3D打印氧化鋯復(fù)合漿體的MRT LBM流動(dòng)分析

孫健華，顧 海，2*，姜 杰，2，李 彬，2

(1.南通理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南通 226002;2.南通理工學(xué)院江蘇省3D打印裝備及應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)建設(shè)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南通 226002)

1 引言

陶瓷材料已廣泛應(yīng)用在諸如電子、航空、藝術(shù)、建筑、生工以及化工等重要的工業(yè)領(lǐng)域，皆是由于此類材料具備穩(wěn)定好，抗腐蝕以及耐高溫等其它材料無法取代的優(yōu)點(diǎn)，但是成形難的特點(diǎn)限制了它的進(jìn)一步應(yīng)用發(fā)展。近些年來，增材制造技術(shù)的出現(xiàn)為陶瓷粉末材料的成形提供一種新的思路。目前可應(yīng)用于陶瓷材料中的3D打印工藝主要包括光固化成形(Stereo Lithography Apparatus，SLA)[1-3]、噴射打印成形(Ink Jet Printing， IJP)[4]、三維印刷成形(Three-dimensional Printing，3DP)[5-6]、選區(qū)激光燒結(jié)成形(Selective Laser Sintering， SLS)[7-8]、選區(qū)激光熔化成形(Selective Laser Melting， SLM)[9-10]、熔融沉積成形(Fused Deposition Modeling， FDM)[11]以及漿料直寫成形(Direct Ink Writing， DIW)[12]等六類主流工藝。根據(jù)工藝復(fù)雜性，除DIW工藝外，其余四種工藝均需要依賴激光器實(shí)現(xiàn)成形。在目前的DIW中，陶瓷漿料的擠出普遍采用的是類似注射器形式結(jié)構(gòu)，利用氣壓或液壓進(jìn)行驅(qū)動(dòng)實(shí)現(xiàn)漿體擠出，此種結(jié)構(gòu)占用體積大，結(jié)構(gòu)復(fù)雜。除了此類擠出形式外，螺桿擠出形式作為一種常見形式已有效應(yīng)用在流體加工、食品運(yùn)輸?shù)认嚓P(guān)領(lǐng)域，這里將選用此結(jié)構(gòu)替換原有的擠出結(jié)構(gòu)。

為了進(jìn)一步分析陶瓷復(fù)合漿料在螺桿螺道內(nèi)的流動(dòng)，擬采用介觀數(shù)值模擬方法MRT LBM對(duì)其進(jìn)行仿真分析，此方法作為一種編程實(shí)現(xiàn)的數(shù)值分析方法，具有物理過程清晰，方便計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)，避免了傳統(tǒng)的有限元方法在計(jì)算復(fù)雜流體流動(dòng)時(shí)可能出現(xiàn)的發(fā)散情況[13-15]，這里將結(jié)合MATLAB軟件進(jìn)行分析計(jì)算。

2 氧化鋯復(fù)合漿料的制備及流變方程的建立

這里的陶瓷漿料涉及的原始粉末為納米級(jí)的氧化鋯材料，選用苯偶酰、季戊四醇三丙烯酸酯以及甲基丙烯酸甲酯作為原始溶劑，利用高速攪拌機(jī)充分混合原始溶劑后，緩慢加入氧化鋯粉末，并繼續(xù)使用高速攪拌機(jī)加速粉末的充分溶解，通過測(cè)定最終復(fù)合漿料的固相含量為64.9%。

為了獲取氧化鋯復(fù)合陶瓷漿體的流變方程，利用Rheolab MC1型粘度計(jì)進(jìn)行了粘度測(cè)試試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)時(shí)溫度為20℃，選用三種非牛頓流體模型作為備選模型，通過MATLAB擬合獲得相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)R2如表1所示。

表1 三種模型擬合相關(guān)系數(shù)R2對(duì)比

結(jié)果表明，Herschel-Bulkley流體的流變方程更符合此處的模型，具體的方程為

(1)

