基于最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的水下生物脈沖噪聲消除方法

高世杰，王 彪，朱雨男，陳 宇，徐千馳，王 武

（江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

0 引 言

近年來(lái)的研究表明，近海水下生物噪聲多以鰲蝦之類帶有前螯的生物，通過(guò)瞬間閉合前螯產(chǎn)生極高壓的沖擊噪聲為主[1]。這類脈沖噪聲不再符合高斯分布模型，持續(xù)時(shí)間短，沖擊幅度大，頻域占據(jù)2～300 kHz[2]，對(duì)近海水下通信造成了極大的困擾，因此，如何有效消除脈沖噪聲，有著重要的實(shí)際應(yīng)用意義。

文獻(xiàn)[3]分析了由于脈沖噪聲的存在，可能會(huì)造成整個(gè)正交頻分復(fù)用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM）系統(tǒng)整體的通信性能的降低。因?yàn)槊}沖噪聲造成的誤差遠(yuǎn)大于高斯噪聲，干擾信號(hào)經(jīng)過(guò)離散傅里葉變換后，會(huì)使得OFDM子載波分量具有大的方差，進(jìn)而影響該子載波或者整個(gè)OFDM載波的符號(hào)。

關(guān)于脈沖噪聲的消除研究，一種常用的方法是進(jìn)行閾值檢測(cè)即門(mén)限電平的選取，然后用減法器在接收端進(jìn)行脈沖噪聲的消除，這類算法的核心問(wèn)題是如何選取一個(gè)合適的閾值，閾值的選擇是目前該類方法的一個(gè)瓶頸[4-6]。隨著稀疏重構(gòu)和壓縮感知的發(fā)展，利用脈沖噪聲的稀疏特性，對(duì)噪聲進(jìn)行重構(gòu)，在接收信號(hào)中減去重構(gòu)的脈沖噪聲便完成了干擾消除工作[7-8]。但是壓縮感知的前提條件是需要知道信號(hào)的稀疏度，而這是脈沖噪聲不確定的點(diǎn)，因此，該方法的使用也受到了一定的限制。

基于自適應(yīng)濾波器原理的自適應(yīng)噪聲消除（Adaptive Noise Cancellation,ANC）方法不需要預(yù)先知道信號(hào)和噪聲的任何先驗(yàn)知識(shí)就可以將噪聲信號(hào)從通信系統(tǒng)中消除[9]。基于最小均方誤差（Minimum Mean Square Error,MMSE）的最小均方（Least Mean Square,LMS）算法利用期望信號(hào)和濾波器輸出之間誤差的二階矩，來(lái)完成這一工作，但是基于 MMSE準(zhǔn)則的算法在非高斯的脈沖噪聲情況下很難保持通信的性能[10]。存在脈沖噪聲干擾時(shí)，直接采用基于 LMS算法的自適應(yīng)濾波算法會(huì)使得算法的收斂性能受到脈沖噪聲采樣位置的影響，進(jìn)而噪聲消除效果較差[11]。針對(duì)這一類噪聲的處理，隨著信息學(xué)習(xí)理論（Information Theoretic Learning,ITL）的發(fā)展，信息量可以作為代價(jià)函數(shù)來(lái)完成自適應(yīng)濾波系統(tǒng)的訓(xùn)練[12]。最大熵準(zhǔn)則（Maximum Correntropy Criterion,MCC）算法作為信息論中的一個(gè)熵準(zhǔn)則，能夠利用誤差信號(hào)有效地消除脈沖噪聲的干擾[13]。本文根據(jù)水聲信道的稀疏特性，先是提出對(duì)自適應(yīng)濾波器的代價(jià)函數(shù)添加了稀疏約束項(xiàng)，用來(lái)進(jìn)行信道估計(jì)；然后提出了一種級(jí)聯(lián)濾波器的設(shè)計(jì)，第一級(jí)濾波器作為自適應(yīng)噪聲消除器，借助于對(duì)脈沖噪聲的參數(shù)估計(jì)實(shí)現(xiàn)噪聲的近似估計(jì)，從而達(dá)到去噪的目的；最后將去噪后的信號(hào)通過(guò)基于稀疏約束項(xiàng)的第二級(jí)濾波器，實(shí)現(xiàn)稀疏信道估計(jì)，完成通信過(guò)程。

