等角旋轉(zhuǎn)法“應(yīng)力泡”繪圖與分析方法研究

關(guān)成堯 趙國(guó)春 劉曉燕 鄭承志 白相東 姜紀(jì)沂 袁四化

摘 要：針對(duì)城市地質(zhì)中“天際線”地質(zhì)規(guī)劃工作需要，在地層均質(zhì)彈性假設(shè)條件下，對(duì)地表帶狀載荷的建筑或者工程構(gòu)建等角旋轉(zhuǎn)法“應(yīng)力泡”繪制方法進(jìn)行討論，并在此基礎(chǔ)上繪制最大主應(yīng)力的方向和大小，實(shí)現(xiàn)對(duì)地下空間建筑應(yīng)力場(chǎng)的刻畫(huà)，從幾何學(xué)上實(shí)現(xiàn)建筑應(yīng)力場(chǎng)和地下空間的沉積地質(zhì)模型對(duì)接，從而為地質(zhì)規(guī)劃提供幾何學(xué)分析依據(jù)。

關(guān)鍵詞： 城市“天際線”;“應(yīng)力泡”;建筑載荷應(yīng)力場(chǎng);地質(zhì)規(guī)劃

Abstract：Aiming at urban skyline geological planning with inhomogeneous elastic hypothesis conditions， this paper builds a equal-angle-rotating method to draw stress bubbles that applies to the surface building or engineering of strip-shape load. On the basis of this， the direction and size of the maximum principal stress is drawn and also the building load stress field of underground space. Correlation between the structure stress fields and the deposit geological model of the underground space is realized geometrically， thus providing the geometry analysis basis for geological planning.

Keywords： city “skyline”; pressure （stress） bubble; building load stress field; geological planning

2008年“5·12”汶川地震慘痛的教訓(xùn)告訴我們，城鄉(xiāng)地質(zhì)規(guī)劃是一項(xiàng)非常重要的工作， 可為城鄉(xiāng)規(guī)劃與布局、選址、規(guī)劃用地評(píng)價(jià)等提供必要的基礎(chǔ)資料，是城鄉(xiāng)規(guī)劃的基礎(chǔ)（官善友等，2008）。近些年城市地質(zhì)迅速發(fā)展，主要表現(xiàn)在地球物理探測(cè)技術(shù)（羅波，2020）、遙感探測(cè)及InSAR技術(shù)（武宇等，2020）、地質(zhì)建模技術(shù)（周圓心等，2019）等方面的發(fā)展。地質(zhì)安全評(píng)價(jià)是非常重要的關(guān)注點(diǎn)（董英等，2020），城市地質(zhì)規(guī)劃中經(jīng)常會(huì)涉及“天際線”問(wèn)題，即城市土壤沉積物經(jīng)過(guò)調(diào)查后，確定其物性指標(biāo)（彭克群等，2020;王國(guó)晨等，2019），再依據(jù)物理特性確定可用于城市建筑的最高載荷（樓層）的方法，其中，城市地質(zhì)工作中，“壓力泡”是一個(gè)重要的概念（萊格特，1985）。由于目前平原區(qū)沉積物的調(diào)查與研究主要由地質(zhì)領(lǐng)域人員完成，基礎(chǔ)地質(zhì)領(lǐng)域人才對(duì)沉積學(xué)及其研究方法比較熟悉，無(wú)疑是解決城市沉積層序（或者沉積朵頁(yè)）問(wèn)題的有利人群。為了避免基礎(chǔ)地質(zhì)人才在應(yīng)用數(shù)理計(jì)算方面的困難，關(guān)成堯等（2021）提出了中心應(yīng)力法（圓形載荷）應(yīng)力泡和建筑（載荷）應(yīng)力場(chǎng)的刻畫(huà)方法，為了更好地和構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)建立聯(lián)系，“壓力泡”的概念也演化為“應(yīng)力泡”的概念，但對(duì)于“天際線”地質(zhì)規(guī)劃問(wèn)題，其實(shí)用性還有待進(jìn)一步發(fā)展;建筑應(yīng)力場(chǎng)的概念是對(duì)傳統(tǒng)大尺度構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)的一種補(bǔ)充，文中所論述的兩種場(chǎng)（等值線場(chǎng)和應(yīng)力跡線場(chǎng)）的表達(dá)方法對(duì)于未來(lái)構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)的發(fā)展提供了方向。本文著重討論針對(duì)長(zhǎng)度明顯大于寬度數(shù)倍以上的長(zhǎng)條形載荷（或帶狀載荷）建筑或者工程的“應(yīng)力泡”繪制及其建筑應(yīng)力場(chǎng)的基本分析方法。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 理論前提

