平國強(qiáng)

【摘? ?要】“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)四大學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一，其教學(xué)的核心目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的空間觀念。教學(xué)實(shí)踐中，可以通過促進(jìn)學(xué)生幾何概念的理解、幫助學(xué)生建立幾何表象、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行空間想象活動(dòng)等具體策略的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

【關(guān)鍵詞】空間觀念;幾何概念;表象;空間想象

“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)四大學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有近30%的學(xué)習(xí)內(nèi)容與這一領(lǐng)域相關(guān)，其重要性毋庸置疑。圖形與幾何一方面是學(xué)生認(rèn)知的對(duì)象，學(xué)生要掌握與它相關(guān)的概念、知識(shí)與方法;另一方面，它又是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的工具和載體，對(duì)學(xué)生的發(fā)展有著極其重要的意義?！皥D形與幾何”教學(xué)的核心目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的空間觀念，尤其是空間想象能力。發(fā)展空間觀念是一個(gè)很高的目標(biāo)，實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生往往對(duì)知識(shí)方法掌握得較好，而空間想象能力卻整體比較薄弱。

一、空間觀念的內(nèi)涵及意義

“空間觀念”是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力之一，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)空間觀念的內(nèi)涵做了明確的描述：“空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系;描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化;依據(jù)語言的描述畫出圖形等?！币虼耍臻g觀念不僅包括圖形知識(shí)，更包括空間想象能力。

首先，對(duì)學(xué)生而言，現(xiàn)實(shí)世界的基本呈現(xiàn)方式是三維空間里的幾何形態(tài)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，有利于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)、理解所處的世界，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。其次，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的需要，是學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)解決問題的需要。同時(shí)，在數(shù)學(xué)的能力結(jié)構(gòu)中，空間觀念不可或缺，所以發(fā)展學(xué)生的空間觀念也是落實(shí)數(shù)學(xué)能力發(fā)展目標(biāo)、提升學(xué)生核心素養(yǎng)的必由之路。

二、空間觀念培養(yǎng)的基礎(chǔ)與重點(diǎn)

空間觀念的發(fā)展需要生活經(jīng)驗(yàn)、幾何概念、空間表象和基本能力結(jié)構(gòu)作為支撐。

生活經(jīng)驗(yàn)深刻影響學(xué)生空間觀念的發(fā)展。生活中各種形狀的物體是學(xué)生學(xué)習(xí)掌握“圖形與幾何”相關(guān)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)支持和模型源泉。教師要有意識(shí)地創(chuàng)造條件，讓學(xué)生多觀察實(shí)物，積累對(duì)實(shí)物形狀、特征及空間關(guān)系的認(rèn)識(shí)與理解，豐富頭腦中各種物體的表象經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)學(xué)生進(jìn)行空間想象時(shí)，這些表象經(jīng)驗(yàn)可以成為他們主動(dòng)調(diào)用、理解關(guān)系的有力支持。例如，學(xué)生如果對(duì)傳統(tǒng)的鐵皮水桶或長方體的鐵皮通風(fēng)管道有清晰的了解，那么解決相關(guān)問題就不會(huì)感到困難。然而，當(dāng)下學(xué)生普遍存在生活經(jīng)驗(yàn)不足的問題，導(dǎo)致空間表象的缺乏，影響了空間想象的實(shí)現(xiàn)。

數(shù)學(xué)表象是學(xué)生空間觀念發(fā)展的重要基礎(chǔ)。表象是指學(xué)生對(duì)幾何形體及結(jié)構(gòu)關(guān)系的知覺形象，具有簡潔性、數(shù)學(xué)性和一般性的特征。教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生對(duì)幾何形體的數(shù)學(xué)屬性、空間關(guān)系進(jìn)行表象建構(gòu)，如對(duì)圖形關(guān)系的表象建構(gòu)以及圖形轉(zhuǎn)換的表象建構(gòu)等。

