CaputoΔ型分數(shù)階時間尺度Noether 定理1)

田 雪 張 毅

* (南京理工大學(xué)理學(xué)院,南京 210094)

? (蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院,江蘇蘇州 215011)

引言

分數(shù)階微積分幾乎和整數(shù)階微積分同時存在,它的導(dǎo)數(shù)和積分的階數(shù)可以是任意數(shù)[1].由于分數(shù)階微分方程具有獨特的能力來描述自然現(xiàn)象的共同特征?異常行為和記憶效應(yīng)[2],因此分數(shù)階微分方程能比整數(shù)階微分方程更準確地描述許多實際問題.分數(shù)階微分方程理論是數(shù)學(xué)的一個重要分支,包括連續(xù)分數(shù)階微分方程和離散分數(shù)階差分方程.在過去的數(shù)十年里,分數(shù)階微分方程理論得到了廣泛的普及和應(yīng)用[3-8],但這些連續(xù)分數(shù)階微分方程和離散分數(shù)階差分方程是被分開研究的.1988 年Hilger[9]發(fā)現(xiàn)了離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)之間有許多相似之處,因此提出了一個關(guān)于微分方程和差分方程的統(tǒng)一理論?時間尺度.隨后,Bohner 等[10-12]意識到時間尺度微積分彌合了連續(xù)和離散系統(tǒng)之間的差距,這個統(tǒng)一的方法意味著在復(fù)雜的新模型中可以考慮更多的變量.不僅如此,當(dāng)時間尺度為T=qN0(q>1,N為自然整數(shù)集)或T=qZ∪{0} 時,時間尺度上的微分方程可以表示成在量子理論中有著重要應(yīng)用的q差分方程[11].因此,利用不同的時間尺度T,分數(shù)階時間尺度微積分可以同時處理連續(xù)、離散和量子分數(shù)階微積分.例如,取T=R (R 為實數(shù)集)時,分數(shù)階時間尺度微分方程則成為[1]中經(jīng)典的分數(shù)階微分方程;當(dāng)T=Z (Z 為整數(shù)集)時,其分數(shù)階時間尺度微分方程與文獻[6]中步長為1 的離散分數(shù)階差分方程是一致的;若T=qN0(q>1),其微分方程則成為文獻[7]中的離散分數(shù)階q差分方程.近年來,分數(shù)階時間尺度微積分已被應(yīng)用于動力學(xué)方程[13]、最優(yōu)控制[14]等領(lǐng)域.雖然力學(xué)系統(tǒng)的分數(shù)階Noether 定理和時間尺度Noether 定理被廣泛研究與應(yīng)用,但分數(shù)階時間尺度Noether 定理是一個新的研究課題[15].

眾所周知,Noether 定理揭示了對稱性和守恒量之間的內(nèi)在關(guān)系[16].在群的無限小變換下作用量的不變性(Noether 對稱性)意味著沿著系統(tǒng)的動力學(xué)真實運動軌道上存在一個守恒量(Noether 守恒量).相比牛頓力學(xué)和Lagrange 力學(xué),運用Noether 對稱性可以找到除了能量守恒、動量守恒或動量矩守恒之外更多的且相互獨立的守恒量[17].因此,近些年人們致力于研究力學(xué)系統(tǒng)的Noether 定理[18-25].而利用時間尺度理論得到的Noether 定理,通過選擇不同的尺度可同時表示連續(xù)時間變量、離散時間變量甚至分段時間變量的Noether 定理.

