考慮數(shù)值積分算法的實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)穩(wěn)定性研究

李 寧，魯旭杰，周子豪，李忠獻(xiàn)

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300350；2. 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(天津大學(xué))，天津 300350；3. 中國地震局地震工程綜合模擬與城鄉(xiāng)抗震韌性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(天津大學(xué))，天津 300350)

近年來，隨著隔震、減震/振結(jié)構(gòu)中，采用動(dòng)力特性與變形速率相關(guān)的新裝置大量涌現(xiàn)，傳統(tǒng)擬/靜力試驗(yàn)方法無法適應(yīng)測(cè)試和研究需要，快速或?qū)崟r(shí)混合模擬(real-time hybrid simulation，RTHS)方法[1-2]正推廣用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能研究。RTHS試驗(yàn)常將原結(jié)構(gòu)劃分為2 部分，其中本構(gòu)關(guān)系復(fù)雜、無法準(zhǔn)確建立模型或使用數(shù)值模擬的結(jié)果不理想的部分一般作為物理子結(jié)構(gòu)，用作動(dòng)器或振動(dòng)臺(tái)等加載裝置進(jìn)行加載；其余模擬方法成熟、較為準(zhǔn)確的部分作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)，使用模擬軟件模擬。兩部分之間進(jìn)行同步或高速數(shù)據(jù)交互。當(dāng)反饋與命令達(dá)到實(shí)時(shí)交互時(shí)，也稱為實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)(real-time substructure test，RTST)。

以圖 1 所示單層框架為例，RTST 在試驗(yàn)開始時(shí)，首先輸入地震動(dòng)，由數(shù)值子結(jié)構(gòu)計(jì)算出命令位移，作動(dòng)器或振動(dòng)臺(tái)根據(jù)命令施加動(dòng)邊界給物理子結(jié)構(gòu)，再通過物理子結(jié)構(gòu)上的傳感器測(cè)得其反應(yīng)，通過DAQ 將反應(yīng)量傳輸給數(shù)值子結(jié)構(gòu)，兩者進(jìn)行數(shù)據(jù)交互。如此循環(huán)往復(fù)，直至試驗(yàn)結(jié)束。

圖1 實(shí)時(shí)混合模擬試驗(yàn)Fig. 1 Real time hybrid simulation

近兩年，國內(nèi)外學(xué)者通過實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)對(duì)多種結(jié)構(gòu)的特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究。例如，李騰飛等[3]通過基于OpenFresco 試驗(yàn)平臺(tái)的混合試驗(yàn)系統(tǒng)對(duì)高強(qiáng)鋼組合K 形偏心支撐鋼框架的抗震性能進(jìn)行了研究；Mukai 等[4]應(yīng)用實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)技術(shù)通過雙作動(dòng)器對(duì)混凝土框架結(jié)構(gòu)在主動(dòng)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器控制下的結(jié)構(gòu)性能進(jìn)行了研究。Najafi 等[5]用實(shí)時(shí)混合試驗(yàn)對(duì)配有非線性能量阱結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性進(jìn)行了研究。

RTST 目前的研究熱點(diǎn)有：時(shí)滯補(bǔ)償、復(fù)雜邊界或加載方法，以及穩(wěn)定性分析等。RTST 成功與否的關(guān)鍵是保證系統(tǒng)的穩(wěn)定[6]。在RTST 中，由于數(shù)值子結(jié)構(gòu)的求解屬于離散時(shí)間系統(tǒng)，物理子結(jié)構(gòu)的響應(yīng)以及作動(dòng)器或振動(dòng)臺(tái)等加載元件的運(yùn)動(dòng)是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，RTST 應(yīng)屬于連續(xù)-離散混合系統(tǒng)。對(duì)此，建立對(duì)應(yīng)的分析模型和理論還是國內(nèi)外熱點(diǎn)問題之一。目前主要采用連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)或離散時(shí)間系統(tǒng)兩類方法對(duì)RTST 進(jìn)行穩(wěn)定性探究。

