Rockafellar乘子方法在元素測(cè)井解譜中的應(yīng)用*

于 靜，王振林，白曉偉

（1．中國(guó)石油大學(xué)（北京）克拉瑪依校區(qū) 文理學(xué)院，新疆 克拉瑪依834000；2.新疆油田勘探開發(fā)研究院，新疆 克拉瑪依834000；3.新疆油田公司應(yīng)急搶險(xiǎn)救援中心，新疆 克拉瑪依834000）

1 研究背景

隨著勘探開發(fā)技術(shù)的日益成熟，頁巖油氣、致密油等非常規(guī)油氣已經(jīng)成為當(dāng)今勘探開發(fā)的研究熱點(diǎn)。而儲(chǔ)層礦物含量的精確計(jì)算對(duì)于評(píng)價(jià)儲(chǔ)層的物性、含油性、脆性、烴源巖特性（圖1為實(shí)測(cè)的礦物成分與烴源巖有效性的關(guān)系圖）及指導(dǎo)壓裂具有非常重要的意義[1]。非常規(guī)油氣儲(chǔ)層，大都巖性多變，礦物組成復(fù)雜，儲(chǔ)層評(píng)價(jià)難度大，僅僅依靠常規(guī)測(cè)井技術(shù)很難進(jìn)行正確的儲(chǔ)層評(píng)價(jià)。因此正確識(shí)別礦物及準(zhǔn)確計(jì)算礦物含量是目前非常規(guī)油氣儲(chǔ)層研究面臨的主要難題之一。

圖1 烴源巖與礦物成分相關(guān)關(guān)系圖

盡管地層中被發(fā)現(xiàn)的元素有近百種，但是其中氧、硅、鋁、鐵、鈣、鈉、鉀、鎂、氫等9元素卻占據(jù)了地層總質(zhì)量的98%以上[2]。類似地，巖石中已發(fā)現(xiàn)上千種礦物，但是在非常規(guī)油氣儲(chǔ)層中的常見礦物不過十余種。因此利用可以確定地層元素含量的伽馬能譜測(cè)井，相對(duì)準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)地殼巖石中的礦物種類和含量變成了可能。

元素俘獲測(cè)井是確定礦物含量和巖性識(shí)別最有效的測(cè)井技術(shù)之一。當(dāng)前比較先進(jìn)的元素測(cè)井是斯倫貝謝的ECS測(cè)井。其原理為儀器（圖2）中子源產(chǎn)生快中子，快中子進(jìn)入地層后，同地層中所含元素的原子核發(fā)生作用，作用釋放出伽馬射線[3-5]。每種元素產(chǎn)生特定能量的特征伽馬射線，其計(jì)數(shù)率與元素的含量成正比。我們記錄這些伽馬射線形成的伽馬能譜（圖3），用實(shí)驗(yàn)室記錄的每種元素標(biāo)準(zhǔn)伽馬能譜（圖4）[6]與之做對(duì)比，然后采用合適的解譜技術(shù)，利用恰當(dāng)?shù)难蹰]合模型和聚類因子等方法得到地層常見元素的含量，進(jìn)而計(jì)算出地層中所含的主要礦物含量（圖5為元素測(cè)井譜處理的流程圖）。

圖2 ECS測(cè)井儀器結(jié)構(gòu)示意圖

圖3 實(shí)測(cè)伽馬能譜圖

圖4 各元素的標(biāo)準(zhǔn)譜

圖5 元素測(cè)井譜處理流程

2 元素產(chǎn)額的確定

ECS記錄的能譜是全部元素的伽馬能譜（計(jì)數(shù)）的疊加，所以如果要得到準(zhǔn)確的礦物含量，就必須對(duì)原始伽馬能譜采用合適的方法進(jìn)行解譜，進(jìn)而得到每個(gè)元素對(duì)該譜的相對(duì)貢獻(xiàn)，我們稱這種貢獻(xiàn)為元素的產(chǎn)額[7-8]。

