真實(shí)情境場域下的問題提出：ICME-14的多城故事與啟示

于國文 閆佳潔

【摘? ?要】第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-14）上，聚焦問題提出和問題解決的專題研究組匯聚了來自中國、美國、德國、意大利等國的學(xué)者。問題提出的情境可以是來自于數(shù)學(xué)學(xué)科的數(shù)學(xué)情境，也可以是來自學(xué)習(xí)者熟悉的真實(shí)世界的現(xiàn)實(shí)情境，這在本次ICME會議的相關(guān)研究中均有涉及。各國的研究啟發(fā)了后繼研究者對問題提出的情境設(shè)計：無論是數(shù)學(xué)情境還是現(xiàn)實(shí)情境，都不能超越學(xué)習(xí)者的理解與認(rèn)知;盡可能地創(chuàng)設(shè)真實(shí)世界的情境，密切聯(lián)系學(xué)習(xí)者與真實(shí)世界的關(guān)聯(lián);對真實(shí)情境下學(xué)生問題提出的表現(xiàn)應(yīng)秉承寬容的態(tài)度。

【關(guān)鍵詞】問題提出;ICME-14;真實(shí)情境;學(xué)生表現(xiàn)

今年7月，在華東師范大學(xué)召開的第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-14：The 14th International Congress on Mathematical Education）上，以問題提出和問題解決為主要研討對象的專題研究組（TSG：Topic Study Group），深入探討了包括中國、美國、德國、意大利等國學(xué)者對于相關(guān)議題的思考。閆佳潔等人在本刊2021年第9期《他山之石：ICME-14“問題提出”研究觀點(diǎn)綜述與教學(xué)啟示分析》一文中，從五個角度系統(tǒng)、全面地介紹了本次會議上關(guān)于問題提出的核心問題：某一場域下的問題提出、問題提出的表現(xiàn)研究、問題提出的診斷功能、問題提出的過程以及問題提出的教學(xué)策略。而真實(shí)情境中的問題提出是某一場域下的問題提出的典型代表。下面，筆者將帶著對問題情境以及學(xué)生表現(xiàn)的關(guān)注，分析與ICME-14問題提出相關(guān)的24個專題研究組報告、1個邀請報告以及1個中國特色主題報告。

一、何為問題情境以及ICME-14的情境分布

（一）問題情境

問題情境是問題所處的背景，早在2003年的PISA測評（Program for International Student Assessment）數(shù)學(xué)框架中，相關(guān)學(xué)者就給出了對于情境的界定，將其定義為具體數(shù)學(xué)任務(wù)所處的學(xué)生世界的一部分。

問題所處的情境，從其結(jié)構(gòu)來看，可以分為自由、半結(jié)構(gòu)化以及結(jié)構(gòu)化的問題情境。從其內(nèi)容來看，蔡金法教授指出，根據(jù)問題情境是否包含現(xiàn)實(shí)生活背景，可以將其劃分為現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情境，其中現(xiàn)實(shí)情境是指生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，而數(shù)學(xué)情境則豐富地涵蓋了數(shù)學(xué)的表達(dá)式、圖表、模式等方方面面。PISA 2022（原定于2021年進(jìn)行的測評已變更至2022年）數(shù)學(xué)框架指出，真實(shí)世界的情境可以分為四類：個人、職業(yè)、社會、科學(xué)的情境，并做出了解讀。

個人情境的問題聚焦于一個人其自己的、家庭的或同伴群體的活動上。該情境下的問題包括（但不限于）食物準(zhǔn)備、購物、游戲、個人健康、個人交通、體育、旅行、個人日程安排和個人理財?shù)取?/p>

職業(yè)情境的問題聚焦于勞動。該情境下的問題涉及（但不限于）測量、成本計算、訂購建筑材料、工資單和會計、質(zhì)量把控、調(diào)度和庫存、設(shè)計和架構(gòu)以及與工作相關(guān)的決策等。

社會情境的問題聚焦于團(tuán)體（地方的、國家的乃至全球的）。該情境下的問題涉及（但不限于）投票系統(tǒng)、公共交通、政府、公共政策、人口統(tǒng)計、廣告、國家統(tǒng)計和經(jīng)濟(jì)等。