采用連續(xù)系統(tǒng)模型，Wallace 等[7]使用時(shí)滯微分方程導(dǎo)出了單自由度系統(tǒng)臨界時(shí)滯表達(dá)式，給出其精確解。Kyrychko 等[8]將單自由度系統(tǒng)臨界時(shí)滯計(jì)算方法推廣到了多自由度系統(tǒng)。為了全面考慮結(jié)構(gòu)劃分對(duì)RTST 的影響，Maghareh 等[9]采用歐拉變換將時(shí)滯微分方程化簡(jiǎn)，得到不同結(jié)構(gòu)劃分方式(不同質(zhì)量比、剛度比、阻尼)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，認(rèn)為結(jié)構(gòu)劃分在設(shè)計(jì)RTST 時(shí)必須考慮。

在RTST 中數(shù)值子結(jié)構(gòu)需采用積分算法逐步求解，應(yīng)考慮積分步長和積分算法假定對(duì)RTST穩(wěn)定性的影響。許多學(xué)者對(duì)此問題進(jìn)行了研究，例如：基于離散系統(tǒng)模型，Chen 等[10]結(jié)合作動(dòng)器時(shí)滯假設(shè)和離散系統(tǒng)控制原理，得到了考慮數(shù)值積分算法后的系統(tǒng)穩(wěn)定邊界；王倩穎等[11]使用譜半徑法研究了使用Operator-Split 積分算法的RTST試驗(yàn)穩(wěn)定性隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化；鄧麗霞等[12]引入速度和加速度的附加假定，認(rèn)為穩(wěn)定性必須考慮試驗(yàn)和物理子結(jié)構(gòu)質(zhì)量之比的影響；Zhu 等[13]使用離散根軌跡方法研究了不同數(shù)值積分算法對(duì)多自由度RTST 系統(tǒng)時(shí)滯穩(wěn)定性影響，認(rèn)為時(shí)滯假設(shè)在低頻時(shí)對(duì)加載系統(tǒng)的動(dòng)力特性描述更精確；唐貞云等[14]通過對(duì)電液伺服加載系統(tǒng)進(jìn)行建模，討論了試件與加載系統(tǒng)對(duì)RTST 穩(wěn)定性的影響；郭珺等[15]結(jié)合振型疊加法和增益裕度，認(rèn)為時(shí)滯補(bǔ)償對(duì)RTST 系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響不能確定。但是，既有的離散穩(wěn)定性分析方法也存在一些不足，例如：Chen 等[10]提出的離散方法引用的時(shí)滯模型使其只適用于線彈性剛度和小時(shí)滯的情況；Zhu 等[13]提出的離散方法需要將要研究模型劃分比例寫成系統(tǒng)傳遞函數(shù)增益的形式進(jìn)而通過根軌跡方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析，使其局限為只能對(duì)質(zhì)量劃分比例進(jìn)行研究的方法。這也表明離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法的探索有待深入，也需要一種較通用的分析方法。

本文基于離散控制理論[16]，建立了引入積分算法的RTST 時(shí)滯系統(tǒng)傳遞函數(shù)，進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布和系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。在此基礎(chǔ)上：一方面對(duì)RTST 中數(shù)值和物理子結(jié)構(gòu)劃分導(dǎo)致的系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化規(guī)律進(jìn)行了詳細(xì)的討論，給出了其穩(wěn)定區(qū)域以及對(duì)應(yīng)的臨界時(shí)滯，為RTST 中數(shù)值和物理子結(jié)構(gòu)的劃分及時(shí)滯補(bǔ)償?shù)目尚行蕴峁┝艘罁?jù)；另一方面，本文也使用了其他兩種連續(xù)系統(tǒng)假定的穩(wěn)定性分析方法與本文所提方法得到的穩(wěn)定性分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，說明了本文方法更為安全可靠。

1 穩(wěn)定性分析理論概要

1.1 穩(wěn)定性分析概要

實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可表述為一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，如圖 2 所示。

圖2 實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)閉環(huán)控制系統(tǒng)的框圖Fig. 2 Block diagram representation of real-time hybrid testing of an SDOF system

閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能是由閉環(huán)傳遞函數(shù)Gcl(z)決定的：

