金 鵬

(遼寧工程職業(yè)學(xué)院 電氣工程系，鐵嶺 112008)

0 引 言

無刷直流電機(jī)(以下簡稱BLDCM)具有體積小、質(zhì)量輕、出力大、響應(yīng)快、速度高、慣量小、轉(zhuǎn)動平滑、力矩穩(wěn)定的優(yōu)點[1]，并且容易實現(xiàn)智能化控制，現(xiàn)在越來越多地被作為精密控制電機(jī)使用，如機(jī)械手臂關(guān)節(jié)電機(jī)等[1]。但BLDCM是一個典型的多變量、非線性、強(qiáng)耦合、時變的復(fù)雜系統(tǒng)[1]，難以建立精確模型。普通PID控制必須建立精確的數(shù)學(xué)模型，并且參數(shù)調(diào)節(jié)難度大，控制精度不高[1]。而一些智能PID算法往往編程復(fù)雜，并且需要大量的參數(shù)調(diào)節(jié)經(jīng)驗，在實際的工程應(yīng)用中可行度不高。

分?jǐn)?shù)階PIλDμ(以下簡稱FOPID)控制器是近年來提出的一種新型控制器，具有kp、ki、kd、λ、μ5個調(diào)節(jié)參數(shù)，因此，控制精度和靈活度更高[1]。目前，有學(xué)者提出通過模糊算法或復(fù)雜智能算法調(diào)節(jié)5個參數(shù)[2-4]，但這些調(diào)節(jié)方法需要大量的參數(shù)經(jīng)驗，并且迭代計算復(fù)雜。

本文結(jié)合混沌算法和雙態(tài)粒子群算法(以下簡稱BPSO)，形成CBPSO算法，利用CBPSO在線調(diào)節(jié)FOPID控制器的參數(shù)。仿真實驗及電機(jī)轉(zhuǎn)速測試結(jié)果表明：基于CBPSO-FOPID算法，BLDCM伺服系統(tǒng)獲得更好的動態(tài)性能和魯棒性能。

1 BLDCM數(shù)學(xué)模型

在忽略電機(jī)損耗及電樞反應(yīng)對氣隙磁場影響的情況下，將整個BLDCM看作一個整體，則BLDCM的電壓平衡方程[5]：

(1)

式中：u為電樞電壓；i為電樞電流；r0為相電阻,r0=2r；L0為相電感，L0=2(L-M)；ke為反電動勢系數(shù)；ω為電機(jī)轉(zhuǎn)速[5]。

轉(zhuǎn)矩平衡方程[5]：

(2)

Te=kti

(3)

式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為轉(zhuǎn)動慣量；B為粘滯摩擦系數(shù)；kt為轉(zhuǎn)矩系數(shù)[5]。

2 FOPID控制器設(shè)計

BLDCM控制系統(tǒng)采用雙閉環(huán)控制系統(tǒng)。內(nèi)環(huán)為電流環(huán)，采用PI控制器；外環(huán)為轉(zhuǎn)速環(huán)，是本文研究重點，采用FOPID控制器。

2.1 FOPID控制器整數(shù)化

Podlubony在分?jǐn)?shù)階微積分的基礎(chǔ)上提出了FOPID微分方程[1-6]：

u(t)=Kpe(t)+KiDi-λe(t)+KdDdμe(t)

(4)

式中：λ>0，μ>0。

(5)

得出FOPID的傳遞函數(shù)：

G(s)=Kp+Kis-λ+Kdsμ

(6)

λ和μ可以取大于0的任意實數(shù)[7]，因此，F(xiàn)OPID具更高的控制精度、靈活度及無限維特性[1-6]，但不能直接應(yīng)用于過程控制中。現(xiàn)廣泛采用的方法是利用Oustaloup濾波算法在有限頻域段(wb,wh)內(nèi)[7]，通過頻域擬合的方法將sα近似成整數(shù)階傳遞函數(shù)的形式[7]。但此方法在高頻區(qū)域近似效果不好[2]，這里采用改進(jìn)Oustaloup濾波算法[5]：

(7)

2N+1為濾波器階次，wh及wb分別為(wb,wh)的上、下限，且b=10,d=9。

為證明FOPID控制器近似為PID控制器的近似度，設(shè)FOPID控制器傳遞函數(shù)：

Oustaloup算法近似整數(shù)階傳遞函數(shù)：

改進(jìn)Oustaloup算法近似整數(shù)階傳遞函數(shù)：

在頻段(101,104)，圖1為G1(s)與G(s)的頻率特性對比圖，圖2為G2(s)與G(s)的頻率特性對比圖?？梢钥闯?，改進(jìn)Oustaloup濾波算法在高頻段[7](103,104)的近似度要明顯高于Oustaloup濾波算法。