對(duì)概念的深刻理解能促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。學(xué)生對(duì)圖形與幾何知識(shí)的掌握不是淺層的、單薄的，而是從對(duì)概念的記憶，到對(duì)概念的內(nèi)涵、概念與概念之間關(guān)系的理解，再到問題解決的豐富的、多層次的能力結(jié)構(gòu)。歸根結(jié)底，空間觀念是高階思維能力，它的培養(yǎng)應(yīng)從圖形與幾何的概念教學(xué)開始。

空間觀念培養(yǎng)的重點(diǎn)是發(fā)展空間想象能力。就具體內(nèi)容來說，應(yīng)關(guān)注有序思考能力、直觀表征能力、空間推理能力、過程想象能力、關(guān)系轉(zhuǎn)換能力、結(jié)構(gòu)想象能力等各種能力的發(fā)展，這些關(guān)注應(yīng)貫穿于圖形與幾何教學(xué)的全過程。

三、空間觀念培養(yǎng)的實(shí)踐策略

要體現(xiàn)立足能力、發(fā)展素養(yǎng)的“圖形與幾何”教學(xué)，達(dá)成空間觀念培養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)，應(yīng)從“重視幾何概念的理解、重視幾何表象的建立、突出空間想象活動(dòng)”等層面去落實(shí)。

（一）重視幾何概念的理解

重視幾何概念的理解，重在讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，把握概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

數(shù)學(xué)概念是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征的提煉、概括與表征，有著豐富的內(nèi)涵與層次。例如，學(xué)習(xí)梯形的概念“只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫作梯形”，學(xué)生需要從兩個(gè)方面理解：一是“梯形是四邊形”，也就是梯形的特征是在四邊形這個(gè)前提下描述的;二是“只有一組對(duì)邊平行”，這是明確梯形不同于別的四邊形的本質(zhì)特征。理解梯形的概念，這兩個(gè)層次缺一不可，不能只關(guān)注一個(gè)方面就下結(jié)論，這是理解“屬+種差”這類數(shù)學(xué)概念時(shí)必須要注意的。再如，長方體的體積計(jì)算可以用“底面積×高”的方法，學(xué)生需要理解“長×寬×高”的實(shí)質(zhì)是指長、寬、高上分別可以放的體積單位的個(gè)數(shù)的乘積?！暗酌娣e”的實(shí)質(zhì)是底面上可以擺（一層）的體積單位的個(gè)數(shù)，“高”的實(shí)質(zhì)是可以擺的體積單位的層數(shù)，并且長方體的每一個(gè)面和與之垂直的棱都可以看作是“底面”和“高”。學(xué)生不能僅從字面上形式化地理解“底面”和“高”，要在體會(huì)體積算法的實(shí)質(zhì)是求體積單位總數(shù)的基礎(chǔ)上，從不同角度去理解“每一層”和“層數(shù)”的本質(zhì)含義。

學(xué)生能夠在幾何概念之間建立正確、合理、清晰的關(guān)系是空間想象能力產(chǎn)生的前提。教學(xué)時(shí)教師要用聯(lián)系的觀點(diǎn)、整體的視角處理教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)教學(xué)進(jìn)程和環(huán)節(jié)，給學(xué)生提供有聯(lián)系的教學(xué)內(nèi)容、有結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)素材，以此幫助學(xué)生形成有關(guān)聯(lián)的幾何概念體系。例如，在“圖形與幾何”教學(xué)中，“高”是一個(gè)重要的概念。但教材中“高”是分散在不同圖形的認(rèn)識(shí)中呈現(xiàn)的。學(xué)生從“互相垂直”的學(xué)習(xí)到三角形“高”的認(rèn)識(shí)，要?dú)v時(shí)兩個(gè)學(xué)期。學(xué)習(xí)歷程的斷斷續(xù)續(xù)，會(huì)讓學(xué)生對(duì)這一概念的理解缺少整體與本質(zhì)的把握。如果教師在教學(xué)“梯形的高”或“三角形的高”時(shí)，能夠?qū)Α案摺薄包c(diǎn)到直線的距離”“互相垂直”等知識(shí)做一個(gè)梳理溝通（如圖1），讓學(xué)生理解這些概念之間內(nèi)在的一致性，就能促進(jìn)學(xué)生更好地把握知識(shí)之間的聯(lián)系，形成對(duì)概念本質(zhì)與整體的認(rèn)識(shí)。