科學(xué)情境的問題涉及將數(shù)學(xué)應(yīng)用于自然界以及與科學(xué)和技術(shù)相關(guān)的問題。該情境下的問題包括（但不限于）天氣或氣候、生態(tài)、醫(yī)學(xué)、空間科學(xué)、遺傳學(xué)、測量以及數(shù)學(xué)世界本身。純數(shù)學(xué)的問題也屬于科學(xué)情境的問題。

上述四種情境基本涵蓋了學(xué)生在應(yīng)對真實(shí)世界時產(chǎn)生的問題，以及培養(yǎng)21世紀(jì)公民素養(yǎng)過程中可能遇到的多種場景。

無論是數(shù)學(xué)情境還是現(xiàn)實(shí)情境，只要不超出學(xué)生的理解，都是真實(shí)情境。其中真實(shí)的數(shù)學(xué)情境溝通的是學(xué)習(xí)者和其知識范疇內(nèi)的數(shù)學(xué)世界;而所謂真實(shí)的現(xiàn)實(shí)情境則架起了學(xué)習(xí)者和真實(shí)世界之間的橋梁。我們鼓勵基于真實(shí)世界的真實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)和真實(shí)的問題提出以及問題解決，但并不否認(rèn)有一些數(shù)學(xué)知識可以更為自然地在數(shù)學(xué)情境之下喚醒學(xué)習(xí)者的認(rèn)知，促進(jìn)其高質(zhì)量的問題提出以及有效的問題解決。

（二）ICME-14問題提出研究的情境設(shè)置

在此次ICME會議上，多項(xiàng)研究都涵蓋了問題提出的情境這一重要的工具型內(nèi)容。表1從數(shù)學(xué)情境與現(xiàn)實(shí)情境的角度匯總了本次會議上問題提出的情境選取與背景設(shè)置。

由上表可知，包含專題研究組報告、邀請報告和中國特色主題報告的共計26個報告中，明確呈現(xiàn)問題提出任務(wù)設(shè)置所處情境的報告有18個，完整的問題情境共有28個。問題提出情境中數(shù)學(xué)情境最多，占總數(shù)的50%，在50%的現(xiàn)實(shí)情境中，個人情境占比最高，達(dá)情境總數(shù)的25%，其次是社會情境，比例為14.29%，職業(yè)情境和科學(xué)情境最少，在研究者所用的情境中分別為1個、2個。由此可見，以數(shù)學(xué)情境為場域，注重從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題，以及注重與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，從現(xiàn)實(shí)情境中提出問題，都是問題提出的主要情境設(shè)置。

（三）ICME-14學(xué)生提出問題的情境選取

本研究主要聚焦的是任務(wù)設(shè)置的情境背景。然而，即使是在純數(shù)學(xué)的情境之中，學(xué)生在提出問題的過程中也常常不由自主地賦予問題以“貼切”的情境，這些情境多與學(xué)生的生活息息相關(guān)。

如問題提出任務(wù)：請你寫出兩種不同類型的除法問題。

學(xué)生所提問題如下：

1.小剛的爸爸媽媽帶他去海邊玩，海灘的溫度為35.5攝氏度，小剛家的溫度是20攝氏度。這兩個地方的平均溫度是多少攝氏度？

2.佳佳超市有多種物品，爸爸帶來了60元。他能買什么？能買多少？

3.John有40個M&M豆，將它們分給4個朋友，每個朋友得到多少個？

可見，雖然研究者對問題提出任務(wù)的情境設(shè)置偏向數(shù)學(xué)性，但學(xué)生在提出問題時，習(xí)慣地將其轉(zhuǎn)化為自己熟悉的生活情境。此外，美國學(xué)者Fenqjen Luo等人對中美兩國五年級學(xué)生進(jìn)行問題提出測試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生提出問題時選取的情境大多也與生活息息相關(guān)，但同時也存在不同國家之間的差異。

表2是兩國學(xué)生提出問題時使用的問題情境，顯然將近30%的中國學(xué)生以水果為情境，32%的美國學(xué)生以食物為情境。此外，我們發(fā)現(xiàn)來自中國的學(xué)生使用人物情境的比例高于美國。有趣的是，一名中國學(xué)生特別具體地說到了兵馬俑，這可能也與學(xué)生的知識基礎(chǔ)、興趣愛好或者真實(shí)生活的經(jīng)歷有關(guān)。

二、數(shù)學(xué)情境及學(xué)習(xí)者表現(xiàn)

