周新濤，劉引濤，崔亞輝

1陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院 陜西咸陽 712000

2西安理工大學(xué)機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院 陜西西安 710048

齒輪作為機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)常用的基礎(chǔ)件之一，其性能直接影響到機(jī)械系統(tǒng)或機(jī)械設(shè)備的整體性能[1]。齒輪在實(shí)際應(yīng)用中，由于制造誤差、安裝誤差、軸承游隙以及齒輪系統(tǒng)構(gòu)件受力變形等因素的存在，會(huì)使相互嚙合的齒輪理論的軸心線產(chǎn)生平行度誤差[2-4]。這些因素與輪齒的時(shí)變剛度、齒面摩擦和穩(wěn)態(tài)傳動(dòng)誤差等因素在齒輪運(yùn)行的過程中，將會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)非線性特性，使齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)特性變得極其復(fù)雜，從而影響輪系動(dòng)態(tài)特性[5-6]。

傳統(tǒng)的動(dòng)力建模方法均是采用簡化或等效的方法，將齒間非線性因素的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡化處理，難以建立齒間系統(tǒng)非線性因素的精確模型。經(jīng)簡化后處理的非線性因素在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中起到的作用將會(huì)被掩蓋或忽略掉，致使輪系真實(shí)的動(dòng)力學(xué)行為嚴(yán)重偏離實(shí)際情況，而且不能準(zhǔn)確的反映輪系真實(shí)的動(dòng)態(tài)特性。

筆者以結(jié)構(gòu)簡單的單級(jí)平行軸輪系為研究對(duì)象，根據(jù)齒間系統(tǒng)非線性因素的產(chǎn)生機(jī)理，再結(jié)合鍵合圖建模法的基本原理和優(yōu)勢(shì)，建立了齒間系統(tǒng)的時(shí)變嚙合剛度、齒面摩擦和穩(wěn)態(tài)傳動(dòng)誤差 3 種非線性因素的鍵合圖模型。然后，采用鍵合圖法建立了單級(jí)平行軸輪系含上述 3 種非線性因素的鍵合圖模型。最后，通過數(shù)值仿真分析，研究了單級(jí)平行軸輪系在非線性狀態(tài)下系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。

1 鍵合圖法

1.1 圖元

鍵合圖法利用強(qiáng)大的圖元庫和靈活的建模方式，能模擬出各種類型能量系統(tǒng)中線性或非線性的相關(guān)特性。傳統(tǒng)單一能域的建模與分析方法，就難以達(dá)到這種顯著效果。鍵合圖的基本圖元如表 1 所列。

表1 鍵合圖的基本圖元Tab.1 Basic primitives of bond graph

1.2 建模規(guī)則

齒輪機(jī)構(gòu)的建模規(guī)則要符合回轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)的特征。其建模規(guī)則如下所示[7]。

（1）根據(jù)輪系系統(tǒng)的性質(zhì)，為輪系中每個(gè)絕對(duì)速度和相對(duì)速度建立 1 個(gè) 1-結(jié)；

（2）在每 2 個(gè) 1-結(jié)間插入 1 個(gè) 0-結(jié)，也可以在 2個(gè) 1-結(jié)之間插入 TF 鍵元；

（3）將慣性元件和勢(shì)源鍵，鍵接在對(duì)應(yīng)的絕對(duì)速度 1-結(jié)上；

（4）將輪系的勢(shì)源、流源或阻性元件以及容性元件鍵接在對(duì)應(yīng)的速度 1-結(jié)上；

（5）根據(jù)輪系中功率流動(dòng)的方向，確定各圖元的因果關(guān)系；

（6）根據(jù)鍵合圖簡化計(jì)算規(guī)則，將輪系的模擬拓?fù)鋱D進(jìn)行簡化。

1.3 單級(jí)平行軸輪系的動(dòng)力學(xué)模型

一對(duì)相互嚙合的齒輪是這個(gè)系統(tǒng)中最小的傳動(dòng)單元，即單級(jí)平行軸輪系。單級(jí)平行軸輪系的鍵合圖模型是以這組最小傳動(dòng)單元為載體，其動(dòng)力學(xué)模型的如圖 1 所示。O1為主動(dòng)齒輪，O2從動(dòng)齒輪；x1（t）、x2（t）分別為輪齒嚙合線上的相對(duì)位移；T1、T2分別為輸入、輸出轉(zhuǎn)矩；θ1、θ2分別為主、從動(dòng)齒輪的角位移；k為輪齒嚙合剛度；C為輪齒嚙合阻尼；J1、J2分別為主、從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；e（t）為輪齒綜合嚙合誤差；R1、R2分別是為齒輪O1、O2的分度圓半徑。

圖1 單級(jí)平行軸輪系的動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of single-stage parallel shaft gear train

2 齒間系統(tǒng)的鍵合圖模型

2.1 時(shí)變嚙合剛度

輪系嚙合的時(shí)變剛度[8-9]

式中：kav為嚙合剛度的平均值；l為諧波階數(shù)；Al為在l階時(shí)對(duì)應(yīng)的幅值；ωh為輪齒的嚙合頻率；φl為l階時(shí)對(duì)應(yīng)的相位角。