重視幾何概念的理解，還要讓學(xué)生經(jīng)歷思維的變式，這是促進(jìn)理解走向深刻的重要途徑。所謂的思維變式，是指在學(xué)生基本掌握幾何概念后，通過設(shè)計(jì)新的問題情境，增加非本質(zhì)屬性的干擾，讓學(xué)生在進(jìn)行分析與判斷的過程中，進(jìn)一步加深對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解。例如，學(xué)習(xí)“梯形”時(shí)，在學(xué)生知道了梯形的概念，經(jīng)歷了概念鞏固、基本圖形的判斷等思維活動(dòng)后，教師呈現(xiàn)類似以下的變式問題（如圖2）讓學(xué)生進(jìn)行分析與判斷，以促進(jìn)其對(duì)梯形概念的深入理解。

下圖中ABCD是平行四邊形，EFG是三角形，請(qǐng)找出圖中的梯形，并說出理由。

這樣的問題情境促使學(xué)生在判斷時(shí)必須基于概念的本質(zhì)進(jìn)行邏輯的思考，而不是停留在圖形標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下進(jìn)行簡單的判斷。這本質(zhì)上是將概念的學(xué)習(xí)提升到了應(yīng)用的水平，促進(jìn)學(xué)生的思維向高階攀升。

（二）重視幾何表象的建立

幾何表象是空間觀念的基礎(chǔ)。有效的操作活動(dòng)能促進(jìn)學(xué)生空間表象的建立。

教師應(yīng)通過活動(dòng)促使學(xué)生將幾何概念與生活經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，讓生活經(jīng)驗(yàn)支持表象的形成。有經(jīng)驗(yàn)支持的幾何表象能夠長久地保留在學(xué)生的頭腦中，并且學(xué)生在解決問題時(shí)能實(shí)現(xiàn)有效的提取與應(yīng)用，這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)具有意義。例如，在學(xué)習(xí)常用的面積單位和體積單位時(shí)，學(xué)生要嘗試自己舉例，找到與“1平方分米”大小相似的物體的面，與“1立方厘米”“1立方分米”……大小相似的物體。學(xué)生借助自己熟悉的物體形成對(duì)這些單位的表象，這些表象會(huì)進(jìn)一步成為學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，成為其進(jìn)行思考、想象的有力支持。

教師要設(shè)置任務(wù)讓學(xué)生對(duì)幾何形體進(jìn)行多角度觀察，經(jīng)歷過程性操作活動(dòng)，用體驗(yàn)促進(jìn)表象的建立。學(xué)生由此擁有關(guān)于形體對(duì)象的直接經(jīng)驗(yàn)，能對(duì)幾何形體的特征和要素有更全面的理解與把握。例如，學(xué)生知道了長方體、正方體的特征，但這僅僅是擁有了相關(guān)的知識(shí)。要深度理解這些特征，形成相應(yīng)表象，還需要讓學(xué)生經(jīng)歷類似下面的活動(dòng)。

用提供的材料，你認(rèn)為可以搭出怎樣的長方體（正方體）？先寫出你能搭的長方體（正方體）的特征和所需的材料，再搭出來。

[材料（小棒和足夠的接頭） 我能搭出的長方體（正方體） 我需要的材料 3cm 4cm 5cm 7cm 1 長：? ?寬：? ?高： 6根 3根 12根 4根 2 3 ]