1.2 引入數(shù)值積分算法的穩(wěn)定性分析方法

使用基于極點(diǎn)分布的穩(wěn)定性分析方法對(duì)SDOF的RTST 穩(wěn)定性進(jìn)行分析，其運(yùn)動(dòng)方程如下：

表1 傳遞函數(shù)系數(shù)Table 1 Transfer function coefficients

1.3 基于連續(xù)時(shí)間假設(shè)的臨界時(shí)滯精確解

式中：j=1, 2, ···；k=0, 1, 2, ···。式(14)中正的臨界時(shí)滯解才具有物理意義，且最小的正數(shù)解對(duì)RTST系統(tǒng)的穩(wěn)定性最為關(guān)鍵，因?yàn)槠浯砹薘TST 系統(tǒng)初次從穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入到不穩(wěn)定狀態(tài)。

1.4 基于連續(xù)時(shí)間假設(shè)的臨界時(shí)滯近似解

2 考慮積分算法的RTST 穩(wěn)定性分析

當(dāng)系統(tǒng)時(shí)滯為0 時(shí)，RTST 的傳遞函數(shù)的穩(wěn)定性由積分算法自身的穩(wěn)定性控制(CR 積分算法此時(shí)無條件穩(wěn)定)。當(dāng)時(shí)滯不為0 時(shí)，考慮到RTST中時(shí)滯的真實(shí)情況，本文研究的時(shí)滯范圍為0 s～1 s，并將結(jié)構(gòu)在時(shí)滯范圍為0 s～1 s 內(nèi)都穩(wěn)定的現(xiàn)象定義為“無條件穩(wěn)定”。

某 SDOF 的 質(zhì) 量M=52.56 kg， 剛 度K=87 600 N/m，阻尼比ζ=0.03，物理子結(jié)構(gòu)的加載步長與數(shù)值子結(jié)構(gòu)的積分步長都為0.01 s。本節(jié)研究物理子結(jié)構(gòu)與數(shù)值子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比、剛度比，以及物理子結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的阻尼比作為自變量時(shí)，子結(jié)構(gòu)劃分對(duì)RTST 系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

2.1 質(zhì)量之比作為自變量的穩(wěn)定性探究

當(dāng)以物理子結(jié)構(gòu)、數(shù)值子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比作為變量時(shí)，令物理子結(jié)構(gòu)的剛度及阻尼為0，此時(shí)其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖3(a)所示，使用勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)可得該系統(tǒng)近似臨界時(shí)滯的表達(dá)式為：

式(18)始終為負(fù)，故對(duì)于該工況，近似方法失效。該工況下的時(shí)滯穩(wěn)定域圖像如圖3(b)所示。

圖3 實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)的時(shí)滯穩(wěn)定域(Ke=0，Ce=0)Fig. 3 Delay stability region of RTST (Ke=0, Ce=0)

圖 3(b)中綠色區(qū)域代表通過離散方法得到的穩(wěn)定域，其他區(qū)域代表系統(tǒng)不穩(wěn)定?？梢钥闯?，當(dāng)質(zhì)量比小于0.062 時(shí)，系統(tǒng)為無條件穩(wěn)定，不受時(shí)滯條件影響。隨著物理、數(shù)值子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比Me/Mn增加，該系統(tǒng)的穩(wěn)定性顯著下降，且當(dāng)0.062＜Me/Mn＜0.427 時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定性切換現(xiàn)象，即隨著時(shí)滯增加，系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)與不穩(wěn)定狀態(tài)之間變換。精確方法繪制出的臨界時(shí)滯曲線的上界全部收斂至Me/Mn=1 處，且穩(wěn)定區(qū)域的上界也為1，說明了該工況下當(dāng)且僅當(dāng)Mn＞Me時(shí)，系統(tǒng)才可能穩(wěn)定，反之，系統(tǒng)始終失穩(wěn)。

雖然精確方法和離散方法總體上得到的穩(wěn)定區(qū)域基本一致，但由局部放大圖可以看出，離散方法得到的穩(wěn)定域更小，說明了離散方法較精確方法更保守、接近實(shí)際。

2.2 剛度之比作為自變量的穩(wěn)定性探究

當(dāng)以物理、數(shù)值子結(jié)構(gòu)的剛度比作為變量時(shí)，研究了如下4 種工況：1)Me=0；2)Me/Mn=0.5 ；3)Me/Mn=1 ；4)Me/Mn=2。圖 4(a)為工況1 所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，圖 4(b)為該工況的時(shí)滯穩(wěn)定域。