太沙基（1960）的《理論土力學(xué)》提供了深部任意點(diǎn)位置N在長(zhǎng)條載荷或者帶狀載荷（寬度為2B）作用下（圖1）最大主應(yīng)力σ1和相關(guān)角度之間的關(guān)系，事實(shí)上是一種簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題的方法，該類論述也可見(jiàn)于耶格（1982）的著作。

圖1存在式（1）的不變關(guān)系：

式中，角度φ0 的單位是弧度，σ1為最大主應(yīng)力。從式（1）中可見(jiàn)，σ1單一地由φ0來(lái)決定，這就產(chǎn)生了本文繪圖方法的基礎(chǔ)：σ1和φ0之間的單一對(duì)應(yīng)性關(guān)系。

1.2 理論計(jì)算

根據(jù)式（1）及圖1中的σ1和φ0之間的單一對(duì)應(yīng)性關(guān)系，定義一個(gè)參數(shù)為應(yīng)力系數(shù)J，如式（2）：

應(yīng)力系數(shù)是地下任意深度未知的σ1和地表建筑的單位載荷q之間的關(guān)系，根據(jù)（2）式計(jì)算幾個(gè)關(guān)鍵應(yīng)力系數(shù)（城市地質(zhì)、工程地質(zhì)領(lǐng)域容易用到的應(yīng)力系數(shù)）所對(duì)應(yīng)的角度φ0如表1所示。

表1中的角度φ0的單位為度，表1中的角度φ0就是建筑寬度（圖1中A-B或長(zhǎng)度2B）和計(jì)算點(diǎn)之間的連線夾角，如此就建立了后文各個(gè)數(shù)值的σ1和角度φ0之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這些應(yīng)力系數(shù)恰恰是“應(yīng)力泡”繪制所用的應(yīng)力系數(shù)，表1中存在0.1等差取值和折半取值（表1中的紅色字體）兩套數(shù)據(jù)。

2 應(yīng)力泡繪圖方法

（1）等角旋轉(zhuǎn)法的內(nèi)涵

等角旋轉(zhuǎn)法依據(jù)σ1和角度φ0之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在A和B兩點(diǎn)限制的條件下，繪制通過(guò)A和B兩點(diǎn)的（任意目標(biāo)角度φ0）的連續(xù)圓曲面。具體需要先制作一種目標(biāo)角度φ0為尖角的硬紙板，通過(guò)目標(biāo)角度硬紙板的旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)“應(yīng)力泡”曲面的繪制，由于這個(gè)圓曲面是在等角φ0的前提下畫(huà)出的，并且是硬紙板旋轉(zhuǎn)的方法，本文稱其為等角旋轉(zhuǎn)繪圖法。后文以半寬度B=20 m（載荷在地面投影的長(zhǎng)邊為無(wú)限大）的建筑載荷為例來(lái)闡述這個(gè)繪圖過(guò)程。

（2）繪圖前的準(zhǔn)備

在繪圖前需要制作目標(biāo)角度硬紙板，或者目標(biāo)角度系列的硬紙板即可，具體過(guò)程如下：

a）制作系列角度硬紙板

根據(jù)需要選擇表1中的應(yīng)力系數(shù)，如有讀者喜歡用0.5、0.25、0.125這種折半取值，也可以用0.9、0.8、0.7、0.6、0.5、0.4、0.3、0.2、0.1這個(gè)0.1等差取值系列（事實(shí)上這個(gè)系列在真實(shí)的地質(zhì)體的評(píng)價(jià)實(shí)踐中更加精細(xì)）。但為了表達(dá)問(wèn)題的方便簡(jiǎn)潔，以及圖形的簡(jiǎn)潔，本文選用0.5、0.25、0.125這折半取值系列以及0.8這個(gè)應(yīng)力系數(shù)進(jìn)行舉例。

b）坐標(biāo)和比例尺的選用及繪制

在一般的城市地質(zhì)繪圖中，可以根據(jù)坐標(biāo)紙的尺度選擇比例尺，也可以用已有地質(zhì)剖面圖的比例尺來(lái)畫(huà)圖（推薦），也可以用透明紙繪制后用以和剖面圖進(jìn)行比對(duì)和拓印。