2004 年Bohner[26]研究了Δ導(dǎo)數(shù)的時間尺度變分問題,建立了時間尺度Lagrange 方程.此后,有關(guān)時間尺度變分原理和時間尺度Lagrange 方程的理論不斷得到完善[27-30],為研究時間尺度Noether 定理奠定了基礎(chǔ).2008 年Bartosiewicz 和Torres[31]分別在特殊無限小變換和一般無限小變換的情況下研究了時間尺度的Noether 定理.隨后,Bartosiewicz 等[32]給出了Δ導(dǎo)數(shù)的時間尺度第二類Lagrange 方程,并利用該方程證明了文獻[31]中的Noether 定理.之后,各種力學(xué)系統(tǒng)的時間尺度Noether 定理被建立,如最優(yōu)控制問題[33]、非保守系統(tǒng)[34-36]、非完整系統(tǒng)[37-38]、Hamilton 系統(tǒng)[39-40]、Birkhoff 系統(tǒng)[40-42]、時滯系統(tǒng)[43-44]等.然而,最近Anerot 等[45]指出文獻[32]中所推導(dǎo)的時間尺度第二類Lagrange 方程是錯誤的.因此,在上述列舉的文章中,利用該方程得到的力學(xué)系統(tǒng)的Noether 定理其正確性有待商榷.Anerot 等[45]利用一種廣義Jost 方法來研究 ? 導(dǎo)數(shù)時間尺度遷移和非遷移系統(tǒng)的Noether 定理,并且用了一些算例來證明他們的結(jié)果.同樣,Cresson 等[46]將Jost 方法推廣到分數(shù)階理論,建立了分數(shù)階Noether 定理,并給出了一些應(yīng)用和仿真.本工作利用分數(shù)階時間尺度Hamilton 原理,推導(dǎo)了CaputoΔ型分數(shù)階時間尺度Lagrange 方程,在一般無限小變換下利用廣義Jost 方法建立了CaputoΔ型的分數(shù)階時間尺度Noether 定理.文末對分數(shù)階時間尺度Kepler 問題和線性振動系統(tǒng)進行模擬,說明了定理的正確性.

1 預(yù)備知識

設(shè)T是一時間尺度,t∈T,定義前跳算子σ:T→T為 σ(t)=inf{s∈T:s>t},后跳算子ρ:T→T為ρ(t)=sup{s∈T:s0,存在t的一個小領(lǐng)域,當(dāng)s∈U,都有|f(σ(t))?f(s)?,則稱函數(shù)f在點t處是Δ可微的,并稱fΔ(t) 是函數(shù)f在點t處的Δ導(dǎo)數(shù).記T上Δ可微且其Δ導(dǎo)數(shù)右稠連續(xù)的函數(shù)集合為.有關(guān)時間尺度的定義和性質(zhì)可具體參考文獻[10,12,47],本節(jié)將重點回顧分數(shù)階時間尺度積分和導(dǎo)數(shù)的定義.

定義1設(shè)T是一時間尺度且Tκ=T,定義右連續(xù)函數(shù)hα:T×T→R,α≥0 為[48]

定義2設(shè)T是一時間尺度,函數(shù)f:[a,b]?R,其中,α≥0,a,b∈R,a

右Riemann-Liouville 分數(shù)階Δ積分為

注1:若T=R,有,則

式(4)和式(5)是傳統(tǒng)的左、右Riemann-Liouville分數(shù)階積分[1].

注2:若T=Z,可定義

式(7)和式(8)是離散的左、右Riemann-Liouville分數(shù)階積分.

注3:若T=pN0,p>1,令α∈[0,∞)N0,a,t∈T,t≥a,p分數(shù)階函數(shù)可定義為

式(10)和式(11)可分別稱為p離散的左、右Riemann-Liouville 分數(shù)階積分.

定義3設(shè)T是一時間尺度,函數(shù)f:T→R,定義,n∈N0,定義左Riemann-Liouville分數(shù)階Δ導(dǎo)數(shù)為[47]

右Riemann-Liouville 分數(shù)階Δ導(dǎo)數(shù)為

注4:若 α<0,可定義

注5:假設(shè) α≥0,m=+1.若m=0,則有

若m=1,則有

定義4設(shè)T是一時間尺度,t∈T,α≥0,定義左Caputo 分數(shù)階Δ導(dǎo)數(shù)為[47]

右Caputo 分數(shù)階Δ導(dǎo)數(shù)為

注6:若 α∈(0,1),即m=1,則有

當(dāng)f(a)=0時,左Caputo 分數(shù)階Δ導(dǎo)數(shù)與左Riemann-Liouville 分數(shù)階Δ導(dǎo)數(shù)一致;當(dāng)f(b)=0 時,右Caputo 分數(shù)階Δ導(dǎo)數(shù)就與右Riemann-Liouville分數(shù)階Δ導(dǎo)數(shù)一致.