1 基本原理

1.1 最大熵原理

其中：E[·]表示進(jìn)行期望運(yùn)算，F(xiàn)XY（x,y）表示（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)，κ（x,y）表示核函數(shù)。核函數(shù)有許多表達(dá)式，本文采用核函數(shù)的高斯形式：

其中：誤差e=x-y，定義從FXY中提取的N個(gè)樣本，σ＞0代表核寬度。圖1為不同核寬度下的核函數(shù)。

由圖1可以看出，在不同核寬度下的高斯核函數(shù)曲線的收斂速度不同。在自適應(yīng)濾波算法當(dāng)中，將核函數(shù)作為自適應(yīng)算法更新的代價(jià)函數(shù)，對(duì)于突變型的誤差，核函數(shù)有著比 MMSE準(zhǔn)則更好的魯棒性：MMSE準(zhǔn)則對(duì)誤差比較敏感，因此在高斯環(huán)境下性能表現(xiàn)較好，因?yàn)樵诿}沖噪聲的干擾下，誤差信號(hào)會(huì)呈現(xiàn)較大的突變，這種突變會(huì)導(dǎo)致算法穩(wěn)定性下降，甚至發(fā)散。使用高斯核函數(shù)作為代價(jià)函數(shù)，由圖1可知，將誤差映射到高斯曲線中，當(dāng)誤差較大的時(shí)候，核函數(shù)對(duì)應(yīng)為較小的甚至接近0的值，從而使得算法不受誤差突變的影響，在脈沖噪聲環(huán)境下有著較好的穩(wěn)定性。

圖1 不同核寬度下的高斯核函數(shù)曲線Fig.1 Gaussian kernel function curves for different kernel widths

1.2 自適應(yīng)濾波器原理

輸入信號(hào)通過(guò)一個(gè)受到脈沖噪聲干擾的未知系統(tǒng)時(shí)，有[16]：

其中：df（k）=uT（k）h0是無(wú)噪聲信號(hào)，u（k）=[u（k）u（k+1）…u（k-M+1）]T表示輸入信號(hào)，T代表轉(zhuǎn)置符號(hào)，h0=[h1,h2,...,hM]T代表未知系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，M代表h0的長(zhǎng)度，η（k）代表脈沖噪聲，對(duì)于誤差信號(hào)有[16]：

其中：h（k）表示第k次迭代對(duì)h0的估計(jì)值。自適應(yīng)算法的目標(biāo)是通過(guò)不斷更新對(duì)h0的估計(jì)值，h能夠更好地逼近h0，使得誤差最小且趨于穩(wěn)定，自適應(yīng)算法的權(quán)值公式為[16]

MCC算法代的價(jià)函數(shù)為

式（6）屬于凸函數(shù)，要使得誤差函數(shù)最小，等價(jià)于求代價(jià)函數(shù)的最大值，通過(guò)代價(jià)函數(shù)對(duì)權(quán)值求偏導(dǎo)，由式（5）和式（6）得到 MCC 的權(quán)值更新公式[16]為

其中：μ是步長(zhǎng)，也稱為收斂因子，μ的取值大小將直接影響到算法收斂速度的快慢。

1.3 脈沖噪聲模型及參數(shù)估計(jì)

關(guān)于近海環(huán)境噪聲的研究表明，單一的高斯噪聲模型無(wú)法滿足近海環(huán)境的表述，近海環(huán)境噪聲多表現(xiàn)為非高斯噪聲的脈沖噪聲[3]。通常用Alpha穩(wěn)定噪聲模型來(lái)表示淺海脈沖噪聲，Alpha穩(wěn)定分布噪聲是一類帶有線狀尖峰且具有重尾效應(yīng)的隨機(jī)噪聲[4]。由于不存在顯式的概率密度函數(shù)，這里用特征函數(shù)[17]來(lái)進(jìn)行描述，即

噪聲模型可以表示為N=（α,β,γ,δ）。其中：α∈（0,2]為特征指數(shù)，用來(lái)表示分布函數(shù)拖尾的厚度，α越小，重尾分布越嚴(yán)重。β∈[-1,1]是對(duì)稱參數(shù)，β=0時(shí)，穩(wěn)定分布是關(guān)于α對(duì)稱的，在這種情況下的分布成為Alpha穩(wěn)定分布。γ＞0是比例參數(shù)，也稱為分散系數(shù)，它表示的意義與高斯分布的方差類似。-∞＜δ＜∞是位置參數(shù)。

