一維受迫諧振子的幾何相位

孫玉明

(煙臺(tái)大學(xué)物理系，山東 煙臺(tái) 264005 )

受迫諧振子是一類(lèi)可以解析求解的含時(shí)問(wèn)題，求解方法大致上分為不變算符法[1-3]、幺正變換法[4]、李代數(shù)法[5]和格林函數(shù)法[6].根據(jù)系統(tǒng)特點(diǎn)選擇合適的方法,一般可以得到系統(tǒng)的量子態(tài). 因?yàn)楣茴D量含時(shí),系統(tǒng)能量不守恒,量子態(tài)在希爾伯特空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡更加復(fù)雜，路徑的特點(diǎn)體現(xiàn)在量子態(tài)的幾何相位中. 不少文獻(xiàn)已經(jīng)對(duì)含時(shí)諧振子的幾何相位進(jìn)行了討論[6-8],不過(guò)對(duì)絕熱近似下的Berry相位研究的多一些,對(duì)非絕熱或非循環(huán)的情況涉及不多. 在以不變算符法和格林函數(shù)法為基礎(chǔ)的研究中,則需要求解輔助微分方程或者參數(shù)微分方程，它們的求解往往很困難.本文結(jié)合幺正變換法和李代數(shù)法給出了1維受迫諧振子的1種簡(jiǎn)潔求解方法,而且討論了量子態(tài)循環(huán)和非循環(huán)演化時(shí)的幾何相位.

1 受迫諧振子的量子態(tài)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

也構(gòu)成1個(gè)李代數(shù)[9],對(duì)易關(guān)系是

[Mη,Mr]=Mr, [Mη,Ml]=-Ml,

[Ml,Mr]=Mδ, [Mη,Mδ]=0

(6)

-iηMη和-i(rMr+lMl+δMδ)分別是該空間中的矢量,它們?cè)诶钊褐械脑厥侵笖?shù)矩陣e-iηMη和e-i(rMr+lMl+δMδ).

(7)

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哈密頓算符式(2)的矩陣形式是

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(10)

(11)

根據(jù)表4可以得知，中國(guó)綠色經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)數(shù)值隨著總產(chǎn)出的增加而增加。而在近10年的產(chǎn)出中，虛值比例是逐年下降的，與10年前的虛值比1.32%相比，近三年的虛值比均未超過(guò)0.7%。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是：雖然10年以來(lái)產(chǎn)出和煤炭消費(fèi)都呈現(xiàn)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，但是煤炭消費(fèi)增長(zhǎng)速度小于產(chǎn)出的增長(zhǎng)速度，所以在此基礎(chǔ)上計(jì)算出來(lái)的產(chǎn)出的虛值比在緩慢下降。同時(shí)，在某種程度上也表明了中國(guó)近年來(lái)所采取的向綠色、環(huán)保、低碳方向發(fā)展的政策起到了一定的作用，為了創(chuàng)造生產(chǎn)總值而付出的環(huán)境成本在不斷降低。

(12)

(13)

(14)

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(16)

只要再次應(yīng)用李代數(shù)的特點(diǎn)，由式(8)與式(16)的矩陣表示相等,可得等式:

(17)

由此我們得到

(18)

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假設(shè)系統(tǒng)的初始態(tài)是真空態(tài)|ψ(0)〉=|0〉:

e-iδ|z(t)〉

(20)

其中第3行應(yīng)用了l和r互為復(fù)共軛的關(guān)系.第4行應(yīng)用了指數(shù)算符分解形式:

(21)

式(20)的最后結(jié)果是一個(gè)相干態(tài)[10],z(t)=-il*e-iωt.