如圖 4 所示，隨著物理、數(shù)值子結(jié)構(gòu)的剛度比Ke/Kn增加，該系統(tǒng)的穩(wěn)定域越來越小，穩(wěn)定性越來越差，說明物理剛度的引入會(huì)降低RTST穩(wěn)定性，而當(dāng)Ke/Kn＜0.062時(shí)，該系統(tǒng)為無條件穩(wěn)定，當(dāng) 0.062 ＜Ke/Kn＜0.625時(shí)，該系統(tǒng)同樣會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定性切換現(xiàn)象。當(dāng)Ke/Kn=1.5時(shí)，只要時(shí)滯足夠小，通過連續(xù)方法也可繪制出臨界時(shí)滯曲線，證明此時(shí)系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。說明了剛度比并不存在絕對(duì)的穩(wěn)定上界。這一點(diǎn)與質(zhì)量比顯然不同。當(dāng)時(shí)滯遠(yuǎn)小于1 ms 時(shí)，近似方法與精確方法繪制出的臨界時(shí)滯邊界十分接近；時(shí)滯較大時(shí)，近似方法繪制的臨界時(shí)滯邊界會(huì)迅速衰減，說明近似方法僅適用于小時(shí)滯情況；當(dāng)時(shí)滯較大時(shí)，近似方法無法準(zhǔn)確判斷穩(wěn)定性。此外，相對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法，離散方法更加保守安全。

圖4 實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)的時(shí)滯穩(wěn)定域(Me=0，Ce=0)Fig. 4 Delay stability region of RTST (Me=0, Ce=0)

圖5 分別為工況2～工況4 對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定域圖像。對(duì)比三幅圖所繪制出穩(wěn)定區(qū)域的大小可以看出，Me/Mn=0.5 時(shí)穩(wěn)定域最大，Me/Mn=1得到的穩(wěn)定域要小于Me/Mn=0.5時(shí)的穩(wěn)定域，而當(dāng)Me/Mn=2時(shí)，系統(tǒng)為無條件不穩(wěn)定。一方面，證明了前述得到的“RTST 要保持穩(wěn)定必須要滿足質(zhì)量比小于1”的結(jié)論(Me/Mn＜1)；另一方面，也說明物理子結(jié)構(gòu)比重的增加會(huì)破壞RTST系統(tǒng)的穩(wěn)定性，Me/Mn越大，系統(tǒng)越容易失穩(wěn)。同時(shí)，Me/Mn=0.5和1 的工況下，結(jié)構(gòu)無條件穩(wěn)定域分別出現(xiàn)在-0.078 ＜Me/Mn-Ke/Kn＜0.075和Ke/Kn≈1 ，因此，可以得出結(jié)論，在Me/Mn＜1的條件下，當(dāng)且僅當(dāng)Me/Mn-Ke/Kn≈0時(shí)，系統(tǒng)有無條件穩(wěn)定特性。與只考慮物理子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或只考慮物理子結(jié)構(gòu)的剛度比較，可以發(fā)現(xiàn)同時(shí)考慮物理子結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量后，系統(tǒng)不再是簡(jiǎn)單的隨著質(zhì)量比或者剛度比增大而穩(wěn)定性降低。說明了該系統(tǒng)受質(zhì)量比與剛度比這兩個(gè)參數(shù)的耦合作用影響。

圖5 實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)的時(shí)滯穩(wěn)定域(Ce=0)Fig. 5 Delay stability region of RTST (Ce=0)

2.3 阻尼之比作為自變量的穩(wěn)定性探究

當(dāng)以物理子結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的阻尼之比作為變量時(shí)，同樣也研究了四種工況：1)Ke=0 ；2)Ke/Kn=0.5 ；3)Ke/Kn=1 ；4)Ke/Kn=2。

圖 6(b)為工況1 僅考慮物理子結(jié)構(gòu)的阻尼時(shí)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定域圖像，可以看出，當(dāng)阻尼之比Ce/C＜0.5時(shí)，系統(tǒng)始終是無條件穩(wěn)定的，當(dāng)Ce/C＞0.5后，系統(tǒng)隨時(shí)滯增加呈現(xiàn)出周期性的穩(wěn)定性切換現(xiàn)象，同時(shí)，穩(wěn)定區(qū)域隨著時(shí)滯增加越來越小。對(duì)該工況，并不存在小時(shí)滯情況，故近似方法并不適用于該工況。其余兩種方法對(duì)比的結(jié)論與第2.2 節(jié)剛度之比為自變量時(shí)，工況1 的穩(wěn)定性變化規(guī)律類似，不再贅述。

