再生核希爾伯特空間連續(xù)線性泛函的范數(shù)及其應用

王揄辰,楊士俊

(浙江工商大學 統(tǒng)計與數(shù)學學院,浙江杭州 310018)

§1 引言

再生核希爾伯特空間(Reproducing Kernel Hilbert Space,簡寫為RKHS)因其豐富的幾何內容和再生性而被廣泛地使用于統(tǒng)計學習,統(tǒng)計學,人工智能,人臉識別和初值問題等廣泛的領域.

因其廣泛的應用,對它本身的研究也是值得提倡的.本文旨在研究再生核希爾伯特空間上連續(xù)線性泛函的范數(shù)及其簡單的應用.

本文考慮再生核希爾伯特空間連續(xù)線性泛函的范數(shù),給出其簡單表示,從而以新視角得出王興華和韓丹夫[1],Gavrea 和Ivan[2](其實[2]的主要結果跟[1]的結果一樣)的文章中的結果.從而以新的視角解釋其結果,在這樣的框架下或許可以納入更多的內容,如初值問題的解.

§2 預備知識

設X是一非空點集,H是定義于X的實希爾伯特空間(本文的結論也適用于復希爾伯特空間的情形,為方便計,僅考慮實希爾伯特空間的情形),H具有再生核K(x,y),即

(i)?y ∈X,K(x,y)∈H,

(ii)?f ∈H和y ∈X,有

其中〈·,·〉H表示空間H上的內積.在不至于引起混淆的情形下,下文將以〈·,·〉代替〈·,·〉H.

§3 主要結果

設L是定義于再生核希爾伯特空間H[3]上的連續(xù)線性泛函,首先有

定理1設H是再生核希爾伯特空間,其再生核為K(x,y),L是定義于H上的連續(xù)線性泛函,則

且

其中LxK(x,y)=L(K(·,y)),即y固定,線性泛函L作用在x的函數(shù)K(x,y)上.

證由Fréchet-Riesz表示定理知,存在f0∈H,使得

且

所以由式(3)和再生性得

故由式(3)得L(f)=〈f(y),LxK(x,y)〉=〈f,L K(·,y)〉.且由式(4)有

注從證明中可以看出,L K(·,y)是再生核希爾伯特空間的“表示子”(representer).

現(xiàn)設n ∈N+,記

設H1={f ∈ACn?1[0,1]|f(n) ∈L2[0,1],f(i)(0)=0,i=0,1,···,n ?1.}.對m ∈N+,記

下面的命題3.1來自于Wahba[4].

命題3.1 記號如前.?f,g ∈H1,定義其內積為則H1是再生核希爾伯特空間,具有再生核

命題3.2 在命題3.1的意義下，希爾伯特空間H1的再生核可以表示為

證由命題3.1知,H1是再生核希爾伯特空間,且顯然

且?f ∈H1有

所以對于(?1)nG2n?1(x,·)∈H1,由(5)-(7)得到

以下內容是熟知的，為方便計，把它寫成命題3.3，參見Wahba[4].

命題3.3 令H=H0⊕H1(其中H0,H1的意義如前),其內積可以很自然地定義為

如此H0⊥H1,且K(x,y)=K0(x,y)+K1(x,y)是H的再生核.

如果進一步H0是某一有界線性泛函J的零化空間,則由前述定理1可得如下推論3.1.

引理3.1 設J是再生核希爾伯特空間H上的有界線性泛函，且

即?f ∈H0,J(f)=0,則

證?f ∈H,由定理1有

所以由定理1及其證明知‖J‖2=JyJxK1(x,y).

§4 應用

例4.1 Smale[5]討論分析算法效率和計算復雜性時涉及數(shù)值分析的諸多方面,特別地，他把數(shù)值積分的計算復雜性的理論框架建立于某一希爾伯特空間,而數(shù)值積分的計算復雜性就依賴于該希爾伯特空間的某一有界線性泛函的范數(shù).下面將說明,其作為數(shù)值積分框架的希爾伯特空間是再生核希爾伯特空間.

設H0,H1,H的意義同命題3.3，J是再生核希爾伯特空間H的有界線性泛函,且J(g)=0,?g ∈H0,則由命題3.2和推論3.1得到

這給出了王興華和韓丹夫[1]中引理1,從而可以給出Smale[5]意義下數(shù)值積分的計算復雜性.

例4.2 若J滿足命題3.2和推論3.1的條件，則

再由|J(f)|≤‖J‖‖f(n)‖得

這就是Gavrea和Ivan[2]的主要結論，其泛函證明參見崔峰-楊士俊[6].