對(duì)脈沖噪聲進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，基本思想是通過(guò)采樣到的樣本序列估計(jì)特征函數(shù)，然后對(duì)特征函數(shù)的實(shí)部和虛部采用回歸的方法估計(jì)出參數(shù)值[17]。由特征函數(shù)可得：

2 基于稀疏約束的最大熵準(zhǔn)則算法

其中：λ表示拉格朗日因子，在這里λ取正數(shù)，其作用類似于步長(zhǎng)，也有控制收斂速度和維持穩(wěn)態(tài)平衡的作用。式（12）右邊第二項(xiàng)對(duì)權(quán)值求偏導(dǎo)可得：

對(duì)公式（12）求偏導(dǎo)，得到權(quán)值更新公式：

本文將式（15）等號(hào)右邊最后一項(xiàng)稱作0吸引因子，因?yàn)樗偸鞘沟脵?quán)值向0靠近。因?yàn)閔（k）呈現(xiàn)出稀疏特性，每次迭代，當(dāng)hm（k）為正數(shù)時(shí)，hm（k+1）則減少μλ；當(dāng)hm（k）為負(fù)數(shù)時(shí)，hm（k+1）則增加μλ?？傊?，目的就是將h（k）向0迫近。

3 系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真

3.1 信噪比函數(shù)

因?yàn)锳lpha穩(wěn)定分布二階及二階以上的矩為無(wú)窮量，所以高斯噪聲環(huán)境下的方差、相關(guān)函數(shù)等傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法不再適用于 Alpha穩(wěn)定分布的隨機(jī)過(guò)程。因此，這里用另一種信噪比函數(shù)來(lái)衡量脈沖噪聲與有用信號(hào)的信噪比（Signal to Noise Ratio,SNR）[18]：

根據(jù)文獻(xiàn)[2-3]對(duì)淺海噪聲進(jìn)行建模，普遍認(rèn)為脈沖噪聲的α取值范圍在1.6～1.9之間，文獻(xiàn)[2]在不同近海地域檢測(cè)到的脈沖噪聲用Alpha穩(wěn)定分布表示時(shí)，具體參數(shù)為N1=（1.86,0,0.089,0）和N2=（1.82,0,0.0317,0），具體脈沖形式如圖2和圖3所示。通過(guò)圖2、3可以看出，α值越小，脈沖效果越明顯。在脈沖噪聲為N1時(shí)，脈沖個(gè)數(shù)多且單個(gè)脈沖幅值較小；在脈沖為N2時(shí)，脈沖個(gè)數(shù)較少且單個(gè)脈沖幅值較大。本文選擇N1=（1.86,0,γ,0）和N2=（1.82,0,γ,0），用來(lái)表征不同信噪比下的脈沖噪聲。

圖2 參數(shù)為N1時(shí)的脈沖噪聲Fig.2 Impulse noise when the parameter is N1

圖3 參數(shù)為N2時(shí)的脈沖噪聲Fig.3 Impulse noise when the parameter is N2

3.2 數(shù)據(jù)幀設(shè)計(jì)

通信系統(tǒng)數(shù)據(jù)幀結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)如圖4所示。接收端在信號(hào)同步以后，先通過(guò)訓(xùn)練序列和數(shù)據(jù)部分兩端均為0的保護(hù)序列得到脈沖噪聲n，然后采用參數(shù)估計(jì)，得到訓(xùn)練序列和數(shù)據(jù)部分的脈沖噪聲n2（注意，這里通過(guò)參數(shù)估計(jì)得到的脈沖噪聲n2和訓(xùn)練序列和數(shù)據(jù)部分真實(shí)的脈沖噪聲n1理論上不可能等同，只是同一個(gè)參數(shù)模型下的兩段噪聲信號(hào)）；訓(xùn)練序列用來(lái)進(jìn)行信道估計(jì)，具體的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)結(jié)合本文設(shè)計(jì)的級(jí)聯(lián)濾波器結(jié)構(gòu)。