圖6 實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)的時(shí)滯穩(wěn)定域(Me=0, Ke=0)Fig. 6 Delay stability region of real time substructure (Me=0, Ke=0)

圖7 分別為工況2～工況4 對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定域圖像，對(duì)比三幅圖可以看出，隨著Ke/Kn不斷增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定域越來越小，即結(jié)構(gòu)越來越容易失穩(wěn)。由于研究中選取的積分步長為0.01 s，使用離散方法進(jìn)行研究時(shí)，時(shí)滯最小只能取至與積分步長相同，故該積分步長下，離散方法無法直接判斷時(shí)滯小于10 ms 時(shí)結(jié)構(gòu)是否穩(wěn)定，而當(dāng)時(shí)滯小于10 ms 時(shí)，三幅圖中都存在一條使用精確方法繪制出的臨界時(shí)滯曲線，由于該區(qū)間內(nèi)時(shí)滯較小，故認(rèn)為這條曲線左側(cè)都是穩(wěn)定的，并用陰影區(qū)域表示，即該穩(wěn)定區(qū)域是通過精確方法獲得的。同時(shí)，可以觀察到每幅圖中的臨界時(shí)滯曲線近似可以看做多條平行的豎向線段，即系統(tǒng)的穩(wěn)定性受阻尼之比影響很小，反而對(duì)剛度比更加敏感。故可以認(rèn)為在設(shè)計(jì)實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)時(shí)，阻尼之比不起到?jīng)Q定性的影響作用。

圖7 實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)的時(shí)滯穩(wěn)定域(Me=0)Fig. 7 Delay stability region of real time substructure (Me=0)

可知精確方法得到的最左側(cè)的臨界時(shí)滯曲線與近似方法繪制的近似臨界時(shí)滯曲線吻合程度較高。充分說明近似方法只能滿足小時(shí)滯情況，當(dāng)時(shí)滯較大時(shí)，近似方法與其他兩種方法都無法準(zhǔn)確判定穩(wěn)定性。

2.4 阻尼比和積分時(shí)間步長對(duì)穩(wěn)定性的影響探究

為說明阻尼比與積分步長對(duì)單自由度實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響，取圖4(a)結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行研究。圖 8 為阻尼比分別為0.03、0.05 和0.10 時(shí)的時(shí)滯穩(wěn)定域圖像?？梢钥闯霾煌枘岜鹊慕Y(jié)構(gòu)穩(wěn)定域輪廓基本一致，但系統(tǒng)的穩(wěn)定域會(huì)隨著阻尼比的增大而增大，說明增大結(jié)構(gòu)的阻尼可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖8 不同阻尼比條件下結(jié)構(gòu)穩(wěn)定域Fig. 8 Stability region of an SDOF system with different damping ratios

圖9 為積分步長分別為0.01 s、0.02 s 和0.03 s時(shí)結(jié)構(gòu)的時(shí)滯穩(wěn)定域圖像。從圖9 可以看出，當(dāng)積分步長為0.01 s 時(shí)，精確法和離散方法繪制的穩(wěn)定域基本一致，隨著積分步長增大到0.02 s 和0.03 s后，離散方法得到的穩(wěn)定區(qū)域顯著降低，與連續(xù)方法得到的穩(wěn)定區(qū)域差異也逐漸增大。說明了當(dāng)積分步長小于或等于0.01 s 時(shí)，不需要考慮積分算法對(duì)穩(wěn)定性的影響；反之，當(dāng)積分步長大于0.01 s后，就不得不考慮積分算法對(duì)穩(wěn)定性的改變，此時(shí)應(yīng)該使用更為保守安全的離散穩(wěn)定性分析方法。

圖9 不同積分步長下的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定域Fig. 9 Stability region of an SDOF system with different with different integration steps

3 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文得到的結(jié)果，本文搭建了單自由度實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)仿真模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，Simulink模型如圖 10 所示。

