華恩亨
二面角問(wèn)題是高中立體幾何中的一類(lèi)常見(jiàn)題目.雖然此類(lèi)問(wèn)題的命題方式多種多樣,但解題的方法卻是大同小異.因此在解答二面角問(wèn)題時(shí),我們要學(xué)會(huì)“以不變應(yīng)萬(wàn)變”,牢牢抓住題目的特點(diǎn),選擇合適的解題方法和思路進(jìn)行求解.本文主要介紹以下兩個(gè)求解二面角的辦法.
一、構(gòu)造三垂線(xiàn)
在解題時(shí),我們常根據(jù)二面角的平面角的定義來(lái)添加輔助線(xiàn),構(gòu)造三垂線(xiàn),利用三垂線(xiàn)定理來(lái)解題.如圖1所示,已知平面α、平面β和線(xiàn)段l,假設(shè)α-l-β為銳二面角,過(guò)平面α內(nèi)一點(diǎn)P作一條垂直于面β的垂線(xiàn)PA交平面β于A點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作線(xiàn)段l的垂線(xiàn)AB交線(xiàn)段l于B點(diǎn),連接P、B就可以得到一個(gè)直角三角形PAB,根據(jù)三垂線(xiàn)定理可知,線(xiàn)段PB⊥l,那么∠PAB就是銳二面角α-l-β的平面角.通過(guò)解直角三角形PAB,便可求得∠PAB的大小.
例1.已知一個(gè)棱長(zhǎng)都等于4的正三棱柱ABC-A1B1C1,BC的中點(diǎn)是E點(diǎn),側(cè)棱CC1上有一動(dòng)點(diǎn)F,且不會(huì)與C點(diǎn)重合.假設(shè)二面角C-AF-E的大小是θ,求二面角的正切的最小值.
解:如圖2所示,過(guò)E作EN⊥AC于點(diǎn)N,過(guò)N作MN⊥AF于M,連接M,E.
由正三棱柱的性質(zhì)可得EN⊥側(cè)面A1C,由三垂線(xiàn)定理可知EM⊥AF,因此∠EMN是二面角C-AF-E的平面角,即∠EMN=θ.
設(shè)∠CAF=α,那么0°<α≤45°,
在Rt△CNE中,??? .
在Rt△AMN中,MN=AN·sinα=3sinα,
因此??? .
又因?yàn)?°<α≤45°,所以,
因此當(dāng)時(shí),tanθ的最小值為??? .
解答本題主要根據(jù)二面角的平面角的定義構(gòu)造出三垂線(xiàn),然后運(yùn)用三垂線(xiàn)定理證明∠EMN是二面角C-AF-E的平面角.在構(gòu)造三垂線(xiàn)時(shí),要注意抓住幾何體的特點(diǎn)和幾何圖形中的垂直關(guān)系.
二、構(gòu)造垂面
構(gòu)造二面角棱的垂面也是解答二面角問(wèn)題的常用辦法.有些二面角的平面角借助二面角棱的垂面更加方便作出.作二面角棱的一個(gè)垂面,需過(guò)棱上一點(diǎn)分別作兩個(gè)半平面的垂線(xiàn),將兩個(gè)垂足和已知點(diǎn)連接起來(lái)所形成的平面就是垂直于二面角棱的一個(gè)垂面.然后在垂面內(nèi)運(yùn)用平面幾何知識(shí)就可求得二面角的大小.
例2.空間中有一點(diǎn)P到二面角α-l-β中的兩個(gè)半平面α,β和棱l的距離分別是4,3,,求二面角α-l-β的大小.
解:如圖3所示,分別作平面α,β的垂線(xiàn)PA垂直于平面α交于A點(diǎn),PB垂直于平面β交于B點(diǎn),連接P,A,B,則l⊥平面PAB,設(shè)l與平面PAB相交于點(diǎn)C,連接P,C,可得l⊥PC.
在直角三角形PAC,PBC中,,PA=4,PB=3,
那么,??? .
因?yàn)镻,A,C,B四點(diǎn)共圓,則PC是直徑,
設(shè)PC=2R,二面角α-l-β的大小是θ.
根據(jù)余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosθ=PA2+PB2-2PA·PB·cos(π-θ),解得,θ=120°,
因此二面角α-l-β的大小是120°.
我們通過(guò)作二面角的兩個(gè)半平面的垂線(xiàn),構(gòu)造出二面角平面角的垂面PABC,再在平面PABC內(nèi),運(yùn)用直角三角形和圓的性質(zhì),以及余弦定理求得二面角α-l-β的大小.
解答二面角問(wèn)題的辦法,還有很多如采用面積法、投影法等.一般來(lái)講,求解二面角問(wèn)題主要有三個(gè)步驟,即先作出二面角的平面角,然后證明這個(gè)角為二面角的平面角,最后求出這個(gè)平面角的大小.在這三個(gè)步驟里面,前面兩個(gè)步驟是解題的關(guān)鍵,只要做好這兩步,就能輕松解題.
(作者單位:安徽省碭山第二中學(xué))
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版中旬2021年7期