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      時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對(duì)稱性與守恒量

      2023-09-06 06:03:42金世欣李莉李彥敏
      關(guān)鍵詞:生成元時(shí)間尺度等式

      金世欣,李莉,李彥敏

      (1.商丘師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 商丘 476000;2.商丘師范學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院,河南 商丘 476000)

      時(shí)間尺度是實(shí)數(shù)集上的任意非空閉子集.時(shí)間尺度上力學(xué)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論統(tǒng)一和拓展了連續(xù)和離散力學(xué)系統(tǒng)理論,不僅能夠揭示連續(xù)和離散系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)之間的差別與聯(lián)系,而且更準(zhǔn)確地刻畫復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的本質(zhì),有效地避免了出現(xiàn)差分方程和微分方程這兩種結(jié)果[1].考慮時(shí)間尺度的影響,研究非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性,不僅可以更深入認(rèn)識(shí)系統(tǒng)本身,而且對(duì)相關(guān)領(lǐng)域的研究起到促進(jìn)作用.時(shí)間尺度上的微積分理論是由Hilger引入[2],其思想是統(tǒng)一和拓展連續(xù)和離散理論分析,其目的是將微分和差分理論融合一起進(jìn)行研究,分析它們之間的區(qū)別與聯(lián)系,避免了許多連續(xù)和離散問題的重復(fù)工作,同時(shí)也為研究微分和差分提供強(qiáng)有力的理論依據(jù).近年來,隨著時(shí)間尺度理論的發(fā)展和完善,使得時(shí)間尺度理論在科學(xué)和工程的很多領(lǐng)域(如數(shù)學(xué),最優(yōu)控制學(xué),物理學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué),力學(xué)等)得到越來越廣泛應(yīng)用[3-7].

      2004年Bohner[8]、Hilscher和Zeidan[9]討論了時(shí)間尺度上動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的變分問題.關(guān)于時(shí)間尺度上動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Noether守恒量有兩種類型.第一種類型是Bartosiewicz和Torres[10]建立的時(shí)間尺度上動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理,并利用時(shí)間重新參數(shù)法給出了Noether定理的證明.此后,Bartosiewicz[11,12]等建立了時(shí)間尺度上動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的第二Euler-Lagrange方程,并基于第二Euler-Lagrange方程給出了時(shí)間尺度上Noether定理的另一證明方法.近年來,在Bartosiewicz和Torres等研究工作的基礎(chǔ)上,關(guān)于時(shí)間尺度上動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量理論問題得到了進(jìn)一步的完善和發(fā)展[13-24].第二種類型是Cresson[25]團(tuán)隊(duì)提出的時(shí)間尺度上動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Noether型定理,并用直接法給出了時(shí)間尺度上Noether定理的證明.zhɑng[26,27]等給出并證明了時(shí)間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理,揭示了時(shí)間尺度上Noether對(duì)稱性與守恒量之間的聯(lián)系,并推廣到了分?jǐn)?shù)階時(shí)間尺度上的Noether定理,給出了時(shí)間尺度上分?jǐn)?shù)階Noether守恒量的數(shù)值分析,并進(jìn)一步討論了時(shí)間尺度上廣義Chaplygin系統(tǒng)的攝動(dòng)與絕熱不變量和時(shí)間尺度上非遷移動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Mei對(duì)稱性[28,29].本文基于Cresson 團(tuán)隊(duì)和zhɑng的工作,進(jìn)一步研究時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對(duì)稱性與守恒量,將時(shí)間尺度上Noether對(duì)稱性方法應(yīng)用于時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng),分別基于時(shí)間尺度上Birkhoff框架、Lagrange框架和Hamilton框架,建立時(shí)間尺度上Noether準(zhǔn)對(duì)稱性和Noether等式,并用直接法證明時(shí)間尺度上的Noether守恒量.

      1 時(shí)間尺度上Lagrange框架下的Noether守恒量

      設(shè)在時(shí)間尺度上Lagrange框架下,時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可化為相應(yīng)的時(shí)間尺度上一般完整系統(tǒng)的Lagrange方程

      (1)

      引入時(shí)間變換的無限小群變換

      (2)

      其中,ξ0,ξs是生成元.