圖10 時(shí)滯系統(tǒng)Simulink 模型Fig. 10 Simulink model of delay system

取物理子結(jié)構(gòu)僅考慮剛度的工況繪制的穩(wěn)定域圖像上“●”標(biāo)記點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值模擬，如圖 11 所示，即剛度比Ke/Kn=0.3，時(shí)滯為80 ms、130 ms和200 ms。積分步長取1/1024 s，激勵(lì)方式為單位脈沖，得到結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)如圖 12 所示。

圖11 數(shù)值模擬驗(yàn)證工況Fig. 11 Numerical simulation verification case

圖12 反應(yīng)的是結(jié)構(gòu)在不同時(shí)滯情況下的單位脈沖響應(yīng)。結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)呈現(xiàn)發(fā)散的趨勢(shì)，則說明系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。從圖中可以看出該單自由度實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在時(shí)滯為80 ms 和200 ms 時(shí)位移是發(fā)散的，在時(shí)滯為130 ms 時(shí)位移是收斂的。即系統(tǒng)在80 ms 是失穩(wěn)的，當(dāng)時(shí)滯增大至130 ms，系統(tǒng)又進(jìn)入了穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)時(shí)滯進(jìn)一步增大至200 ms系統(tǒng)再次失穩(wěn)。說明隨著時(shí)滯增大，系統(tǒng)出現(xiàn)了穩(wěn)定性切換現(xiàn)象。該數(shù)值模擬得到的結(jié)論與理論分析得到的結(jié)論相同，證明了本文理論的可靠性。

圖12 結(jié)構(gòu)的單位脈沖響應(yīng)Fig. 12 Impulse response of structure

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 SDOF 穩(wěn)定性驗(yàn)證試驗(yàn)

本文進(jìn)行了單時(shí)滯源的RTST 實(shí)測(cè)。試驗(yàn)設(shè)備為濱海土木工程與安全教育部重點(diǎn)試驗(yàn)室的MTS伺服液壓作動(dòng)器，該作動(dòng)器本身存在時(shí)滯，時(shí)滯大小約為21/1024 s。試驗(yàn)中的數(shù)值計(jì)算通過控制器完成，積分步長取1/1024 s，積分方法為CR 積分算法。如圖 13，試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑镾DOF 結(jié)構(gòu)，取結(jié)構(gòu)的部分剛度作為物理子結(jié)構(gòu)?？紤]到失穩(wěn)會(huì)造成構(gòu)件和試驗(yàn)設(shè)備造成不必要的損失，故物理子結(jié)構(gòu)也通過數(shù)值建模，作動(dòng)器加載端不放置實(shí)際的構(gòu)件。而物理子結(jié)構(gòu)為線彈性結(jié)構(gòu)時(shí)，物理子結(jié)構(gòu)的反饋力即彈性力，因此只需要將作動(dòng)器的位移信號(hào)作為反饋信號(hào)反饋給數(shù)值子結(jié)構(gòu)即可。

圖13 實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)加載裝備Fig. 13 Facility for real-time hybrid testing

采用反補(bǔ)償方法[19]對(duì)作動(dòng)器時(shí)滯進(jìn)行補(bǔ)償，補(bǔ)償后該實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的時(shí)滯減小至約3 ms。由于結(jié)構(gòu)的體量較小，且物理子結(jié)構(gòu)是通過數(shù)值建模的線彈性結(jié)構(gòu)，因此可以在位移反饋信號(hào)中使用Simulink 提供的delay 模塊，進(jìn)而達(dá)到改變時(shí)滯大小的效果。取結(jié)構(gòu)參數(shù)如表 2，此時(shí)結(jié)構(gòu)劃分情況為Ke/Kn=1/10。使用本文提出方法計(jì)算并繪制出不同時(shí)滯下控制極點(diǎn)分布圖，如圖 14 所示。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Structural parameters

圖14 不同時(shí)滯下控制極點(diǎn)模長圖Fig. 14 Norm of the control poles with different time delay