圖4 信號(hào)的發(fā)送序列設(shè)置Fig.4 Signal transmission sequence settings

3.3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

本文在接收端設(shè)計(jì)一個(gè)級(jí)聯(lián)的自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)。第一級(jí)濾波器完成對(duì)噪聲干擾的消除，第二級(jí)濾波完成對(duì)水聲信道的信道估計(jì)。兩個(gè)級(jí)聯(lián)的濾波器實(shí)際是應(yīng)用了自適應(yīng)濾波器的噪聲抵消和對(duì)未知系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的估計(jì)兩個(gè)方面。

圖5 級(jí)聯(lián)濾波器系統(tǒng)圖Fig.5 Block diagram of cascade filter system

3.4 仿 真

依據(jù)經(jīng)驗(yàn)，將步長(zhǎng)μ設(shè)置為0.005；在稀疏自適應(yīng)算法中λ設(shè)置為0.01；核寬度σ設(shè)置為5；稀疏信道的長(zhǎng)度設(shè)置為40，稀疏度設(shè)置為5。

本文采用OFDM的調(diào)制和解調(diào)，具體參數(shù)設(shè)置為：子載波個(gè)數(shù)200；每個(gè)子載波含符號(hào)數(shù)為12；采用16QAM映射，從而生成二進(jìn)制序列的長(zhǎng)度為9 600；考慮水聽(tīng)器采用單發(fā)送單接收，為了使得送往發(fā)送端的信號(hào)為實(shí)數(shù)形式，在快速傅里葉逆變換（Inverse Fast Fourier Transform,IFFT）前，需要增加發(fā)送信號(hào)的共軛信號(hào)，傅里葉變換點(diǎn)數(shù)滿足大于兩倍的子載波數(shù)，這里設(shè)置為 512；保護(hù)間隔與OFDM數(shù)據(jù)的比例為1/4；后綴長(zhǎng)度為20；同時(shí)為了加快信號(hào)功率譜邊沿的下降速度，添加窗函數(shù)滾降系數(shù)為1/32的矩形窗。發(fā)送幀按如下設(shè)置：根據(jù)OFDM參數(shù)設(shè)置，發(fā)送端生成的有用信號(hào)長(zhǎng)度為12×（512+512×1/4）+20=7700；采用線性調(diào)頻做同步信號(hào)；將訓(xùn)練序列長(zhǎng)度設(shè)置為1 000；前后為0的保護(hù)序列長(zhǎng)度各設(shè)置為1 000；從而推得所用的訓(xùn)練序列僅占傳輸信號(hào)（有用數(shù)據(jù)信號(hào)和訓(xùn)練序列）的11.5%。

噪聲采用N1=（1.86,0,γ,0）和N2=（1.82,0,γ,0）來(lái)比較不同脈沖噪聲參數(shù)下的算法性能，離散信號(hào)功率計(jì)算公式為

同時(shí)結(jié)合式（15）驗(yàn)證提出算法及系統(tǒng)設(shè)計(jì)在脈沖噪聲下的誤碼率情況。

仿真部分采用四種方案設(shè)計(jì)，第一種為單一的最小二乘（Least Square,LS）信道估計(jì)，沒(méi)有添加任何自適應(yīng)噪聲消除的設(shè)計(jì)；第二種為添加自適應(yīng)噪聲消除后的最小二乘（Adaptive Noise Cancellation and Least Square,ANC-LS）方案設(shè)計(jì)，用來(lái)表征噪聲消除方案的優(yōu)越性；第三種為單一的稀疏約束最大熵準(zhǔn)則MCC方案設(shè)計(jì)，用于表征本文提出的稀疏信道估計(jì)算法比傳統(tǒng)LS算法的性能優(yōu)越；第四種為本文設(shè)計(jì)方案，信號(hào)先是通過(guò)自適應(yīng)噪聲消除濾波器，然后進(jìn)行稀疏信道估計(jì)。接收端經(jīng)解調(diào)后，當(dāng)噪聲參數(shù)為N1時(shí)，在不同信噪比下二進(jìn)制信號(hào)錯(cuò)誤個(gè)數(shù)以及誤碼率曲線分別如表1和圖6所示；當(dāng)噪聲參數(shù)為N2，在不同信噪比下二進(jìn)制信號(hào)錯(cuò)誤個(gè)數(shù)以及誤碼率曲線分別如表2和圖7所示。