在本次ICME會議上研究者任務(wù)設(shè)置采用的28個情境中，數(shù)學(xué)情境占據(jù)了一半，有12個報告的14個任務(wù)采用了數(shù)學(xué)情境，這些學(xué)者來自于中國、美國、新加坡、匈牙利等國。其中有面向職前教師和在職教師的調(diào)研，也有面對小學(xué)生、中學(xué)生的調(diào)查，下文將聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)情境的案例，進(jìn)行情境和學(xué)習(xí)者表現(xiàn)的解析。

（一）數(shù)學(xué)情境示例及評析

梁淑坤在其題為《數(shù)學(xué)問題提出：學(xué)生學(xué)習(xí)、教師專業(yè)成長和家長參與》的邀請報告中，報告了一個數(shù)學(xué)情境的例子：

教師在黑板上貼出如下8個剪下的幾何圖形，要求二年級學(xué)生（30個學(xué)生被分成了7個小組）完成數(shù)學(xué)問題提出的任務(wù)。

這是一個由幾何圖組成的問題提出情境，這些情境既有曲線圍成的封閉圖形，又有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的三角形和四邊形，對于二年級的學(xué)生，給出的圖形非常規(guī)則。該數(shù)學(xué)情境涉及的知識既有在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的，也存在潛在的具有挑戰(zhàn)性的內(nèi)容，雖然情境中的信息很少，但是從圖形出發(fā)，可以自由發(fā)揮的空間很大，如分類、圖形的性質(zhì)、圖形的測量等。

（二）提問者表現(xiàn)及評析

在上述數(shù)學(xué)情境中，學(xué)生以小組為單位提出了如下問題：

1. 哪個形狀可以做出正方形？

2. 哪些形狀是相同的？請圈出它們。

3. 說出黑板上張貼的形狀。

4. 我們可以用這些形狀制作什么圖形？

5. 哪些卡片是相同的？

6. 哪些是正方形？哪些是長方形？

7. 下圖中有多少個圖形？

對于上述封閉的數(shù)學(xué)情境，學(xué)生的表現(xiàn)也相對“封閉”，即基本上仍在數(shù)學(xué)框架下提出問題。分析7組學(xué)生所提的7個問題，大致可以分為三類：一類是單一地聚焦某一個形狀（問題3、6）;一類是對整體進(jìn)行考慮，但是并未建立關(guān)聯(lián)（問題2、5）;還有一類是建立圖形之間的關(guān)聯(lián)（問題1、4、7），尤其是問題7，學(xué)生在原有問題基礎(chǔ)之上進(jìn)行了再創(chuàng)造，建構(gòu)起新的圖形，這對于低段學(xué)生而言是一個高質(zhì)量的新情境創(chuàng)造與問題提出。

后繼課堂教學(xué)中，學(xué)生圍繞著大家所提出的問題進(jìn)行了解答，并在問題解決的過程中澄清對問題的理解，展開交流與互動，積累知識與經(jīng)驗(yàn)。有些學(xué)生還在解決問題的過程中產(chǎn)生了新的問題，如在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生將問題1“哪個形狀可以做出正方形”修改為“哪些形狀可以做出正方形”。

不可否認(rèn)，二年級的學(xué)生在該數(shù)學(xué)情境下提出的有些問題是令人感到驚喜的，尤其在教師的正確引導(dǎo)下，學(xué)生從“一個”到“一類”的數(shù)學(xué)思維是值得深思的。同時，我們也看到二年級學(xué)生對于這一情境的認(rèn)知大多表現(xiàn)在分類層面，也許隨著年齡和數(shù)學(xué)知識的增加，學(xué)生對于這一情境能夠提出更多、更有價值的數(shù)學(xué)問題。

三、現(xiàn)實(shí)情境及學(xué)習(xí)者表現(xiàn)

PISA 2022數(shù)學(xué)框架中明確了要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)對真實(shí)世界挑戰(zhàn)的能力，在個人、職業(yè)、社會、科學(xué)等豐富的情境中進(jìn)行多元多樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究，進(jìn)而發(fā)展21世紀(jì)技能。需要說明的是，PISA框架中將純數(shù)學(xué)的問題作為科學(xué)情境的問題，為更清晰地區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)情境和現(xiàn)實(shí)情境，本研究中的科學(xué)情境不再包括純數(shù)學(xué)的情境。

