解答不等式證明問題的常用方法

楊志霞

解答不等式證明問題的方法有很多種，如比較法、分析法、綜合法、換元法、反證法、判別式法等.如何選擇合適的方法來解題呢？下面，我們結(jié)合實例來探討一下?lián)Q元法、反證法、判別式法的應(yīng)用及適用范圍.

一、三角換元法

運用三角換元法證明不等式，需用三角函數(shù)式，如sinθ、cosθ等代替某些代數(shù)式，將不等式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式，借助三角函數(shù)的有界性證明結(jié)論.在換元的過程中，要注意確保定義域的等價性，并用θ的范圍來限制不等式的取值.

二、反證法

反證法是證明不等式問題的常用方法.運用反證法解題，需先假設(shè)與所要證明的結(jié)論相反的結(jié)論，即假設(shè)原不等式不成立，然后通過一系列的推理、運算，得出與之相矛盾的結(jié)論，從而證明最開始否定的結(jié)論是不成立的，這就說明原不等式成立.運用反證法證明不等式的關(guān)鍵在于推理出相矛盾的結(jié)論.

例2.設(shè)>0，>0，且+=a2（1）+b2（1）.證明：+<2與+<2不可能同時成立.

證明：假設(shè)+<2與+<2同時成立，

則有+++<4.

而由+=a2（1）+b2（1）得=1，

因為>0，>0，所以=1.

因為+≥2=2（當(dāng)且僅當(dāng)==1等號成立），

+≥2=2（當(dāng)且僅當(dāng)==1等號成立），

所以+++≥2+2=4（當(dāng)且僅當(dāng)a==1等號成立），

這與假設(shè)相矛盾，故假設(shè)錯誤.

所以+<2與+<2不可能同時成立.

本題若從正面入手，需討論三種情況：（1）+<2成立，+<2不成立;（2）+<2不成立，+<2成立;（3）+<2不成立，+<2不成立，解題的過程較為復(fù)雜.而采用反證法求解，只需從問題的反面著手，重點討論一種情況：+<2與+<2同時成立，再利用基本不等式便可證明結(jié)論.

三、判別式法

判別式法常用于解答一元二次方程問題.對于一元二次不等式問題，我們可根據(jù)題意構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)方程有解得出判別式△≥0，這樣便建立新的不等式，從而證明結(jié)論.

證明不等式的方法有很多種，同學(xué)們要學(xué)會結(jié)合問題對各種方法進行深入研究，熟悉每一種方法的適用范圍，這樣，當(dāng)再次遇到不等式證明題時，我們便能根據(jù)題意選擇與之相適應(yīng)的解題方法來解答，提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省南通市如皋市第二中學(xué)）