(nèi)起始嚙合點(diǎn)、終止嚙合點(diǎn)由以下方程確定：

(17)

(18)

式中：rⅠ、rⅡ分別表示起始嚙合點(diǎn)、終止嚙合點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)o的距離。

將式(14)(16)代入上式(17)(18)即可求解得到rⅠ、rⅡ的數(shù)值解。

由平面齒廓嚙合定律可知，

(19)

故在嚙合過程中不同嚙合位置上的旋轉(zhuǎn)角度的值可表示為

(20)

至此，就得到了CRC齒輪的主動(dòng)輪齒廓Σ1、從動(dòng)輪齒廓Σ2與產(chǎn)形齒條齒廓Σ3的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2 磨損計(jì)算模型

2.1 基于克拉蓋爾斯基磨損公式的計(jì)算方法

基于克拉蓋爾斯基提出的疲勞磨損計(jì)算式[13]，齒輪疲勞磨損計(jì)算模型如圖2所示。

圖2 疲勞磨損計(jì)算模型Fig 2 Fatigue wear calculation model

在某一嚙合時(shí)刻，主動(dòng)輪上點(diǎn)a1開始進(jìn)入嚙合，此時(shí)與從動(dòng)輪上點(diǎn)b1重合接觸。經(jīng)過一定的時(shí)間之后，主動(dòng)輪上的點(diǎn)a1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)a′1,且即將退出嚙合，而此時(shí)從動(dòng)輪上的點(diǎn)b1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)b′1。在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)a1的移動(dòng)距離記為Sa1，點(diǎn)b1的移動(dòng)距離記為Sb1，如圖2可知，此時(shí)滑動(dòng)距離S可以表示為

S=|Sa1-Sb1|

(21)

根據(jù)滑動(dòng)系數(shù)的定義，可以得到主動(dòng)輪的滑動(dòng)系數(shù)λ為

(22)

同時(shí)，主動(dòng)輪上點(diǎn)a1的移動(dòng)距離可以表示為Hertz接觸半寬aH的2倍，即

Sa1=2aH

(23)

因此在一次嚙合過程中接觸區(qū)內(nèi)單點(diǎn)的滑動(dòng)距離S可以表示為

S=2aHλ

(24)

傳動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)周期內(nèi)總的滑動(dòng)距離為

L=Sntεα

(25)

式中：n為轉(zhuǎn)速；t為運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間；εα為重合度。

磨損深度為

h=Ih·L

(26)

疲勞磨損深度表達(dá)式為

h=2IhaHλntεαWMWLWP

(27)

式中：Ih為磨損率；WM、WL與WP分別為齒面改性系數(shù)、潤滑系數(shù)和載荷系數(shù)，但文中不做考慮，其值均取為1。

2.2 基于Archard通式的磨損計(jì)算公式

廣義的Archard磨損計(jì)算通式[14]可以表達(dá)為

(28)

式中：V為磨損體積；S為滑動(dòng)距離；W為法向載荷；H為觀測表面的材料硬度；K為無量綱磨損系數(shù)。

式(28)經(jīng)過變換，可得摩擦副表面任意一點(diǎn)P處的磨損深度

(29)

式中：k為有量綱的磨損系數(shù)；p為計(jì)算點(diǎn)處的接觸壓力。

ANDERSON和ERIKSSON[6]將式(29)運(yùn)用到了直齒輪的磨損計(jì)算中，并提出了單點(diǎn)觀測法。即把嚙合齒面離散成有限個(gè)觀測點(diǎn)，通過單獨(dú)計(jì)算每個(gè)觀察點(diǎn)的磨損深度來表征黏著點(diǎn)齒面的磨損分布。該方法假設(shè)觀測點(diǎn)在單次嚙合過程中接觸壓力保持不變且滑動(dòng)距離為定值，故觀測點(diǎn)P處的磨損深度可表示為

hP,n=hP,(n-1)+kpP,nSP

(30)

式中：hP,n和hP,(n-1)分別表示第n次和第n-1次嚙合后點(diǎn)P處的磨損深度；pP,n為第n次嚙合時(shí)點(diǎn)P的接觸壓力；SP為點(diǎn)P單次嚙合的滑動(dòng)距離。

ANDERSON在其博士論文中將嚙合輪齒等效為半徑連續(xù)變化的一對圓柱體接觸，推導(dǎo)出了滑動(dòng)距離SP的解析式[15]

(31)