圖1 Oustaloup頻率特性圖2 改進(jìn)Oustaloup頻率特性

2.2 FOPID控制器參數(shù)尋優(yōu)

FOPID共有5個參數(shù)需要尋優(yōu)求解。針對PSO在迭代計算的后期，收斂速度變慢、易于陷入局部極值的問題，本文結(jié)合混沌算法和BPSO，形成CBPSO算法。首先，通過Tent混沌映射初始化粒子群的位置，使粒子群隨機(jī)、均勻分布在搜索空間內(nèi)[1-7]，然后利用雙態(tài)粒子群算法對5個參數(shù)同時進(jìn)行搜索。Tent混沌映射如下：

xk+1=1-2|xk-0.5| 0≤xk≤1

(8)

(1)BPSO

捕食狀態(tài)：雙態(tài)粒子群算法將粒子群分為兩個不同行為狀態(tài)的子群——探索群體和捕食群體[8]。在粒子群迭代初期，所有粒子處于捕食狀態(tài)。捕食狀態(tài)的粒子群行為狀態(tài)與普通粒子群算法一樣。設(shè)粒子規(guī)模為M，搜索空間維數(shù)為D，種群的最大迭代次數(shù)為T，粒子群中粒子i(1≤i≤M)的位置為Xi=(xi1,…,xid)，速度為Vi=(vi1,…,vid)，它根據(jù)自己的個體最優(yōu)值pid和全局最優(yōu)值pgd在D維空間中搜索得出最優(yōu)解，粒子i的速度和位置按式(9)和式(10)更新下一代的速度和位置[1]。

vid(t+1)=ω(t)·vid(t)+r1·c1·[pid(t)-

xid(t)]+r2·c2·[pgd(t)-xid(t)]

(9)

xid(t+1)=xid(t)+vid(t+1)

(10)

式中：t為粒子i的迭代次數(shù)；c1，c2為粒子i的學(xué)習(xí)因子；r1，r2分別為(0,1)間的隨機(jī)數(shù)。ω(t)為粒子i的慣性權(quán)重，本文采用自適應(yīng)慣性權(quán)重，如下式：

(11)

式中：ωmax，ωmin分別為慣性權(quán)重的最大值和最小值；fi為粒子i的適應(yīng)度，favg為當(dāng)前粒子群適應(yīng)度平均值；fg為當(dāng)前粒子群最優(yōu)適應(yīng)度。本文選取BLDCM系統(tǒng)指標(biāo)函數(shù)JITAE為粒子群適應(yīng)度函數(shù)，即：

(12)

探索狀態(tài)：在粒子群尋優(yōu)過程中，若算法陷入局部最優(yōu)值，保留一部分優(yōu)良的粒子繼續(xù)以捕食狀態(tài)搜索，其余大部分粒子轉(zhuǎn)為探索狀態(tài)，在搜索空間內(nèi)重新初始化，繼續(xù)尋優(yōu)，這部分粒子位置：

(13)

速度更新公式和位置更新公式：

xkd(t+1)=xkd(t)+vkd(t+1)

(14)

vkd(t+1)=ω·sign(r)·vkd+c1·r1·

[pkd(t)-xkd(t)]+c2·r2·

[pgd(t)-xkd(t)]+c3·u(0,1)·

[xkd(t)-hpgd(t)]

(15)

(16)

式中：sign(r)為符號函數(shù)；c3為(0,1)之間隨機(jī)數(shù)；u(0,1)為高斯分布函數(shù)；hpgd為搜索狀態(tài)的粒子在解集空間內(nèi)的全局最優(yōu)值。

在迭代計算中，根據(jù)式(17)判斷粒子群是否陷入局部最優(yōu)值，若連續(xù)5次δ(t)≤0.1，即粒子群適應(yīng)度基本無變化，則認(rèn)為算法陷入局部最優(yōu)值。

(17)

另外，從上述分析過程也可看出，BPSO是兩個階段的迭代算法，算法的編程難度不高，便于應(yīng)用于實際工程領(lǐng)域。

(2)算法流程：

步驟1：粒子群參數(shù)初始化。

步驟2：按式(8)初始化粒子位置和速度，生成FOPID的5參數(shù)的初始位置序列。

步驟3：按式(9)、式(10)、式(12)更新粒子位置、速度和適應(yīng)度。

步驟4：按式(17)計算δ(t)。若算法陷入局部極值，跳步驟5，否則執(zhí)行步驟7。

步驟5：按適應(yīng)度排序粒子，性能較好的30%粒子以捕食狀態(tài)行動，按式(9)、式(10)更新速度和位置，其余粒子轉(zhuǎn)為探索狀態(tài)，按式(14)、式(15)、式(12)更新位置、速度和適應(yīng)度。