圖14 中縱坐標(biāo)為控制極點(diǎn)的模長，橫坐標(biāo)為系統(tǒng)時(shí)滯，控制極點(diǎn)模長大于1 時(shí)系統(tǒng)失穩(wěn)，模長小于1 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。由圖14 可以看出在該劃分情況下，系統(tǒng)時(shí)滯在9 ms～63 ms 是失穩(wěn)的，其余時(shí)滯區(qū)間內(nèi)是穩(wěn)定的，故取圖14 上標(biāo)記的6 個(gè)不同時(shí)滯進(jìn)行實(shí)測(cè)，試驗(yàn)中結(jié)構(gòu)參數(shù)和工況分別如表 2 和表 3，試驗(yàn)激勵(lì)為周期為4 s 的正弦激勵(lì)。

表3 試驗(yàn)工況Table 3 Test conditions for SDOF test

圖 15 為不同時(shí)滯下試驗(yàn)結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，圖中深實(shí)線為命令位移，淺虛線為測(cè)量位移?？梢钥闯?，當(dāng)時(shí)滯為4 ms 時(shí)，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)呈現(xiàn)出等幅震蕩的現(xiàn)象但沒有發(fā)散，說明該時(shí)滯下系統(tǒng)接近于臨界穩(wěn)定；當(dāng)時(shí)滯增大至20 ms、35 ms、50 ms 時(shí)，這三種時(shí)滯下的測(cè)量位移都呈現(xiàn)出高頻振蕩和發(fā)散現(xiàn)象；而增大時(shí)滯至90 ms 時(shí)，結(jié)構(gòu)的測(cè)量位移收斂。說明當(dāng)時(shí)滯為4 ms 和90 ms時(shí)，該單自由度實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，時(shí)滯為20 ms、35 ms 和50 ms 時(shí)，該系統(tǒng)失穩(wěn)。因此，試驗(yàn)結(jié)果與理論分析得到的穩(wěn)定狀態(tài)是一致的。通過該試驗(yàn)證明了單自由度實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)存在穩(wěn)定性切換現(xiàn)象，隨著時(shí)滯增大，該單自由度實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)從穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)時(shí)滯進(jìn)一步增大后，又從不穩(wěn)定狀態(tài)回到了穩(wěn)定狀態(tài)。圖 15(b)為時(shí)滯7 ms 的試驗(yàn)結(jié)果，從圖上可以看出該時(shí)滯下結(jié)構(gòu)的的測(cè)量位移出現(xiàn)了高頻震蕩的現(xiàn)象，最終在13 s 時(shí)失穩(wěn)了。該試驗(yàn)結(jié)果與理論分析相反，該時(shí)滯下結(jié)構(gòu)應(yīng)該是穩(wěn)定的，其位移響應(yīng)不應(yīng)該呈現(xiàn)發(fā)散的狀態(tài)。該工況下理論與試驗(yàn)結(jié)果不符可能是因?yàn)樵囼?yàn)中存在的噪聲等干擾會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性造成影響，另一方面，作動(dòng)器的時(shí)滯是在小范圍內(nèi)波動(dòng)的而不是恒定不變的，故在該工況下，該實(shí)時(shí)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的時(shí)滯已接近或超過臨界時(shí)滯(9 ms)，故導(dǎo)致最終發(fā)散。

圖15 試驗(yàn)結(jié)果Fig. 15 Test results

4.2 2DOF 穩(wěn)定性驗(yàn)證試驗(yàn)

在SDOF 試驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行2DOF 穩(wěn)定性驗(yàn)證試驗(yàn)，將2DOF 上層結(jié)構(gòu)作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)，下層作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)，如圖 16 所示。物理子結(jié)構(gòu)為一單層框架結(jié)構(gòu)，其參數(shù)為：質(zhì)量Me=5 kg，剛度Ke=5500 N/m，底部應(yīng)變與頂部剪力的對(duì)應(yīng)關(guān)系為f(t)=68 000ε(f(t)為剪力，ε 為柱腳應(yīng)變)。注意，物理子結(jié)構(gòu)的慣性力應(yīng)該扣除以得到物理子結(jié)構(gòu)應(yīng)當(dāng)反饋給數(shù)值子結(jié)構(gòu)的反力真實(shí)值。

圖16 2DOF 試驗(yàn)Fig. 16 2DOF test

試驗(yàn)工況見表 4，激勵(lì)為El Centro 地震動(dòng)，試驗(yàn)中積分步長取值為1/1024 s。試驗(yàn)結(jié)果如圖 17 所示。