根據(jù)Papanastasiou T C等人對(duì)非牛頓流體的介紹，對(duì)式(1)進(jìn)行了變換，并獲取其粘度方程為

(2)

式中參數(shù)m越小時(shí)，對(duì)應(yīng)的流體越接近于冪律流體，當(dāng)m趨向于無窮大時(shí)，對(duì)應(yīng)的流體即傾向于Herschel-Bulkley流體，這里m=600。

3 MRT LBM流動(dòng)分析

3.1 單螺桿擠出結(jié)構(gòu)模型

螺桿的基本結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，它的關(guān)鍵尺寸如表2所示，將其充分展開后呈現(xiàn)出如圖2所示的腔體，氧化鋯復(fù)合陶瓷漿體在原螺道內(nèi)的流動(dòng)即可轉(zhuǎn)換成其在腔體內(nèi)的流動(dòng)。

圖1 螺桿結(jié)構(gòu)

表2 螺桿的關(guān)鍵幾何參數(shù)

圖2 螺桿展開結(jié)構(gòu)

3.2 復(fù)合陶瓷漿體的MRT LBM流動(dòng)分析

3.2.1 MRT LBM在非牛頓流體中的應(yīng)用

多松弛時(shí)間參數(shù)的LBM與單松弛時(shí)間參數(shù)的LBM主要區(qū)別在于MRT LBM涉及到矩空間的轉(zhuǎn)換[16]，則其基本方程將轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

f(r+eiδt，t+δt)-f(r，t)

(3)

速度配置ei描述如下[17]

(4)

式中基本速度量e的大小為格子步長(zhǎng)δx和時(shí)間步長(zhǎng)δt的比值，通常情況下，兩者均取為1，那么e=1。宏觀物理量速度u，密度ρ可以根據(jù)平衡態(tài)分布函數(shù)以及格子聲速獲得，具體如下式所示[18]

(5)

進(jìn)一步地，上式中的f(r，t)和feq(r，t)兩項(xiàng)可以通過中間變換矩陣M轉(zhuǎn)換為矩空間ρ(r，t)和ρeq(r，t)，具體計(jì)算公式為ρ(r，t)=Mf(r，t)，ρeq(r，t)=Mfeq(r，t)，其中M具體為[19]

(6)

(7)

在模型中，s0，s3，s5均是與密度和動(dòng)量相關(guān)的參數(shù)，而密度和動(dòng)量皆為守恒量，因此它們的值為0，s7和s8是與松弛過程相關(guān)的量，取值為1/τ，τ為單松弛參數(shù)LBM模型中的松弛時(shí)間，而剩余的參數(shù)通常取稍大于1的數(shù)即可，這里s1=s2=1.3，s4=s6=1.1。在使用MRT LBM進(jìn)行流體分析時(shí)，其基本過程主要由碰撞和遷移組成，其中遷移步的表達(dá)形式為

f(r+eiδt，t+δt)=f+(r，t)

(8)

其中f+(r，t)即為碰撞后的密度分布函數(shù)，碰撞步與單松弛參數(shù)的LBM不同，具體方程為[20]

(9)

在MRT LBM中，應(yīng)變率張量比單松弛參數(shù)LBM復(fù)雜，可以推導(dǎo)得到

(10)

應(yīng)變率張量的第二不變量DII可以描述為

(11)

非牛頓流體的動(dòng)力粘度主要與松弛時(shí)間τ和密度ρ相關(guān)

(12)

(13)

在利用MRT LBM進(jìn)行實(shí)際模擬計(jì)算時(shí)，其主要過程描述如下[17-20]：

1)確定物理模型的主要基本參數(shù)，如計(jì)算域，初始速度或壓力值，密度等；

2)根據(jù)式(3)計(jì)算并確定平衡態(tài)分布函數(shù)；

3)根據(jù)式(10)計(jì)算應(yīng)變率張量；

4)結(jié)合式(5)和式(12)，以及非牛頓流體的本構(gòu)模型可以計(jì)算獲得當(dāng)前計(jì)算循環(huán)步內(nèi)的松弛時(shí)間τ；