步驟6：分別計算捕食狀態(tài)的和探索狀態(tài)的全局最優(yōu)值，比較后更新全局最優(yōu)值。

步驟7：算法迭代次數(shù)達(dá)到T，尋優(yōu)結(jié)束，求得Kp、Ki、Kd、λ、μ全局最優(yōu)解。

3 仿真實驗

在MATLAB平臺上對本文算法進(jìn)行仿真。電機(jī)參數(shù)設(shè)置如下：額定電壓UN=36 V，額定轉(zhuǎn)矩TN=0.23 N·m，定子相繞組電阻R=0.8 Ω，定子相繞組有效電感L-M=1.5 mH，轉(zhuǎn)動慣量J=0.001 05 kg·m2，極對數(shù)p=4。粒子種群參數(shù)設(shè)置如下：M=100，T=100，D=5，c1=2、c2=2，搜索空間上限G1=[50 50 50 2 2]、下限G2=[0 0 0 0 0]。

(1)CBPSO與PSO收斂性能對比

當(dāng)速度環(huán)采用FOPID算法時，分別用CBPSO、BPSO搜索FOPID的5個參數(shù)，適應(yīng)度收斂曲線如圖3所示。從圖3可以看出，CBPSO收斂速度更快，ITAE性能指標(biāo)更優(yōu)。

圖3 適應(yīng)度收斂曲線

(2)系統(tǒng)性能對比

速度環(huán)分別采用普通PID、普通FOPID、PSO-FOPID、CBPSO-FOPID算法，設(shè)定轉(zhuǎn)速為2 000 r/min，在t=2.5 s時，加入負(fù)載TL=0.2 N·m。對比4種算法下BLDCM系統(tǒng)的動態(tài)性能及抗干擾性能。圖4為速度響應(yīng)曲線，圖5為電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線，圖6為相電流曲線。

圖4 電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖5 電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線

圖6 電機(jī)相電流響應(yīng)曲線

從圖4可以看出：普通PID算法下，BLDCM產(chǎn)生了較大的超調(diào)；普通FOPID算法下，BLDCM也產(chǎn)生了較小幅度的超調(diào)；PSO-FOPID和CBPSO-FOPID算法下，系統(tǒng)無超調(diào)，但CBPSO-FOPID的響應(yīng)速度更快，在系統(tǒng)遇到擾動時，CBPSO-FOPID的抗干擾能力更強(qiáng)。

從圖5和圖6可以看出，當(dāng)系統(tǒng)加入負(fù)載時，CBPSO-FOPID算法下，BLDCM的電磁轉(zhuǎn)矩及相電流的波動最小，再次證明CBPSO-FOPID的抗干擾能力更強(qiáng)。

4 實驗測試

實驗測試采用TMS320F28335電機(jī)專用DSP處理器[7]作為無刷直流伺服電機(jī)的主控制器。電機(jī)參數(shù)與仿真參數(shù)一致。實驗時，設(shè)置轉(zhuǎn)速為700 r/min。在2.5 s施加負(fù)載轉(zhuǎn)矩0.2 N·m?；赑ID、FOPID、PSO-FOPID、CBPSO-FOPID算法的電機(jī)轉(zhuǎn)速如圖7所示，性能指標(biāo)對比如表1所示。

表1 算法性能指標(biāo)

圖7 電機(jī)轉(zhuǎn)速曲線

通過圖7及表1可以看出：PID和FOPID都產(chǎn)生了不同程度的超調(diào)，但PID的穩(wěn)態(tài)誤差明顯較大，擾動量也比PID大；PSO-FOPID和CBPSO-FOPID無超調(diào)，調(diào)節(jié)時間短、擾動量也很??；4種算法中，CBPSO-FOPID的性能指標(biāo)最好。實驗結(jié)果再次證明，本文算法具有更優(yōu)越的動態(tài)性能及魯棒性能。

5 結(jié) 語

通過前文分析可以看出，改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階控制器可以有效提高伺服系統(tǒng)的控制精度、靈活性和抗干擾性。并且通過仿真及實測結(jié)果可以得出以下結(jié)論：(1)利用CBPSO尋優(yōu)FOPID控制器參數(shù)時，尋優(yōu)速度快，控制精度較高，魯棒性較好。CBPSO-FOPID控制器與PID控制器、FOPID控制器、PSO-FOPID控制器相比，具有更高的性能指標(biāo)。(2)CBPSO算法收斂速度快，避免了普通PSO算法陷入局部極小值的缺陷，搜索的解值更優(yōu)。