      于是,有

      (3)

      則該系統(tǒng)存在如下形式的時(shí)間尺度上的Noether守恒量

      (4)

      證明 將式(4)兩邊對(duì)t同時(shí)求Δ導(dǎo)數(shù),并利用式(3)和方程(1),可得

      (5)

      因此,式(4)是時(shí)間尺度上Lagrange框架下的Noether守恒量.

      2 時(shí)間尺度上Hamilton框架下的Noether守恒量

      若令

      (6)

      則時(shí)間尺度上Lagrange框架下的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)就化為了時(shí)間尺度上Hamilton框架下的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng).則時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可化為時(shí)間尺度上相空間中一般完整系統(tǒng)的Hamilton方程,有

      (7)

      引入時(shí)間變換的無限小群變換

      (8)

      其中,ξ0,ξs和ηs是生成元.

      于是,有

      (9)

      則該系統(tǒng)存在如下形式的時(shí)間尺度上的Noether守恒量

      (10)

      證明 將式(10)兩邊對(duì)t同時(shí)求Δ導(dǎo)數(shù),并利用式(9)和方程(7),可得

      (11)

      故式(10)是無限小群變換(8)下的時(shí)間尺度上Hamilton框架下的Noether守恒量.

      3 時(shí)間尺度上Birkhoff框架下的Noether守恒量

      若取

      (12)

      則時(shí)間尺度上Hamilton框架下動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為時(shí)間尺度上Birkhoff框架下的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)特例.則時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可化為相應(yīng)時(shí)間尺度上廣義Birkhoff方程,有

      (13)

      引入時(shí)間變換的無限小群變換

      (14)

      其中,ξ0,ξs是生成元.

      于是,有

      (15)

      則該系統(tǒng)存在如下形式的時(shí)間尺度上的Noether守恒量

      (16)

      證明 將式(16)兩邊對(duì)t同時(shí)求Δ導(dǎo)數(shù),并利用式(15)和方程(13),可得

      (17)

      因此,式(16)是時(shí)間尺度上Birkhoff框架下的Noether守恒量.

      4 討 論

      若T=P,則σ(t)=t,μ(t)=0,則時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1),(7)和(13)就成為[30,31]

      (18)

      (19)

      (20)

      其中Rω=Rω(t,aρ)是Birkhoff函數(shù)組,B=B(t,aρ)是Birkhoff函數(shù),Λω=Λω(t,aρ)為附加項(xiàng).

      定理1、定理2和定理3就成為:

      (21)

      則該系統(tǒng)存在如下形式的Noether守恒量

      (22)

      推論2對(duì)于非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)(19),如果無限小群變換下的生成元和規(guī)范函數(shù)G=G(t,qs,ps),滿足如下等式

      (23)

      則該系統(tǒng)存在如下形式的Noether守恒量

      IN=psξs-Hξ0+GN=const.

      (24)

      推論3對(duì)于非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)(20),如果無限小群變換下的生成元和規(guī)范函數(shù)G=G(t,aω),滿足如下等式

      (25)

      則該系統(tǒng)存在如下形式的Noether守恒量

      IN=Rωξω-Bξ0+GN=const.

      (26)

      若T=hZ時(shí),σ(t)=t+h,μ(t)=h,則時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程(1),(7)和(13)就成為

      (27)

      其中,L=L(t,qs(t+h),Δtqs)為離散Lagrange函數(shù),Qs=Qs(t,qs(t+h),Δtqs)為非勢(shì)廣義力.

      (28)

      (29)

      其中,Rω=Rω(t,av(t+h))是Birkhoff函數(shù)組,B=B(t,av(t+h))是Birkhoff函數(shù),Λω=Λω(t,av(t+h))為附加項(xiàng).

      定理1、定理2和定理3就成為:

      推論4對(duì)于非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)(27),如果無限小群變換下的生成元和規(guī)范函數(shù)G=G(t,qk(t+h),Δtqk),滿足如下等式

      Qs(ξs(t+h)-Δtqs(t+h)ξ0(t+h))+ΔtGN=0

      (30)

      則該系統(tǒng)存在如下形式的離散Noether守恒量

      (31)

      推論5對(duì)于非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)(28),如果無限小群變換下的生成元和規(guī)范函數(shù)G=G(t,qs(t+h),ps),滿足如下等式

      (32)

      則該系統(tǒng)存在如下形式的離散Noether守恒量

      IN=psξs-Hξ0+GN=const.