（3）應(yīng)力泡繪圖方法

具體的繪圖步驟如下：

a）長(zhǎng)帶形建筑體的寬度為2B（A-B兩點(diǎn)之間距離），根據(jù)繪圖紙選用合適的比例尺，然后按照比例繪制縱橫坐標(biāo)，用表1中固定角度φ0的紙板在A-B約束的2個(gè)點(diǎn)內(nèi)（紙板始終緊貼著AB兩點(diǎn)）轉(zhuǎn)動(dòng)紙板繪制圓曲線（繪圖筆在φ0尖角的頂端），這個(gè)圓曲線就是本文所要繪制的應(yīng)力泡，相同的方法繪制各個(gè)需要角度的“應(yīng)力泡”圓曲線系列，“應(yīng)力泡”圓曲線系列均通過(guò)A、B兩點(diǎn)，分別與縱坐標(biāo)軸的下交點(diǎn)為C1、C2、C3、C4，上交點(diǎn)為D1、D2、D3、D4，如圖2所示。

b）分別標(biāo)注目標(biāo)圓曲線系列的應(yīng)力系數(shù)系列（如4/5、1/2、1/4、1/8）于對(duì)應(yīng)的“應(yīng)力泡”之上。事實(shí)上，只要制作了目標(biāo)系列角度的硬紙板，直接應(yīng)用目標(biāo)硬紙板在圖2的縱坐標(biāo)軸上標(biāo)注C1、C2、C3、C4點(diǎn)，然后連接Ci和A、B 3點(diǎn)畫(huà)第i個(gè)圓，也可以在沒(méi)有制作硬紙板的條件下應(yīng)用量角器實(shí)現(xiàn)“應(yīng)力泡”系列的刻畫(huà)，就實(shí)現(xiàn)了關(guān)成堯等（2021）提出的作圖法一樣簡(jiǎn)便的近似方法。

3 建筑應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)力網(wǎng)格繪圖方法

建筑載荷的附加應(yīng)力場(chǎng)有些特殊性，一種是以等應(yīng)力線繪制的應(yīng)力場(chǎng)，表達(dá)的是σ1的數(shù)值相等線，另一個(gè)是用σ1和σ3的方向表達(dá)的應(yīng)力跡線。等應(yīng)力線更有利于計(jì)算具體局部的受力問(wèn)題和塑性變形的驅(qū)動(dòng)力，而應(yīng)力跡線以及在此基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化繪制的滑移線場(chǎng)更能體現(xiàn)潛在的破裂面的產(chǎn)狀變化趨勢(shì)（關(guān)成堯等，2018），這些潛在的破裂面可以是節(jié)理、微破裂、土壤中或沉積體中的微滑移帶以及斜坡體啟動(dòng)的滑移帶等。所謂建筑應(yīng)力場(chǎng)包含應(yīng)力的大小和方向兩個(gè)方面的涵義，而“應(yīng)力泡”主要體現(xiàn)其大小的涵義。

3.1 建筑應(yīng)力場(chǎng)的等應(yīng)力線繪制

建筑應(yīng)力場(chǎng)的等應(yīng)力線（場(chǎng)）的繪制方法如下：

（1）制作長(zhǎng)方形紙板，紙板的長(zhǎng)邊大于C3和D1之間的距離。

（2）制定單位建筑載荷q的比例長(zhǎng)度（如果需要繪制多個(gè)載荷方案，建議這個(gè)不同單位載荷之間成比例處理，以方便以后可能用到的對(duì)比和應(yīng)力的合成及分解）。