5)碰撞步和遷移步計(jì)算，主要參考式(8)和(9)。

6)邊界處理這里主要選擇非周期性邊界條件；

7)根據(jù)式(5)計(jì)算密度和速度；

8)返回第3)步執(zhí)行下一次循環(huán)計(jì)算。

3.2.2 復(fù)合陶瓷漿體的流動(dòng)分析

取圖2中的Y-Z組成的截面，根據(jù)螺桿擠出的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，將速度僅設(shè)定在與Z方向一致的上表面，根據(jù)表1中列出的螺槽的幾何尺寸，設(shè)置模擬時(shí)的格子數(shù)為240×180，螺桿的轉(zhuǎn)速設(shè)定為N=36 r/min，通過模擬分析可以獲得如圖3所示的流線圖。

橫截面流動(dòng)區(qū)域的上側(cè)為螺桿外筒的內(nèi)壁，左右兩側(cè)分別為螺桿螺槽的兩個(gè)壁面，下側(cè)則對(duì)應(yīng)螺桿桿芯的外壁，根據(jù)圖3可以看出，流場(chǎng)的中心在 (4 mm， 4 mm)附近，其更接近于螺桿的外筒，除了沿螺道方向前進(jìn)外，漿體在相鄰兩個(gè)螺棱內(nèi)壁之間存在環(huán)流。在螺棱與螺桿外壁形成的角落里則沒有明顯流動(dòng)存在。

圖3 漿料在Y-Z截面的流線圖

在進(jìn)行獲取速度分布圖時(shí)，為了進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)進(jìn)行了格子數(shù)為160×120的MRT LBM和LBM數(shù)值分析，結(jié)果如圖4-圖5所示，它們的結(jié)果相近，因此可以認(rèn)為本文中提出的方法是切實(shí)可行的。通過理論建模結(jié)合編程的形式實(shí)現(xiàn)對(duì)流體流動(dòng)的研究，也為分析解決流體動(dòng)力學(xué)問題提供了新的思路。圖4a)和圖4b)分別給出了螺槽深度h=4 mm處的度分量u和速度分量v的分布情況，明顯的是，越接近于螺桿，速度分量u越大，速度分量v的極限值出現(xiàn)在環(huán)流中心處，而在邊界處速度分量v均比較小。圖5a)和圖5b)分別給出了螺槽寬度W=4 mm處的度分量u和速度分量v的分布情況，速度分量u在螺棱壁面附近趨近于0，速度分量v在螺槽流道中部基本為0，逐漸往螺棱靠近時(shí)，速度也逐漸發(fā)生變化。

圖4 速度分量沿螺槽深度的分布

圖5 速度分量沿螺槽寬度的分布

4 結(jié)束語

針對(duì)陶瓷3D打印，對(duì)原有供料結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)，并利用MRT LBM對(duì)氧化鋯復(fù)合陶瓷漿料在該螺桿結(jié)構(gòu)中的流動(dòng)進(jìn)行了分析，可以獲得以下結(jié)論：

1)根據(jù)流變測(cè)試結(jié)果，氧化鋯復(fù)合陶瓷漿體的流變特征呈現(xiàn)出典型非牛頓性流體特征，與Herschel-Bulkley流體較為貼切。

2)利用MRT LBM可以有效對(duì)復(fù)雜非牛頓流體進(jìn)行流動(dòng)分析，編程過程簡(jiǎn)單，避免對(duì)復(fù)雜微分方程的求解。

3)對(duì)氧化鋯復(fù)合漿體在擠出結(jié)構(gòu)中的流動(dòng)分析可知，陶瓷漿體在噴頭橫截面的流動(dòng)呈現(xiàn)環(huán)流特征，環(huán)流中心大致在(0.5W，0.67h)處。結(jié)合流線圖和速度分布圖可以總結(jié)得知，為了保證流體的流動(dòng)速度，一方面可以適當(dāng)增大螺桿的旋轉(zhuǎn)速度，另一方面可以適當(dāng)增大螺槽的寬度。