2 幾何相位

在量子力學(xué)中|ψ〉和eiλ|ψ〉,只是相位不同.將一個(gè)量子系統(tǒng)[11]中只存在相位差別的態(tài)用希爾伯特空間中一條直線(xiàn)表示(如圖1中的直線(xiàn)),用微分幾何的語(yǔ)言,把它叫做纖維或者射線(xiàn).量子系統(tǒng)從初態(tài)|ψ(0)〉開(kāi)始依照薛定諤方程隨時(shí)間演化,如果經(jīng)過(guò)時(shí)間T后,量子態(tài)|ψ(T)〉與|ψ(0)〉處于同一條射線(xiàn)上,但相位不同,在希爾伯特空間中的軌跡是一條非閉合的曲線(xiàn)(如圖1中上部的實(shí)線(xiàn)所示),那么稱(chēng)之為循環(huán)演化.如果起點(diǎn)和終點(diǎn)量子態(tài)在同一條射線(xiàn)上,而且相位相同,那么軌跡是一條閉合曲線(xiàn)(如圖1中虛線(xiàn)所示),稱(chēng)之為周期性演化.假設(shè)一個(gè)量子系統(tǒng)量子態(tài)遵循薛定諤方程的演化軌跡是圖1中的實(shí)線(xiàn)|ψ(t)〉,它在相空間P(H)中的投影是閉合曲線(xiàn)C.投影到C上的曲線(xiàn)有無(wú)窮條.希爾伯特空間中2條曲線(xiàn)在相空間中的投影相同,那么它們之間存在規(guī)范變換.假設(shè)圖1中曲線(xiàn)|ψ(t)〉和|φ(t)〉在相空間P(H)中投影都是閉合曲線(xiàn)C,即量子態(tài)循環(huán)演化,它們之間規(guī)范變換關(guān)系是:|ψ(t)〉=eif(t)|φ(t)〉,f(0)=f(T).若將|ψ(t)〉代入薛定諤方程中,得到

圖1 量子態(tài)演化路徑規(guī)范變換示意圖

(22)

(23)

就受迫諧振子(1)而言,如果采用不變算符法,不變算符是系統(tǒng)對(duì)易物理量中的一個(gè),所以哈密頓算符的本征態(tài)可以由不變算符本征態(tài)|Ik(t)〉的規(guī)范變換得到[13],即|φk(t)〉=eiαk(t)|Ik〉.將它代入薛定諤方程,得到的因子:

(24)

根據(jù)前面關(guān)于幾何相位的論述,如果|Ik(t)〉周期性演化,即在希爾伯特空間中的軌跡是閉合曲線(xiàn),那么式(24)右邊第一項(xiàng)代表幾何相位,第二項(xiàng)是動(dòng)力學(xué)相位.如果僅僅是循環(huán)演化,就不能這么簡(jiǎn)單地認(rèn)定.因?yàn)閷?duì)量子態(tài)|Ik(t)〉規(guī)范變換的目的是定義明確的相位αk.如同式(20)中的相位因子δ(t),反映了系統(tǒng)實(shí)際演化的一部分.在此基礎(chǔ)上再次進(jìn)行規(guī)范變換,得到一條閉合路徑,才能定義式(23)中那樣的幾何相位.

幾何相位是由量子態(tài)的演化路徑?jīng)Q定的,循環(huán)演化中存在幾何相位,一般意義上的非循環(huán)演化,即初態(tài)和末態(tài)不在同一條射線(xiàn)上,也會(huì)有幾何相位.雖然不能把這種情況的幾何相位定義為式(23)右邊第一項(xiàng)的形式,不過(guò)可以從中找到相應(yīng)的計(jì)算方法.既然其中幾何相位具有規(guī)范不變性,那么末態(tài)和初態(tài)的相位差與動(dòng)力學(xué)相位的差也是規(guī)范不變的.非循環(huán)演化情況下,可以定義一個(gè)類(lèi)似的規(guī)范不變量.作規(guī)范變換|ψ(t)〉→|ψ′(t)〉=eig(t)|ψ(t)〉,那么有

(25)

arg〈ψ′(t0)|ψ′(t)〉=

arg〈ψ(t)|ψ(t0)〉+[g(t)-g(t0)]

(26)

而動(dòng)力學(xué)相位是

(27)

由式(26)和式(27)可知

(28)

是一個(gè)規(guī)范不變量,因而可以用來(lái)計(jì)算非循環(huán)演化時(shí)的幾何相位.可見(jiàn)與式(23)是相通的.

現(xiàn)在我們開(kāi)始具體計(jì)算受迫諧振子的幾何相位.假設(shè)外力是周期性的,f(t)=sinω0t,式(20)中的相干態(tài)參數(shù)

(29)

當(dāng)諧振子的振動(dòng)頻率與外力的頻率之比是有理數(shù)時(shí),|ψ(t)〉循環(huán)演化.從式(23)知道相應(yīng)的幾何相位是

(30)

(31)