從公理化系統(tǒng)角度分析中學(xué)幾何教材

侯嬌

摘要：幾何公理化系統(tǒng)可以將幾何學(xué)的所有知識系統(tǒng)組織起來，具有分析、總結(jié)數(shù)學(xué)知識，推動新理論產(chǎn)生等作用。盡管公理化系統(tǒng)很重要，但是在中學(xué)教材并未談及公理化系統(tǒng)。本文介紹了公理化系統(tǒng)的形成及其概念，剖析了中學(xué)幾何教材的公理化結(jié)構(gòu)，以此啟發(fā)幾何教學(xué)。

關(guān)鍵詞：公理化系統(tǒng)、中學(xué)幾何、希爾伯特

引言

目前對中學(xué)數(shù)學(xué)幾何教育的研究多注重于現(xiàn)代信息技術(shù)、教學(xué)方法的運用，如何在幾何教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等研究，①—③對于中學(xué)幾何教材的整體框架研究較少。對中學(xué)教師而言，了解幾何公理化體系，掌握基本概念、公理和命題的區(qū)別與聯(lián)系，明晰中學(xué)幾何對公理化系統(tǒng)的處理將有利于把握幾何課程的實質(zhì)。

1、1、簡述公理化系統(tǒng)

1.1公理化系統(tǒng)的起源

歐幾里得的《幾何原本》，標(biāo)志著實體公理體系的形成。在對《幾何原本》不斷研究下，產(chǎn)生了以羅氏幾何和黎曼幾何為代表的非歐幾何。希爾伯特天才得總結(jié)了前人的研究，發(fā)表《幾何學(xué)基礎(chǔ)》一書，標(biāo)志著形式公理體系的形成。

1.2公理化系統(tǒng)的概念

我國數(shù)學(xué)方法論的倡導(dǎo)者和帶頭人徐利治先生認(rèn)為：所謂公理化方法（或公理方法），就是從盡可能少的無定義的原始概念（基本概念）和一組不證自明的的命題（基本公理）出發(fā)，利用純邏輯推理法則，把一門數(shù)學(xué)建立成為演繹方法的一種。④這里的公理化方法指的是希爾伯特的形式公理化方法。

基本概念指的是不加定義的概念，它們就必須是真正基本的，而無法使用更原始更簡單的概念去界定的概念。歐幾里得的實體公理體系中基本概念是對空間對象的描述性定義。為建立更嚴(yán)密的公理化系統(tǒng)，在希爾伯特的形式公理體系中，基本概念是脫離了具體空間，包含對幾何科學(xué)基本概念之間所存在的關(guān)系的描述。希爾伯特的公理體系雖然遵循歐式幾何的做法，仍然以點、線、面及其相互關(guān)系作為基本概念，但是正像他描述的那樣：“有可能在所有幾何命題中，用桌子、椅子、啤酒杯來代替點、線、面?！?/p>

公理是對諸基本概念（例如基本元素、基本關(guān)系的那個概念）相互關(guān)系的規(guī)定。公理是不證自明的，由公理可以推出同一體系的全部命題。

1.3公理設(shè)置的要求

希爾伯特形式公理化系統(tǒng)的完善性體現(xiàn)在公理需要滿足相容性、獨立性和完備性。

公理的相容性即從這些公理出發(fā)不可能推出任何矛盾的命題 （定理）。公理的獨立性即每一個公理不可由其他公理推出。每一條公理都應(yīng)該獨立于其他所有公理存在。公理的完備性即該體系中有足夠個數(shù)的公理，以之為依據(jù)可推導(dǎo)出該體系的全部結(jié)論。

2、中學(xué)幾何教材的公理化結(jié)構(gòu)

中學(xué)教材中的幾何是以希爾伯特的形式公理系統(tǒng)為基礎(chǔ)進行一些變化所建立的歐式幾何，它是建立在混合型的公理系統(tǒng)的之上。它延續(xù)了希爾伯特公理化體系中的相容性，但在其他嚴(yán)密性方面做出了一些犧牲。

2.1中學(xué)幾何教材的不完備性

從圖1可以看出，中學(xué)幾何教材的公理分組與希爾伯特公理系統(tǒng)的分組有所不同，缺少了順序公理、合同公理、連續(xù)公理。中學(xué)涉及到這些公理的知識均加以直觀默認(rèn)。

中學(xué)中默認(rèn)同一直線上的三點，必有一點位于其他兩點中間。這是希爾伯特公理系統(tǒng)中順序公理的第三條所闡述的內(nèi)容，雖然是顯而易見的事實，但是在完整的公理體系中，必須滿足公理的完備性，即公理不能少。

2.2概念沒有定義或不精確定義

中學(xué)幾何教材中不提不予定義的基本概念。希爾伯特公理化系統(tǒng)中的點、線、面是不加定義的基本概念。對于這些不加定義的基本概念，人教版七年級上冊課本中通過直觀描述或經(jīng)驗性知識來解釋的。面由“平靜的水面”、“建筑物的屋頂”而得。線由“流星劃過的光線”、“面和面相交”而得。點由“天上的星星”、“世界地圖上的城市”、“線與線相交”而得。

中學(xué)幾何教材中的一些幾何概念沒有定義或沒有精準(zhǔn)定義。中學(xué)中一些概念的嚴(yán)格定義非常復(fù)雜或者在中學(xué)知識中無法定義，因此不進行過多定義，而是借助學(xué)生的經(jīng)驗和圖形來理解。比如“重合”、“一方”、“長度”、“旋轉(zhuǎn)”等如需進行定義則需要用到合同公理、順序公理等中學(xué)沒有講授的公理，但是他們的幾何直觀性很強，通過圖形與經(jīng)驗學(xué)生就可以理解。再比如“面積”，在北師大、人教版、蘇教版三個中均未給出明確定義，而是通過比較表面大小來使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知，并未進行精準(zhǔn)定義。

2.3中學(xué)幾何教材的不獨立性

觀察圖1可得，中學(xué)幾何教材的公理分組比希爾伯特的公理分組多了線段公理、全等公理、求積公理。在希爾伯特的公理系統(tǒng)中，它們應(yīng)該是由公理推出的命題，但是由于它們證明復(fù)雜而事實顯而易見，便在中學(xué)中作為公理給出。同時中學(xué)幾何教材中出現(xiàn)將希爾伯特的多個公理結(jié)合為一個公理給出。

2.4中學(xué)幾何教材中公理的順序

希爾伯特的公理是按照邏輯順序排列的，而中學(xué)幾何教材中的公理系統(tǒng)是按照圖形復(fù)雜程度編排。比如先給出平行公理再講授三角形，可以較早解決直線的相互位置關(guān)系和三角形的外角定理。

從公理化角度看中學(xué)幾何教材有很多不嚴(yán)密的地方，但從學(xué)生接受的角度看，這種教材編排有很多優(yōu)越性。教師需在邏輯的嚴(yán)密性和學(xué)生的接受程度上找到平衡。

參考文獻：

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[4]徐利治著.數(shù)學(xué)方法論十二講[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2007：57-65.