在確定元素的產(chǎn)額時(shí)目前流行的是用最小二乘法進(jìn)行譜數(shù)據(jù)處理。圖6最右邊道為最小二乘法解譜得到的鎂元素的產(chǎn)額。我們將整個(gè)伽馬能譜劃分成為m個(gè)能量道，假若本地區(qū)有s個(gè)元素對(duì)此能譜有貢獻(xiàn)，所以我們有如下關(guān)系式：

圖6 J井最小二乘法得到的Mg元素產(chǎn)額

其中，pi是指所處理的伽馬能譜的第i個(gè)能量道的計(jì)數(shù)率；αij指的是指測(cè)井儀器對(duì)第i道的第j種元素的響應(yīng)系數(shù)；xj為待求的第j種元素對(duì)測(cè)量譜的相對(duì)貢獻(xiàn)，即產(chǎn)額。

公式（1）包含了m個(gè)s元方程，即

一般來講，這是一個(gè)超定的方程組（公式的各數(shù)大于未知數(shù)的個(gè)數(shù)），其中每個(gè)pi均包含統(tǒng)計(jì)誤差。為了求解xj，人們一般采用最小二乘法解決此問題，即得到最小二乘解

但是，在實(shí)際測(cè)量的伽馬能譜中，因?yàn)榇蠖鄶?shù)元素的特征伽馬射線集中于高能部分，但是高能部分伽馬計(jì)數(shù)往往較低，對(duì)于元素含量的確定非常不利，因此，我們用加權(quán)的最小二乘方法解決此問題。令達(dá)到最小。其中，ωi為權(quán)重因子，令

但是在用加權(quán)的最小二乘法處理實(shí)際ECS數(shù)據(jù)時(shí)，由于數(shù)據(jù)受溫度、儀器誤差及自然放射性等的影響，不可避免地將產(chǎn)生負(fù)值[8]（見圖6）。為了解決這個(gè)問題，我們采用Rockafellar乘子算法[9-13]。

3 Rockafellar乘子算法數(shù)學(xué)原理

Rockafellar乘子算法是解決約束最優(yōu)化問題的常見方法，它的基本思想是借助罰函數(shù)把約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，進(jìn)而使用無約束優(yōu)化方法來求解。具體做法如下：

為求解問題（4），我們首先引入松弛變量zj（其中j=1，2，…，s）將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束，將約束條件化為

問題（4）轉(zhuǎn)化為等式約束的最優(yōu)化問題：

其次，考慮在等式約束下的增廣Lagrange函數(shù)：

其中，μ（jj=1，2，…s）為拉格朗日乘子為懲罰因子。

若μj+cxj≤0，則

因此，

于是，當(dāng)μj+cgj（x）≤0時(shí)，有：

當(dāng)μj+cxj>0時(shí)，有：

所以，得到乘子的迭代公式為

具體步驟如下：

（1）給定初始點(diǎn)x(0)及初始乘子μ(0)，給定精度ε，取c>0；

（2）以x(k-1)為初始點(diǎn)，求解minΦ（x，z，μ(k)），得到x(k)；

則x(k)為最優(yōu)解，否則計(jì)算若β≤0.25，轉(zhuǎn)到第4步，否則，令c=2c，轉(zhuǎn)到第4步；

（4）計(jì)算μj(k+1)=μj(k)+chj（x(k)），k=k+1返回第1步。

4 Rockafellar乘子算法解譜實(shí)例

圖7 為利用Rockafellar乘子算法計(jì)算某井的元素產(chǎn)額與用最小二乘法解譜得到的元素的產(chǎn)額對(duì)比圖。從圖7中可以看到，乘子算法的結(jié)果很好地解決了最小二乘法元素產(chǎn)額負(fù)值的問題，為后續(xù)礦物的反演及儲(chǔ)層評(píng)價(jià)奠定了良好的基礎(chǔ)。

圖7 J井乘子算法（最右道）與最小二乘法解譜對(duì)比圖