表1 脈沖噪聲參數(shù)為N1時(shí)不同信噪比下解調(diào)后二進(jìn)制信號(hào)錯(cuò)誤個(gè)數(shù)Table 1 Number of binary signal errors after demodulation under different signal-to-noise ratios when the impulse noise parameter is N1

圖6 脈沖噪聲參數(shù)為N1時(shí)不同信噪比下誤碼率曲線Fig.6 Bit error rate curves under different signal-to-noise ratios when the impulse noise parameter is N1

表2 脈沖噪聲參數(shù)為N2時(shí)不同信噪比下解調(diào)后二進(jìn)制信號(hào)錯(cuò)誤個(gè)數(shù)Table 2 Number of binary signal errors after demodulation under different signal-to-noise ratios when the impulse noise parameter is N2

圖7 脈沖噪聲參數(shù)為N2時(shí)不同信噪比下誤碼率曲線Fig.7 Bit error rate curves under different signal-to-noise ratios when the impulse noise parameter is N2

從圖6和圖7可以得出，在不同的噪聲參數(shù)下，傳統(tǒng)LS算法在脈沖噪聲下的效果最差，性能受噪聲的干擾最為嚴(yán)重，同時(shí)驗(yàn)證了文獻(xiàn)[3]中所提的脈沖噪聲，會(huì)因?yàn)榻?jīng)過(guò)離散傅里葉變換后進(jìn)而影響整個(gè)通信系統(tǒng)的性能；在LS算法中添加自適應(yīng)噪聲消除系統(tǒng)，能夠?qū)υ肼暺鸬揭欢ǖ南饔茫ㄐ畔到y(tǒng)的誤碼率整體比LS算法低；由于熵函數(shù)對(duì)脈沖噪聲或者說(shuō)是對(duì)瞬間突變的誤差有著較好的魯棒性，本文提出的基于稀疏約束的最大熵準(zhǔn)則信道估計(jì)算法有著比LS算法更好的性能；在進(jìn)行信道估計(jì)前先進(jìn)行噪聲消除，即本文提出的級(jí)聯(lián)濾波器結(jié)構(gòu)，比前三種算法性能更好，誤碼率曲線最低。

分析圖6，噪聲參數(shù)為N1時(shí)，橫向?qū)Ρ龋?dāng)誤碼率為10-2時(shí)，本文提出的級(jí)聯(lián)濾波器結(jié)構(gòu)能夠在信噪比為10 dB左右時(shí)達(dá)到，單一最大熵信道估計(jì)在信噪比為13 dB左右時(shí)才達(dá)到，通過(guò)噪聲消除后的LS算法要在信噪比為17 dB時(shí)才能達(dá)到。在誤碼率縮小到10-3時(shí)，本文提出的級(jí)聯(lián)濾波器結(jié)構(gòu)同樣優(yōu)于其他三種方案?？v向?qū)Ρ龋?dāng)信噪比相同時(shí)，LS算法性能最差，本文提出的級(jí)聯(lián)濾波器方案性能最好，能夠滿足通信的性能要求。圖7也表明本文提出的方案性能優(yōu)于其他三種方案。

在不同噪聲參數(shù)下，通過(guò)對(duì)比表1和表2的具體二進(jìn)制信號(hào)誤碼個(gè)數(shù)，可以看出表2整體上誤碼個(gè)數(shù)要比表1低。這是因?yàn)樵诜治鰣D2和圖3時(shí)得出關(guān)于不同噪聲參數(shù)下脈沖的個(gè)數(shù)多少以及幅值高低關(guān)系，在本文采用熵函數(shù)能夠很好地將較大的脈沖噪聲進(jìn)行限制，從而保證算法能夠在不同脈沖噪聲參數(shù)下有著較好的性能。

4 結(jié) 論

為了消除脈沖噪聲，降低通信系統(tǒng)的誤碼率，本文提出了采用基于最大熵準(zhǔn)則的級(jí)聯(lián)自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)脈沖噪聲干擾的抵消，并且提出一種稀疏約束的最大熵準(zhǔn)則代價(jià)函數(shù)，來(lái)實(shí)現(xiàn)脈沖噪聲消除后的水聲稀疏信道估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，在訓(xùn)練序列占傳輸信號(hào)比例為11.5%的情況下，提出的方法能夠在低信噪比的情況下產(chǎn)生較低的誤碼率，比傳統(tǒng)的方法有著更好的通信性能。