這樣的活動(dòng)使學(xué)生的操作有目標(biāo)，實(shí)踐有藍(lán)圖，想象有支持，對(duì)表象的建立有很好的作用。

再如，按照教材的編排，認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐是分頭學(xué)習(xí)的。教師教學(xué)時(shí)可以進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，讓學(xué)生同時(shí)認(rèn)識(shí)圓柱與圓錐，進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)：觀察比較它們的整體特征、它們的底面、它們的側(cè)面、它們的高、它們的側(cè)面展開形狀……多角度、整體化和對(duì)比性的觀察，既有利于學(xué)生理解與掌握?qǐng)A柱、圓錐的特征，又有利于他們形成表象。

（三）突出空間想象活動(dòng)

空間想象活動(dòng)是發(fā)展空間觀念的重要途徑，它是在理解概念、建立表象基礎(chǔ)上的更高水平的思維活動(dòng)。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行空間想象，需要有效的載體，即教師要提供良好的情境或新穎的材料，這是促進(jìn)學(xué)生空間想象的驅(qū)動(dòng)力。

首先，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行空間推理活動(dòng)。推理是數(shù)學(xué)思維的基本形式之一，空間推理是以空間形體和空間關(guān)系為要素的推理活動(dòng)，是空間觀念的重要內(nèi)涵。

例如：圖（圖3）中左邊是一副三角尺中的一塊，右邊是一個(gè)等腰三角形。那么∠1是多少度？

這個(gè)問題并不難，但它是一個(gè)典型的空間推理問題，學(xué)生需要根據(jù)已知的數(shù)學(xué)信息和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)一系列關(guān)系的轉(zhuǎn)換，得出∠1的度數(shù)。這個(gè)過程有效地促進(jìn)了學(xué)生空間想象能力的發(fā)展。

再如：在圖4-1的格點(diǎn)中找一個(gè)點(diǎn)D，使它與已有的A、B、C三點(diǎn)連成的四邊形是梯形，可以得到幾個(gè)不同的梯形？

這個(gè)問題的推理過程就是一個(gè)基于想象的過程。要得到結(jié)果并不困難，但學(xué)生要在推理過程中進(jìn)行有序思考，這才是這個(gè)問題解決的重要價(jià)值所在。分類思考是有序的保障，根據(jù)梯形的概念“只有一組對(duì)邊平行的四邊形”，可以把梯形分成兩類：一類以BC、AD為底，AB、DC為腰;另一類以AB、DC為底，AD、BC為腰。由此可以快速有序地找到兩類梯形的所有情況（如圖4-2）。

其次，要引導(dǎo)學(xué)生基于想象進(jìn)行空間轉(zhuǎn)換。空間轉(zhuǎn)換能力是空間觀念的重要表現(xiàn)，包括空間形體二維與三維的轉(zhuǎn)換、空間形體的等積變換、數(shù)與形的互譯轉(zhuǎn)換等?？臻g轉(zhuǎn)換是解決“圖形與幾何”問題時(shí)常用的一種體現(xiàn)高水平思維的策略與方法，能進(jìn)行空間轉(zhuǎn)換是學(xué)生空間想象能力的重要體現(xiàn)。如人教版五年級(jí)下冊(cè)中有這樣一道習(xí)題（如圖5）。

從完成習(xí)題的角度看，通過逐塊計(jì)算面積，再求出紅色面和黃色面的總面積，即可達(dá)到鞏固面積計(jì)算的目的。但仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)所有長方形的寬都是40cm，如果從培養(yǎng)空間觀念的角度看這道題，就可以引導(dǎo)學(xué)生展開想象：將部分紅色的面向上或向兩邊平移，組合成一些更大的長方形，再從整體上計(jì)算紅色面的面積，即（65×2+40×3）×40=10000（cm2），同樣黃色部分也可以這樣思考。這就既達(dá)到了鞏固計(jì)算面積方法的目的，又充分發(fā)掘和利用了資源，讓學(xué)生進(jìn)行空間轉(zhuǎn)換想象，促進(jìn)了學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