      (33)

      推論6對(duì)于非完整系統(tǒng)相應(yīng)完整系統(tǒng)(29),如果無限小群變換下的生成元和規(guī)范函數(shù)G=G(t,aω(t+h)),滿足如下等式

      BΔtξ0+Λυ(ξυ(t+h)-Δtaυ(t+h)ξ0(t+h))+ΔtGN=0

      (34)

      則該系統(tǒng)存在如下形式的離散Noether守恒量

      IN=Rωξω-Bξ0+GN=const.

      (35)

      5 例 題

      例1時(shí)間尺度上勻質(zhì)圓球純滾動(dòng)問題.時(shí)間尺度上動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

      (36)

      系統(tǒng)所受約束為

      (37)

      試討論該系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量.

      相應(yīng)完整系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)和非勢(shì)廣義力為

      (38)

      (39)

      由式(3),可得

      (40)

      方程(40)有解

      ξ0=0,ξ1=1,ξ2=ξ3=0,G=0

      (41)

      由式(4),得到守恒量

      (42)

      若T=P時(shí),則σ(t)=t,μ(t)=0,則守恒量(42)就成為

      (43)

      若T=hZ時(shí),σ(t)=t+h,μ(t)=h,則守恒量(42)就成為

      (44)

      例2時(shí)間尺度上Duffing方程為

      qΔΔ+qσ+(qσ)3=0

      (45)

      試討論該系統(tǒng)時(shí)間尺度上Noether對(duì)稱性與守恒量.

      方程(45)可化為相空間中一般完整系統(tǒng)的時(shí)間尺度上Hamilton方程,有

      (46)

      由式(9),可得

      (47)

      方程(47)有解

      ξ0=0,ξ=1,G=-qΔ

      (48)

      由式(10)可得

      I=p-qΔ=const.

      (49)

      例3時(shí)間尺度上非線性耦合振子方程為

      (50)

      其中,ω1,ω2和α為常數(shù),試研究該系統(tǒng)時(shí)間尺度上Noether對(duì)稱性與守恒量.

      a1=x,a2=y,a3=xΔ,a4=yΔ

      (51)

      方程(50)可化為時(shí)間尺度上廣義Birkhoff方程,有

      (52)

      由式(15),可得

      (52)

      方程(52)有解

      (53)

      由式(16)可得系統(tǒng)的守恒量為

      (54)

      6 結(jié) 論

      文章通過分析時(shí)間尺度上Noether準(zhǔn)對(duì)稱討論時(shí)間尺度上非完整系統(tǒng)的Noether準(zhǔn)對(duì)稱性及其守恒量.基于時(shí)間尺度上Lagrange框架、Hamilton框架和Birkhoff框架,將非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)一般完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,建立了無限小群變換下的時(shí)間尺度上Noether準(zhǔn)對(duì)稱性和廣義Noether等式,給出并用直接法證明了時(shí)間尺度上的Noether守恒量(定理1-定理3).結(jié)果表明:時(shí)間尺度上Lagrange框架下的Noether守恒量與時(shí)間尺度上Hamilton框架下的Noether守恒量等價(jià),而時(shí)間尺度上Hamilton框架下的Noether守恒量是時(shí)間尺度上Birkhoff框架下的Noether守恒量的特例.當(dāng)T=P時(shí),時(shí)間尺度上Noether守恒量就成為了經(jīng)典動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Noether守恒量(推論1-推論3).當(dāng)T=hZ時(shí),時(shí)間尺度上Noether守恒量就成為離散動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Noether守恒量(推論4-推論6).本文的方法和結(jié)果具有普遍性,可進(jìn)一步推廣應(yīng)用于含有兩個(gè)及以上小參數(shù)的或含有多個(gè)獨(dú)立變量的時(shí)間尺度上非完整動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)、時(shí)間尺度上的最優(yōu)控制系統(tǒng)等.

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