式中：SP1和SP2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪在接觸點(diǎn)處的滑動(dòng)距離;vP1和vP2分別為兩齒輪在接觸點(diǎn)處的切向速度;aH為Hertz接觸半寬。

嚙合接觸點(diǎn)i表面壓力可以根據(jù)Winkler接觸模型確定[16]

(32)

其中

(33)

(34)

(35)

式中：R為嚙合處的相對半徑；E*為等效彈性模量；aH為Hertz接觸半寬；E1、E2、μ1、μ2分別為主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的彈性模量和泊松比；Kr為嚙合處的相對曲率半徑，文中設(shè)為常量。

3 算例

表1列出了文中齒輪對磨損計(jì)算參數(shù)，并且分別使用基于克拉蓋爾斯基的疲勞磨損理論公式(以下簡稱方法一)及基于Archard磨損通式的黏著磨損理論公式(以下簡稱方法二)在MATLAB中進(jìn)行計(jì)算。為了保證2種方法結(jié)果對比的可信度，在運(yùn)算中需要保證單個(gè)齒面接觸次數(shù)保持一致。所以文中計(jì)算時(shí)，將基于克拉蓋爾斯基磨損公式中的運(yùn)行時(shí)間t設(shè)定為600 min，同時(shí)將基于Archard磨損通式的計(jì)算式中磨損次數(shù)設(shè)為576 000次，即運(yùn)行時(shí)間t乘上小齒輪轉(zhuǎn)速n1的值。

表1 齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)Table 1 Gear design parameters

根據(jù)第1節(jié)的CRC齒輪齒廓計(jì)算方法，在MATLAB中使用表1中的參數(shù)進(jìn)行計(jì)算后，可以得到如圖3所示的在節(jié)點(diǎn)處嚙合的CRC齒輪齒廓，圖中左側(cè)為小齒輪齒廓，右側(cè)為大齒輪齒廓。

圖3 節(jié)點(diǎn)處嚙合的CRC齒輪齒廓Fig 3 The tooth profile of the CRC gear meshed at the node

在得到CRC齒輪齒廓之后，采用將單個(gè)輪齒簡化為非均勻懸臂梁的剛度計(jì)算模型，并使用能量法對單個(gè)輪齒的剛度進(jìn)行計(jì)算。在分別求得主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的單齒剛度之后，就可以計(jì)算得到單對齒嚙合剛度以及齒輪綜合剛度。綜合剛度如圖4所示。圖中橫坐標(biāo)代表從節(jié)點(diǎn)處到嚙合點(diǎn)的主動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)角度，正負(fù)代表不同的旋轉(zhuǎn)方向，嚙合順序?yàn)閺臋M坐標(biāo)的負(fù)值開始向正值方向嚙合，即最左端為嚙合起始點(diǎn)，最右端為嚙合終止點(diǎn)。圖中的突變是由單雙齒嚙合轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的，兩側(cè)為雙齒嚙合區(qū)齒輪綜合剛度，中間為單齒嚙合區(qū)齒輪綜合剛度。

圖4 CRC齒輪綜合剛度Fig 4 Comprehensive stiffness of CRC gear

在得到單對齒嚙合剛度的基礎(chǔ)上，根據(jù)齒間載荷分配計(jì)算方法可以獲得CRC齒輪輪齒在單次嚙合中的齒間載荷分配率，如圖5所示。

圖5 CRC齒輪載荷分配率Fig 5 CRC gear load distribution rate

圖6分別展示了CRC齒輪與漸開線齒輪的主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的滑動(dòng)系數(shù)。可以發(fā)現(xiàn)，CRC齒輪整體的滑動(dòng)系數(shù)均小于漸開線齒輪，相應(yīng)的滑動(dòng)距離也就更短?；瑒?dòng)距離是計(jì)算磨損深度的重要參數(shù)，因此僅從滑動(dòng)系數(shù)就可以初步發(fā)現(xiàn)CRC齒輪磨損性能較漸開線齒輪更優(yōu)秀。

圖6 CRC齒輪與漸開線齒輪滑動(dòng)系數(shù)Fig 6 Sliding coefficients of CRC gear and involute gear

圖7示出了使用方法一計(jì)算得到的經(jīng)過600 min的磨損之后，主動(dòng)輪和從動(dòng)輪齒廓上的磨損深度曲線。圖中從左往右為齒輪嚙合順序，即圖中最左端為主動(dòng)輪齒根處及從動(dòng)輪齒頂處，最右端則為主動(dòng)輪齒頂處及從動(dòng)輪齒根處。主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的磨損量均在齒根處達(dá)到最大，而齒頂處相對較小，且在單雙齒變換處發(fā)生突變。