（一）現(xiàn)實(shí)情境示例及評析

在《他山之石：ICME-14“問題提出”研究觀點(diǎn)綜述與教學(xué)啟示分析》一文中，閆佳潔等人已經(jīng)展示了來自美國WalkStem項(xiàng)目的情境以及德國學(xué)者Luisa-Marie Hartmann等人所提供的運(yùn)動場（Sports field）真實(shí)情境。這些情境是開放的社會情境（WalkStem項(xiàng)目中的情境）和密切關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)者個人經(jīng)驗(yàn)與體驗(yàn)（運(yùn)動場情境）的個人情境的典型代表，其中WalkStem項(xiàng)目中的一些具體情境還涉及科學(xué)情境，例如回聲室情境（Echo room）。下文選取張玲等人在探究問題提出過程中的數(shù)學(xué)交流時采用的現(xiàn)實(shí)情境案例。雖然該研究選取的樣本是新手教師以及專家教師，但是也不失為一個適用于小學(xué)高段的較好的真實(shí)情境的問題提出活動。

王先生決定購買一棟價值100萬元人民幣的房子。他首付人民幣20萬元，并同意按月付清余款。每月還款包括部分本金、按年利率8%計算的利息費(fèi)用以及每年人民幣5000元的保險費(fèi)。王先生通過與原業(yè)主交談發(fā)現(xiàn)，平均每月供暖費(fèi)用為200元。后來王先生給房子加了保溫材料，花了4000元，但安裝它的承包商保證可以減少15%的供暖費(fèi)用。

基于以上情境提出你的問題和想法。

該情境中數(shù)據(jù)非常豐富，也存在缺失之處，因此具有較大可以發(fā)揮的空間，可提出數(shù)學(xué)問題的角度豐富，如房子成本問題、保溫材料成本問題、還款時間、供暖費(fèi)用等。教師既可以從數(shù)據(jù)入手，提出簡單的計算問題，也可以從豐富的數(shù)據(jù)中找到明確的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而提出數(shù)學(xué)問題，因此開放性很高。

這一現(xiàn)實(shí)情境首先真實(shí)地溝通提問者與其所處的世界，不割裂地進(jìn)行知識的學(xué)習(xí)與應(yīng)用;其次，模糊數(shù)學(xué)與生活之邊界，在該情境下進(jìn)行數(shù)學(xué)的推理、用公式表示、使用和解釋數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)無處不在，為自然、自發(fā)地習(xí)得知識和積累經(jīng)驗(yàn)提供條件;最后，這是一個現(xiàn)實(shí)世界中真實(shí)存在的情境，且大多數(shù)人都有相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)與感知，這一情境除了關(guān)聯(lián)現(xiàn)實(shí)世界的問題解決以及數(shù)學(xué)學(xué)科的一些知識和經(jīng)驗(yàn)的積累之外，還涉及面向21世紀(jì)公民必備的關(guān)鍵素養(yǎng)的孕育，如財經(jīng)素養(yǎng)等。這是該情境承載的豐厚價值之一。

（二）提問者表現(xiàn)及評析

在上述現(xiàn)實(shí)情境中，專家教師提出的部分問題有：王先生需要多長時間才能支付房子的全部費(fèi)用呢？假設(shè)完成支付需要10年，他每個月需要支付多少錢？我們需要使用多長時間的保溫材料，使得保溫材料最具成本效益……新手教師提出的部分問題有：首付是否要退回？王先生總共需要支付多少錢……

該研究僅呈現(xiàn)了專家教師和新手教師提出的非常有限的一部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，并未呈現(xiàn)問題的具體數(shù)量和完整的表現(xiàn)，因此無法做出全面的分析。但張玲在ICME-14上的報告表明，新手教師和專家教師提出的問題存在顯著差異，新手教師提出的問題簡單且單一，在提出問題的過程中對于信息的理解和加工存在一定的障礙，而專家教師不僅能很好地平衡這些問題，還能夠考慮到問題的解決方法。該研究的對象是教師，小學(xué)生對這一問題情境會提出什么樣的數(shù)學(xué)問題還不得知，也許面向小學(xué)高年級學(xué)生的調(diào)研也存在著可能的差異，這有待進(jìn)行深入研究。