同樣地,當(dāng)T=R,式(18)和式(19)則成為傳統(tǒng)的左、右Caputo 分數(shù)階導(dǎo)數(shù);當(dāng)T=Z,式(18)和式(19)成為離散的左、右Caputo 分數(shù)階導(dǎo)數(shù);當(dāng)T=pN0,p>1,式(18) 和式(19) 則成為p離散的左、右Caputo 分數(shù)階導(dǎo)數(shù).

引理1設(shè)函數(shù)f,g:T→R在點t∈Tk是Δ可微的,a,b∈T,則有[10]

若 ω=ν?1:Tˉ →T,則有

其中 νΔ≠0.若f:T→R是右連續(xù)的,并且 ν 的右連續(xù)導(dǎo)數(shù)可微,則有其中a,b∈T.

引理4假設(shè)函數(shù)f,g:T→R,a,b∈T,分數(shù)階時間尺度分部積分公式如下[49]

2 CaputoΔ型分數(shù)階時間尺度Lagrange 方程

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形是由n個廣義坐標(biāo)qk(k=1,2,···,n)確定的.設(shè)分數(shù)階時間尺度系統(tǒng)的作用量為

CaputoΔ型分數(shù)階時間尺度Hamilton 原理為

其滿足交換關(guān)系

和邊界條件

對式(28)進行變分運算,得

根據(jù)分數(shù)階時間尺度分部積分公式(26),再由式(30)和式(32),可得

將式(33)代入式(32),則有

由式(22)和式(31),方程(34)可寫為

根據(jù)引理2,可得

在式(36)兩邊對t求Δ導(dǎo)數(shù),有

方程(37)則是CaputoΔ型分數(shù)階時間尺度運動微分方程,將它稱為分數(shù)階時間尺度Lagrange 方程.

注7:若 α=1,方程(37) 則成為時間尺度Lagrange 方程[31]

注8:若T=R,方程(37)則成為Caputo 型分數(shù)階Lagrange 方程

注9:若 α=1,T=R,方程(37) 則成為經(jīng)典的Lagrange 方程

3 特殊無限小變換下的分數(shù)階時間尺度Noether 定理

引進單參數(shù)群的特殊無限小變換

式中 ξk(k=1,2,···,n) 是無限小生成元,ε 是無限小參數(shù).

定義5對任意的 [ta,tb]?[a,b],ta,tb∈T,若有

則稱Hamilton 作用量式(28)在特殊無限小變換式(41)下是不變的.

判據(jù)1若Hamilton 作用量式(28)在特殊無限小變換式(41)下是不變的,則有

證明:由定義5 可知,對任意的子空間[ta,tb]?[a,b],條件式(42)都成立,所以有

在式(44)中對 ε 求導(dǎo),再令 ε=0,利用分數(shù)階時間尺度Caputo 導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì),可得

則記

定理1若Hamilton 作用量(28)在定義5 的意義上是不變的,則存在守恒量

證明:對式(48)中的I求Δ導(dǎo)數(shù),則有

由分數(shù)階時間尺度Lagrange 方程(37)可知

將式(50)代入式(43),可得

即IΔ=0,因此可證明式(48)是特殊無限小變換下的Noether 守恒量.

注10:若 α=1,定理1 成為特殊無限小變換下的時間尺度Noether 定理[31]

4 一般無限小變換下的分數(shù)階時間尺度Noether 定理

本節(jié)研究一般無限小變換下的分數(shù)階時間尺度Noether 定理.首先,引進單參數(shù) (Δ,T) 可容許投射群[45]的一般無限小變換

式中 ζ,ξk(k=1,2,···,n) 是無限小生成元,ε 是無限小參數(shù).