又如：一種食品包裝，長方體紙盒內(nèi)正好放入2個(gè)圓柱形食品罐。那么，圓柱形食品罐的體積占了長方體紙盒體積的百分之幾？

解答本題可以經(jīng)歷以下轉(zhuǎn)換過程（如圖6）。

這是利用有效信息和空間轉(zhuǎn)換，將三維體積問題轉(zhuǎn)化成二維面積問題的解題方法，在這個(gè)過程中，空間轉(zhuǎn)換能力起到了關(guān)鍵的作用。下面的例子（如圖7）更是高水平等積變換能力的典型表現(xiàn)。

求下面甲、乙兩圖中陰影部分的面積。

通過頂點(diǎn)的平移，兩個(gè)不同的較復(fù)雜的問題（圖甲、乙）被轉(zhuǎn)化成了一個(gè)相同的簡單問題（圖丙）。這樣的高水平解題策略方法的背后，是空間觀念的有力支持。

最后，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行空間結(jié)構(gòu)的想象，分析并構(gòu)建空間形體間的關(guān)系。空間結(jié)構(gòu)即空間形體或空間要素之間的聯(lián)系，它是一種整體的思維想象，而不僅僅是一個(gè)概念表象或一種策略方法。幾何形體之間變化關(guān)系的想象是空間結(jié)構(gòu)想象的重點(diǎn)。

例如以下的問題（如圖8），就是在幾何形體之間的結(jié)構(gòu)發(fā)生變化以后，通過想象分析新舊形體之間的關(guān)系來解決的。

將圓柱作如下操作，其表面積會(huì)發(fā)生怎樣的變化？為什么？

顯然，如果想象不出新的形體與原形體之間的關(guān)系，就無法正確解決這些問題。

比如：有一張長10厘米，寬4厘米的長方形紙（如圖9-1），把它一頭折起以后成圖9-2的形狀放在桌子上。那么，桌子被蓋住部分的面積是多少？

“桌子被蓋住的部分”是一個(gè)多邊形，要求出這個(gè)多邊形的面積，需要對(duì)它與長方形之間的關(guān)系、構(gòu)成這個(gè)多邊形的幾何要素進(jìn)行清晰的想象與分析：多邊形是長方形通過怎樣的操作得到的？長方形的長、寬與多邊形的每條邊之間有怎樣的關(guān)系？多邊形可以看作是哪些圖形的組合？這些圖形的特征、信息是否清楚？多邊形面積與長方形面積之間又有怎樣的關(guān)系……把這些問題分析清楚以后，問題便迎刃而解：（1）多邊形面積=直角三角形面積+銳角三角形面積+梯形面積;（2）多邊形面積=直角三角形面積+梯形面積;（3）多邊形面積=梯形面積+梯形面積;（4）多邊形面積=長方形面積-銳角三角形面積……這些思路與方法，都基于對(duì)空間結(jié)構(gòu)與關(guān)系的想象。

空間結(jié)構(gòu)想象的另一個(gè)重要方面是進(jìn)行空間構(gòu)造，以體會(huì)空間關(guān)系的變與不變以及影響變化的關(guān)鍵要素。

例如：一個(gè)模型，從正面看、右面看得到的形狀分別如圖10所示，那么你能搭出這個(gè)模型嗎？

對(duì)學(xué)生的作品進(jìn)行展示比較后開展討論交流：為什么這些作品從正面和右面看都是這樣的形狀？（如圖11）我們能看到的是什么？不能看到的是什么？如果要使搭出來的模型是唯一的，還需要什么信息？請(qǐng)你自己再增加一個(gè)信息并搭出模型……這樣的活動(dòng)，有助于學(xué)生理解影響空間結(jié)構(gòu)關(guān)系的要素有哪些，在特定條件下影響空間結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵要素是什么等內(nèi)容。這對(duì)學(xué)生空間觀念的發(fā)展、解決問題能力的提高都具有重要影響。

總之，空間觀念的形成不是一蹴而就的事情。通過促進(jìn)學(xué)生理解幾何概念、幫助學(xué)生建立幾何表象、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行空間想象活動(dòng)等具體策略的運(yùn)用，可有效提升學(xué)生的空間觀念。

（浙江省杭州市基礎(chǔ)教育研究室? ?310003）