對于現(xiàn)實(shí)世界的真實(shí)情境的呼喚是時代發(fā)展的必然，也是培養(yǎng)學(xué)習(xí)者21世紀(jì)技能的剛需條件。上述真實(shí)可感的情境呈現(xiàn)的是當(dāng)代學(xué)習(xí)者需要面對的真實(shí)世界的一個視角，而真實(shí)的情境密切聯(lián)系學(xué)習(xí)者和真實(shí)世界，恰當(dāng)?shù)牟呗?、合適的表征、好的數(shù)學(xué)問題提出與解決的表現(xiàn)往往高度依托問題情境本身。凡此種種視角，都證明了真實(shí)情境的價值與必要性。而在這樣特定的真實(shí)情境中提出與解決問題的能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)。

四、啟示與思考

本次ICME會議匯集了豐富翔實(shí)的多國經(jīng)驗(yàn)，對于我國學(xué)者后續(xù)進(jìn)一步設(shè)置基于真實(shí)情境的任務(wù)，進(jìn)而提升學(xué)生問題提出能力提供了一定的借鑒與啟示。

（一）情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)當(dāng)基于學(xué)習(xí)者的體驗(yàn)

這種體驗(yàn)既可以來自于數(shù)學(xué)內(nèi)部，也可以來自于數(shù)學(xué)外部，總之是學(xué)生能夠建立聯(lián)系的事物、經(jīng)驗(yàn)、概念等。數(shù)學(xué)內(nèi)部體驗(yàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)的思維方式、數(shù)學(xué)的邏輯體系，數(shù)學(xué)外部體驗(yàn)聯(lián)動學(xué)生的好奇心，引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)走向深入。

（二）情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)盡可能指向真實(shí)世界

以問題引領(lǐng)學(xué)習(xí)時，如何更好地凸顯學(xué)生提出問題的價值，區(qū)分內(nèi)在好奇與“無問而問”的問題，區(qū)分學(xué)生問題和教師在課程教學(xué)中“期望”學(xué)生問的問題？可能現(xiàn)實(shí)情境能夠更好地解答這一問題，釋解我們的疑惑。

（三）對于在真實(shí)情境下學(xué)生問題提出的表現(xiàn)應(yīng)秉持包容的態(tài)度

在從問題提出到情境確定再到任務(wù)啟動的過程中，應(yīng)多給予學(xué)生正面評價，多認(rèn)可學(xué)生的可能表現(xiàn)，不能強(qiáng)制性地將教師意念和教材邏輯強(qiáng)加給學(xué)生，否則必然弱化學(xué)生問題提出的價值。而對于所謂“不好”的問題、簡單的問題乃至非數(shù)學(xué)學(xué)科的問題，也應(yīng)靈活處理，從肯定的角度進(jìn)行反饋。

五、結(jié)語

本文基于研究者對于問題提出中情境的關(guān)注，也基于當(dāng)今世界培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)對現(xiàn)實(shí)世界和未來世界能力的時代訴求，更基于學(xué)習(xí)者在真世界、真情境中提出和解決真問題的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，闡述了本次ICME會議上來自多個國家和地區(qū)的研究者的思考，以期為進(jìn)一步研究提供借鑒。然而，前路仍有諸多問題有待解答，探索與對話的腳步不能停下！

參考文獻(xiàn)：

[1] 蔡金法，許天來.數(shù)學(xué)問題提出的例子、類型和內(nèi)涵[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2019（Z1）：34-40.

[2] 于國文，陳鵬舉，馮啟磊，等.PISA數(shù)學(xué)測評內(nèi)容和情境演變及其啟示[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（4）：17-23.

[3] LUO F，YU Y，MEYERINK M. Division Problem Posing of Fifth Graders： A Cross-National Study in China and the United States[C]. Shanghai： 14th International Congress on Mathematical Education， 2021.

[4] LEUNG? S. Math problem posing： Students Learning， Teachers Professional Growth and Parental Involvement [C]. Shanghai： 14th International Congress on Mathematical Education， 2021.

[5] WANG M， WALKINGTON? C. Investigating Elementary School Students STEM Problem Posing： the WalkSTEM After-School Club [C]. Shanghai：14th International Congress on Mathematical Education， 2021.

[6] LUISA M H， STANISLAW S， JANINA K. Develop Your Own Problem！Problem Posing in Given Real-World Situations [C]. Shanghai： 14th International Congress on Mathematical Education， 2021.

[7] ZHANG L， CAI? J， SONG? N. A Framework for Examining Mathematical Communication in Problem Posing [C]. Shanghai：14th International Congress on Mathematical Education， 2021.

（1.北京教育科學(xué)研究院? ?100000

2.北京師范大學(xué)? ?100000）