定義6對任意的 [ta,tb]?[a,b],ta,tb∈T,若有

則稱Hamilton 作用量式(28)在一般無限小變換式(53)下是不變的.

判據(jù)2若Hamilton 作用量式(28)在一般無限小變換式(53)下是不變的,則有

證明:由定義4 和引理3,可得

由定義6 可知

由于 [ta,tb]是 [a,b] 的任意子空間,則方程(57) 等價于

在式(58)中對 ε 求導(dǎo),再令 ε=0,得

注11:考慮到

不變性的條件(57)可寫為

接下來,引進擴展Lagrange 函數(shù)L:R×[a,b]×Rn×R?×Rn→R被定義為

其作用量用SL表示,被定義為

設(shè)時間尺度束類路徑[45]被定義為

當(dāng)tΔ=1,則有

在 F 上的不變性條件(57)可寫成

在方程(66)中對 ε 求導(dǎo),再令 ε=0,則有

在 F 上可簡化成如下的方程組

將式(69)代入式(67),得

因此,可得到如下的CaputoΔ型分數(shù)階時間尺度Noether 定理.

定理2若Hamilton 作用量(28)在定義6 的意義上是不變的,則存在守恒量

注12:若 α=1,式(73)成為

注13:若T=R,式(73)成為

5 算例

例1眾所周知,Kepler 問題是牛頓力學(xué)中最早解決的問題之一,Kepler 系統(tǒng)也是最早發(fā)現(xiàn)的可積系統(tǒng)之一.Kepler 問題仍在研究中,并被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域.Eleonski?等[50]指出分數(shù)階Kepler 問題中所有有限運動的軌道也是封閉的.Anerot 等[45]研究了平面上的時間尺度Kepler 問題的Noether 定理.在這里,我們考慮定義在上的CaputoΔ型分數(shù)階時間尺度Lagrange 函數(shù)

其表示Kepler 問題中兩個質(zhì)量為1 的相互作用粒子的Lagrange 函數(shù).其中,用分數(shù)階導(dǎo)數(shù)代替了存在能量耗散的運動的速度.當(dāng)T=R且α=1時,分數(shù)階時間尺度Lagrange 函數(shù)式(79)就是傳統(tǒng)的Kepler 問題.根據(jù)分數(shù)階時間尺度Lagrange 方程(37),可得

考慮到判據(jù)2,可得

這樣,我們可以得到兩組無限小變換的解

由定理2,可以得到兩個守恒量

如果初始條件滿足q1(1)=1,q2(1)=0.5,v1(1)=1和v2(1)=0.5,考慮在時間尺度為T=λZ 上研究運動軌跡q1,q2和守恒量I1,I2.此時hα(t,s) 則為

令a=0,則t≥1.首先,當(dāng) α=0.5時,分別在 λ=0.1,λ=0.5,λ=1和λ=2的情況下模擬q1,q2,I1,I2的值,得到的結(jié)果如圖1 所示.

從圖1 可以看出,在不同的時間尺度上,軌跡q1和q2各不同,I1的值也不同,但是I2≡0.這表明在這些初始條件下I2是一個平凡守恒量.但在不同的時間尺度上,I1和I2始終是常數(shù),從而驗證了定理2 的正確性.I1和I2不僅在不同的時間尺度上是常數(shù),并且在分數(shù)階導(dǎo)數(shù) α 取不同值的情況下也是常數(shù).令λ=0.1,當(dāng) α=1/3,α=0.5,α=2/3時q1,q2,I1,I2在時間段 [1,3] 上的值如圖2 所示.