（3）應(yīng)用長(zhǎng)方形紙板的長(zhǎng)邊連接Di點(diǎn)和圓i上目標(biāo)位置，并使得長(zhǎng)方形紙板的直角尖端點(diǎn)恰恰在目標(biāo)圓i上，并根據(jù)單位建筑物載荷q，分別在圓i上選取σ1為目標(biāo)應(yīng)力系數(shù)系列的矢量長(zhǎng)度（如為4/5、1/2、1/4、1/8），以這個(gè)固定長(zhǎng)度根據(jù)長(zhǎng)方形紙板在圖3所規(guī)定方向繪制σ1矢量。理論上可以根據(jù)一個(gè)盆地的平均側(cè)壓系數(shù)（李傳亮等，2017）推算σ3，并繪制按照側(cè)壓系數(shù)為比例關(guān)系估算的σ3的大小，但一般事實(shí)上，這個(gè)σ3只有方向意義，而沒(méi)有足夠準(zhǔn)確的大小意義。這樣就獲得了局部應(yīng)力的理論值（σ1數(shù)值是可靠的，σ3的數(shù)值是根據(jù)側(cè)壓系數(shù)估算的）。沿著長(zhǎng)方形紙板的長(zhǎng)邊和短邊分別從直角尖端點(diǎn)繪制目標(biāo)長(zhǎng)度的σ1和σ3的矢量（各個(gè)應(yīng)力圓對(duì)應(yīng)的應(yīng)力大小分別是4/5、1/2、1/4、1/8倍的單位載荷q），以此方法重復(fù)繪出各個(gè)需要點(diǎn)的應(yīng)力矢量（σ1和σ3的矢量），繪制好的應(yīng)力矢量（σ1和σ3的矢量）如圖3所示。

在圖2和圖3中，最大主應(yīng)力σ1是準(zhǔn)確的，而σ3數(shù)值是示意的，σ3方向可靠，σ3大小的準(zhǔn)確性就依賴于本區(qū)巖石的側(cè)壓系數(shù)估算的準(zhǔn)確性，側(cè)壓系數(shù)一般在0.6～0.85之間。

3.2 建筑應(yīng)力場(chǎng)的應(yīng)力跡線繪制

應(yīng)用前述方法繪制足夠數(shù)量的應(yīng)力矢量（σ1和σ3矢量）之后，還可以應(yīng)用插值與趨勢(shì)線方法繪制σ1和σ3的應(yīng)力軌跡線，如圖4所示。這樣就有一個(gè)相對(duì)直觀的應(yīng)力網(wǎng)格的幾何形態(tài)供后續(xù)可能的分析，具體畫(huà)線采用就近平行、兩條矢量之間取對(duì)稱、趨勢(shì)插值等方法即可。

獲得“應(yīng)力泡”和應(yīng)力網(wǎng)格之后，就獲得了兩種應(yīng)力場(chǎng)（等應(yīng)力線場(chǎng)和應(yīng)力網(wǎng)格）的表達(dá)方法，就可以進(jìn)行后續(xù)的滑移線場(chǎng)等幾何刻畫(huà)，根據(jù)滑移線場(chǎng)的一般性要求，只需要明確σ1和σ3的方向，并已知本區(qū)巖石的內(nèi)摩擦角，就可以刻畫(huà)出滑移線場(chǎng)的方向和幾何特征，但這是忽略原位應(yīng)力場(chǎng)存在的前提下刻畫(huà)的，如果需要相對(duì)準(zhǔn)確的滑移線場(chǎng)以及具體強(qiáng)度及安全系數(shù)的刻畫(huà)，建議做本文的“應(yīng)力泡”、應(yīng)力網(wǎng)格和原位應(yīng)力場(chǎng)疊加后再做后續(xù)的滑移線場(chǎng)等分析計(jì)算。

從本文繪制的“應(yīng)力泡”的應(yīng)力系數(shù)和筆者已發(fā)論文（關(guān)成堯等，2021）的討論都含有1/2、1/4、1/8，現(xiàn)定義一個(gè)概念——“穿透深度”，就是形如（1/2、1/4、1/8）等這些應(yīng)力系數(shù)所畫(huà)出的“應(yīng)力泡”和圖2—圖4中的縱坐標(biāo)相交的埋藏深度系列，因此，也就存在1/2載荷穿透深度、1/4載荷穿透深度、1/8載荷穿透深度等。如果拿本文的圖2—圖4的穿透深度和圓形載荷的應(yīng)力系數(shù)所涉的穿透深度相比較，本文的帶狀載荷（二維模型）的應(yīng)力系數(shù)（1/2、1/4、1/8）分別對(duì)應(yīng)的穿透深度為46 m、98 m、200 m，而圓形載荷（關(guān)成堯等，2021）的同應(yīng)力系數(shù)的穿透深度為85 m、140 m、213 m，因此“穿透深度”就是以某一應(yīng)力系數(shù)為參考的不同建筑載荷的“應(yīng)力泡”尺度的度量。如果為了比較本文的帶狀載荷和圓形載荷的差異，這兩列穿透深度直接比較是不合理的，還需要提出另外一個(gè)概念“無(wú)因次穿透深度”，也就是 “穿透深度”/建筑物寬度2B，則本文應(yīng)力系數(shù)（1/2、1/4、1/8）對(duì)應(yīng)的“無(wú)因次穿透深度”分別是（1.15 m·m-1、2.45 m·m-1、