表4 試驗(yàn)工況Table 4 Test conditions for 2DOF test

從圖 17 可以看出，當(dāng)Me/Mn=Ke/Kn=10，2DOF在時(shí)滯28 ms 時(shí)的測(cè)量位移與目標(biāo)位移幾乎完全吻合，且位移呈現(xiàn)收斂的趨勢(shì)，說明2DOF 在該劃分參數(shù)和時(shí)滯下處于穩(wěn)定狀態(tài)，與理論穩(wěn)定分析結(jié)果一致。當(dāng)Me/Mn=6、Ke/Kn=3 而時(shí)滯為28 ms時(shí)，命令位移與測(cè)量位移在5 s 前吻合較好，5 s后測(cè)量位移呈現(xiàn)高頻振蕩并發(fā)散的趨勢(shì)，說明該劃分方式相應(yīng)時(shí)滯情況下2DOF 系統(tǒng)是失穩(wěn)的。當(dāng)Me/Mn=3、Ke/Kn=3 而時(shí)滯為48 ms 時(shí)，測(cè)量位移與命令位移在2 s 后迅速呈現(xiàn)發(fā)散的現(xiàn)象，說明該工況下2DOF 失穩(wěn)嚴(yán)重。三種工況下的試驗(yàn)結(jié)果都與理論分析結(jié)果吻合，工況1 和工況2 結(jié)果對(duì)比可知，當(dāng)時(shí)滯相同時(shí)，2DOF 的穩(wěn)定性會(huì)隨著結(jié)構(gòu)劃分情況變化而變化，因此在2DOF 試驗(yàn)中，適當(dāng)?shù)恼{(diào)整數(shù)值子結(jié)構(gòu)占原結(jié)構(gòu)的比例可以保證試驗(yàn)的穩(wěn)定性。

圖17 2DOF 試驗(yàn)結(jié)果Fig. 17 2DOF test results

5 結(jié)論

本文建立了RTHS 基于積分算法的離散穩(wěn)定性分析方法，并使用提出方法與已有的連續(xù)穩(wěn)定性分析方法研究了結(jié)構(gòu)劃分參數(shù)、阻尼比、積分步長對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響，模擬和實(shí)測(cè)對(duì)比了兩類方法的結(jié)果，證明了所提出方法的正確性和可靠性。

(1) 對(duì)于SDOF，結(jié)構(gòu)的臨界時(shí)滯受剛度比Ke/Kn和質(zhì)量比Me/Mn的影響。當(dāng)Me/Mn＞1時(shí)，結(jié)構(gòu)為無條件不穩(wěn)定。|Me/Mn-Ke/Kn|的值越小，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性越好， |Me/Mn-Ke/Kn|值越大，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性越差。當(dāng)且僅當(dāng)|Me/Mn-Ke/Kn|≈0時(shí)，結(jié)構(gòu)為無條件穩(wěn)定。

(2) 對(duì)每一種結(jié)構(gòu)劃分方式，會(huì)存在多個(gè)時(shí)滯穩(wěn)定區(qū)域，說明結(jié)構(gòu)隨著時(shí)滯的增加，在穩(wěn)定狀態(tài)與不穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)行變換。即使時(shí)滯很大時(shí)，結(jié)構(gòu)也可能是穩(wěn)定的。實(shí)際研究中，一般最關(guān)心第一次出現(xiàn)穩(wěn)定性變換時(shí)(即第一次發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象)的臨界時(shí)滯。

(3) 對(duì)比三種方法可知，近似方法僅適用于小時(shí)滯情況(τ＜1 ms)。當(dāng)積分步長小于或等于0.01 s，不需要考慮積分算法對(duì)穩(wěn)定性的影響，可以直接使用精確法研究結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性；反之，當(dāng)積分步長大于0.01 s，必須考慮積分算法對(duì)穩(wěn)定性的影響，此時(shí)應(yīng)該使用更為保守安全的離散穩(wěn)定性分析方法，本文方法即是。

(4) 經(jīng)RTHT 試驗(yàn)檢驗(yàn)，本文所提出離散化方法對(duì)多自由度問題也有正確的效果，但相關(guān)研究擬于后續(xù)開展。本文方法目前僅對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行了驗(yàn)證，后續(xù)會(huì)對(duì)更為復(fù)雜的非線性系統(tǒng)展開研究。