圖1 α=0.5 時 q1,q2 ,I1 ,I2 的值Fig.1 Simulation of q1,q2 ,I1 ,I2withα=0.5

從圖2 可以看出,當(dāng)在同一時間尺度上而 α 不同時,I1和I2不僅是常數(shù)且其值也沒發(fā)生變化.若α=1,則Kepler 問題的時間尺度Lagrange 方程為

圖2 λ=0.1 時 q1,q2 ,I1 ,I2在 [1,3] 上的值Fig.2 Simulation of q1,q2 ,I1 ,I2on [1,3]withλ=0.1

從而守恒量為

圖3 證明了當(dāng) α=1時,CaputoΔ型分數(shù)階時間尺度Noether 定理可以簡化為文獻[45]中的時間尺度的Noether 定理.

圖3 α=1 時 q1,q2 ,I1 ,I2在 [0,10] 的值Fig.3 Simulation of q1,q2 ,I1 ,I2on [0,10]withα=1

例2由于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和積分具有記憶效應(yīng),分數(shù)階微積分為描述阻尼材料和黏彈性材料提供了更切實的模型.以單自由度線性分數(shù)階振動系統(tǒng)為例,其Lagrange 函數(shù)為

在時間尺度T={tk=a+kh,k∈N} 上求其Noether 守恒量.

由分數(shù)階時間尺度Lagrange 方程(37),得

若T=R,α=1,方程(91)則成為經(jīng)典的阻尼振子

則可稱方程(91)為分數(shù)階時間尺度阻尼振子.由判據(jù)2,有

方程(93)有解

由定理2,得到守恒量

令a=0,γ=1,α=0.5,h=1,初始位置為q0=1,初始速度為v0=?0.5.當(dāng)t=t0時,I0=?0.125,并且

由此可證明式(95)是一守恒量.若 α=1,此時,時間尺度上的Lagrange 方程為

其守恒量為

在上述給出的初始條件下,當(dāng)h=1和h=0.1 時,分別給出了q和I在時間段 [0,10]和 [0,3.5] 的模擬結(jié)果,如圖4 所示.

圖4 α=1 時 q 和 I 的值Fig.4 Simulation of qand Iwithα=1

6 結(jié)論

將分數(shù)階理論和時間尺度理論應(yīng)用到動力學(xué)問題的研究中,建立的分數(shù)階時間尺度模型更具有廣泛的應(yīng)用性、更切合實際問題.結(jié)合分數(shù)階微積分和時間尺度微積分,我們研究了CaputoΔ型分數(shù)階時間尺度Noether 定理.若 α=1,文獻[31]在特殊無限小變換下得到的時間尺度Noether 定理與我們的定理1 一致,但其一般無限小變換下的Noether 定理卻不能成為文中的定理2.利用文獻[45]中的廣義Jost 方法得到了一般無限小變換下的分數(shù)階時間尺度Noether 定理,并通過算例驗證了用該方法得到的守恒量是常數(shù),驗證了定理的正確性.進一步地說明了運用文獻[31]中的時間重新參數(shù)化技術(shù)處理時間尺度Noether 定理是存在一些問題的.

分數(shù)階時間尺度Noether 定理為求解復(fù)雜系統(tǒng)的方程提供了一種新方法,當(dāng)然它還需要被進一步地研究和完善.在今后的工作中,還可考慮以下幾個問題.

(1) 研究如何將該方法進一步拓展到非完整系統(tǒng)和Birkhoff 系統(tǒng)或其他復(fù)雜動力學(xué)系統(tǒng).

(2) 本工作只研究了Caputo 型分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和Δ型時間尺度導(dǎo)數(shù),也可研究其他分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和時間尺度導(dǎo)數(shù)以及它們之間的差異.

(3) 在實際問題中,需要討論分數(shù)階時間尺度模型中Noether 守恒量的物理意義.

(4) 值得注意的是,由于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有記憶性,一般算法并不適用于分數(shù)階微積分,算例僅根據(jù)分數(shù)階時間尺度積分和導(dǎo)數(shù)的定義進行計算的.分數(shù)階時間尺度的保結(jié)構(gòu)算法是一個新的、艱巨的領(lǐng)域,將是我們今后的主要工作.