5 m·m-1），圓形載荷（關(guān)成堯，2021）對(duì)應(yīng)的“無(wú)因次穿透深度”分別是（0.85 m·m-1、1.4 m·m-1、2.03 m·m-1），有了這兩套數(shù)據(jù)，就可以在知道建筑物的寬度和單位載荷的情況下大致地對(duì)“應(yīng)力泡”的尺度了然于胸。對(duì)比兩組“無(wú)因次穿透深度”，可見(jiàn)圓形載荷的“無(wú)因次穿透深度”明顯小于本文的“無(wú)因次穿透深度”，并隨著應(yīng)力系數(shù)的減小，這種差異性就越大，這符合“應(yīng)力泡”規(guī)律。但圓形載荷和本文的帶狀載荷（假設(shè)建筑的長(zhǎng)度為無(wú)限大，因此簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題）是建筑載荷或工程載荷的兩個(gè)極端，大多數(shù)的建筑載荷或工程載荷都介于這兩者之間，換句話說(shuō)，大多數(shù)的建筑載荷或工程載荷應(yīng)力泡的無(wú)因次穿透深度介于兩者之間，并隨著建筑物的長(zhǎng)寬比加大而穿透深度加深，逐漸趨近于本文的帶狀載荷的穿透深度，并且其“應(yīng)力泡”形狀應(yīng)該是一個(gè)橢球體，從已建設(shè)區(qū)較為精細(xì)的建筑應(yīng)力場(chǎng)與地下空間應(yīng)力場(chǎng)的分析需要來(lái)看，不同長(zhǎng)寬比的載荷和橢球幾何參數(shù)之間的連續(xù)過(guò)渡關(guān)系在幾何上如何通過(guò)繪圖的方法實(shí)現(xiàn)是亟待解決的問(wèn)題，但對(duì)于一般性未建設(shè)地區(qū)的“天際線”地質(zhì)規(guī)劃的角度來(lái)講，將本文的“帶狀載荷”對(duì)應(yīng)的“應(yīng)力泡”作為“更加嚴(yán)格”的要求性條件進(jìn)行規(guī)劃一般是可行的。

4 結(jié)論

（1）在地層均質(zhì)彈性假設(shè)條件下，針對(duì)地表帶狀載荷的建筑或者工程，構(gòu)建等角旋轉(zhuǎn)法繪制“應(yīng)力泡”的方法，并在此基礎(chǔ)上繪制最大主應(yīng)力的方向和大小，實(shí)現(xiàn)對(duì)地下空間建筑（載荷）附加應(yīng)力場(chǎng)的刻畫(huà)，從幾何學(xué)上實(shí)現(xiàn)建筑應(yīng)力場(chǎng)和地下空間的沉積地質(zhì)模型對(duì)接成為可能。

（2）帶狀載荷（二維模型）的穿透深度明顯大于圓形載荷的同應(yīng)力系數(shù)的穿透深度，并隨著應(yīng)力系數(shù)減小，這種差異性就越大。

（3）不同長(zhǎng)寬比的載荷和（橢球形）“應(yīng)力泡”幾何參數(shù)之間的連續(xù)過(guò)渡關(guān)系在幾何上如何通過(guò)繪圖的方法實(shí)現(xiàn)是亟待解決的問(wèn)題。

（4）對(duì)于一般性未建設(shè)地區(qū)的“天際線”地質(zhì)規(guī)劃，“帶狀載荷”對(duì)應(yīng)的“應(yīng)力泡”作為“更加嚴(yán)格”的要求性條件進(jìn)行規(guī)劃是可行的。

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