圖7 CRC齒輪基于方法一的磨損曲線Fig 7 Wear curves of CRC gear based on method 1

圖8與圖9所示分別為使用方法二得到的在經(jīng)過576 000次磨損之后，主動(dòng)輪和從動(dòng)輪齒廓上的磨損深度曲線。圖8顯示了主動(dòng)輪齒面從0開始每經(jīng)過3 600次嚙合之后的磨損深度變化曲線，即每兩條磨損曲線之間嚙合次數(shù)相差3 600次，且從上到下嚙合次數(shù)逐漸增加。而圖9則是從動(dòng)輪磨損曲線，每條磨損曲線之間的嚙合間隔為1 500次。

圖8 CRC齒輪主動(dòng)輪基于方法二的磨損曲線Fig 8 Wear curves of CRC gear driving wheel based on method 2

圖9 CRC齒輪從動(dòng)輪基于方法二的磨損曲線Fig 9 Wear curves of CRC gear driven wheel based on method 2

對2種方法的結(jié)果進(jìn)行簡單的比較，可以發(fā)現(xiàn)它們具有相同的變化趨勢且最大磨損深度值相當(dāng)接近，因此可以認(rèn)為方法一及方法二得到的結(jié)果具有一定研究價(jià)值。同時(shí)，觀察方法一與方法二的磨損曲線圖，可發(fā)現(xiàn)無論是主動(dòng)輪還是從動(dòng)輪，最大磨損都發(fā)生在齒根處，節(jié)點(diǎn)處的磨損最小，且主動(dòng)輪的磨損要大于從動(dòng)輪的磨損。因?yàn)榭紤]了齒間載荷分配率的影響，磨損曲線上在單雙齒變化處產(chǎn)生了突變。這一系列特點(diǎn)都與漸開線齒輪保持了一致性。

圖10所示為相同設(shè)計(jì)參數(shù)下的漸開線齒輪使用方法一計(jì)算得到的磨損變化曲線，這與文獻(xiàn)[17]得到的結(jié)果相一致，驗(yàn)證了文中計(jì)算結(jié)果。從圖10中可以很清楚地看到，漸開線齒輪主動(dòng)輪的最大磨損值達(dá)到了0.19 mm，遠(yuǎn)大于CRC齒輪的主動(dòng)輪的最大磨損值0.1 mm(如圖7所示)。而在齒頂處CRC齒輪的磨損量與漸開線齒輪的磨損量是較為一致的，都是在0.06 mm左右，這一點(diǎn)與圖11中CRC齒輪與漸開線齒輪的相對曲率曲線趨勢保持一致。相較于主動(dòng)輪，從動(dòng)輪的磨損量相差不大，且在齒頂處磨損量差值達(dá)到最大。據(jù)此可以發(fā)現(xiàn)，相對曲率對齒輪磨損有著相當(dāng)大影響，相同嚙合位置處相對曲率越大磨損會(huì)越嚴(yán)重。而CRC齒輪由于在嚙合過程中保持相對曲率不變，且該相對曲率為相同參數(shù)下漸開線齒輪嚙合過程中相對曲率的最小值，因此CRC齒輪的整體磨損量較漸開線齒輪要小很多，且磨損量相差的最大值在漸開線齒輪相對曲率最大處取得，即主動(dòng)輪齒根處及從動(dòng)輪齒頂處。

圖10 漸開線齒輪基于方法一的磨損曲線Fig 10 Wear curves of involute gear based on method 1

圖11 CRC齒輪與漸開線齒輪的相對曲率Fig 11 Relative curvature of CRC gear and involute gear

4 結(jié)論

(1)CRC齒輪齒面磨損曲線變化趨勢與漸開線齒輪一致，表現(xiàn)為齒根處磨損大于齒頂處，主動(dòng)輪磨損大于從動(dòng)輪，且節(jié)點(diǎn)處磨損值最小。

(2)CRC齒輪磨損量較漸開線齒輪要小很多，特別是主動(dòng)輪齒根處及從動(dòng)輪齒頂處，表明CRC齒輪的磨損性能較漸開線齒輪有著較大的提升。

(3)相對曲率對齒輪磨損有著相當(dāng)大影響，相同嚙合位置處相對曲率越大磨損會(huì)越嚴(yán)重。與漸開線齒輪相比，CRC齒輪由于保持了相對曲率不變且為一較小值，因此整個(gè)齒面上的磨損量變化更小。