根據(jù)輪齒時(shí)變嚙合剛度理論和鍵合圖建模機(jī)理，建立時(shí)變嚙合剛度的鍵合圖模型，如圖 2 所示。圖中，C1、C2和C3為模擬剛度的容性元件；μ1、μ2和μ3均為布爾開關(guān)，在同一時(shí)間段只能有一個(gè)起作用。

圖2 時(shí)變剛度的鍵合圖模型Fig.2 Bond graph model of time-varying stiffness

2.2 齒面摩擦

摩擦力在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中消耗系統(tǒng)中的驅(qū)動(dòng)能量，故在鍵合圖建模時(shí)可將其簡化成耗能元件 R。采用功率結(jié)型結(jié)構(gòu)[10]（SPJ）法，用 0s-結(jié)和 SPJ 開關(guān)模擬齒面摩擦效應(yīng)；采用 1s-結(jié)和 SPJ 開關(guān)模擬齒面摩擦力的方向與相對(duì)嚙合速度之間的關(guān)系；摩擦因數(shù)μ采用可調(diào)阻性轉(zhuǎn)換元件（Modulated Resistive，MR）模擬；FN為參量信號(hào)控制鍵。另外，該圖中的變量μ1和μ2為 2 個(gè)相互排斥的布爾變量，在同一時(shí)間段內(nèi)只能有一個(gè)變量被激活。因此，根據(jù)齒面摩擦理論和鍵合圖建模法機(jī)理，建立齒面摩擦的鍵合圖模型，如圖 3 所示。

圖3 齒面摩擦的鍵合圖模型Fig.3 Bond graph model of tooth surface friction

2.3 穩(wěn)態(tài)傳動(dòng)誤差

齒輪在傳動(dòng)過程中有很多因素會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生傳動(dòng)誤差，主要包括齒輪的制造誤差和齒輪的安裝誤差。傳動(dòng)誤差使輪系在傳動(dòng)過程中偏離理想位置，導(dǎo)致輪系出現(xiàn)振動(dòng)或噪音。且會(huì)使輪系傳動(dòng)系統(tǒng)的工作狀態(tài)變得復(fù)雜化，從而降低了輪系的使用壽命。傳動(dòng)誤差在齒輪傳動(dòng)過程中，隨著時(shí)間的變化而具有一定的周期性。當(dāng)對(duì)輪系力學(xué)特性研究時(shí)，可將其投影到嚙合線上，如傳動(dòng)誤差函數(shù)[11]

式中：E為齒頻誤差；E1、E2分別為齒輪O1、O2的安裝誤差；?1、?2分別為齒輪O1、O2安裝誤差的初相位；ω1、ω2分別為齒輪O1、O2的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

E（t）是以位移激勵(lì)的形式作用于輪系的傳動(dòng)系統(tǒng)中，e（t）的鍵合圖模型，可用導(dǎo)數(shù)e（t）′作為流源Sfwc來模擬，

傳動(dòng)誤差系統(tǒng)中引起的彈性變形，用容性元件C表示，接觸阻尼用阻性元件R表示，其鍵合圖模型如圖 4 所示。

圖4 穩(wěn)態(tài)傳動(dòng)誤差的鍵合圖模型Fig.4 Bond graph model of steady-state transmission error

2.4 單級(jí)平行軸輪系的非線性動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)文獻(xiàn) [12] 及變剛度、齒面摩擦和穩(wěn)態(tài)傳動(dòng)誤差等非線性因素的鍵合圖模型，將其融合到平行軸齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，從而建立該齒輪系統(tǒng)的鍵合圖模型，如圖 5 所示。

3 單級(jí)平行軸輪系的動(dòng)力學(xué)仿真分析

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

根據(jù)圖 5 所示的非線性鍵合圖模型，按照仿真模型條件，得出如圖 6 所示的仿真模型。圖 6 中開關(guān)元件 1s、0s在鍵合圖的模型庫中無此類模擬元件，可采用 SIDOPS+語言編制開關(guān)元件 1s、0s的控制程序。其中，MR模擬齒面摩擦；Kc模擬時(shí)變嚙合剛度；MSf模擬傳動(dòng)誤差。另外，采用 4 階變步長 Runge-Kutta 4 法的求解器，計(jì)算仿真模型的狀態(tài)方程組。

圖5 平行軸輪系的非線性鍵合圖模型Fig.5 Nonlinear bond graph model of parallel shaft gear train

圖6 單級(jí)平行軸輪系的非線性仿真模型Fig.6 Nonlinear simulation model of single-stage parallel shaft gear train

將仿真參數(shù)設(shè)置為[13]：齒數(shù)Z1＝16，Z2＝24；彈性模量E＝2.1×1011N/m2；泊松比μ＝0.3；慣性矩I1＝0.041 kg/m2，I2＝0.079 kg/m2；扭轉(zhuǎn)剛度K＝2×108N/m；支撐阻尼Cv＝1 800 N·s·m-1；嚙合阻尼Cg＝2 000 N·s·m-1；輸入力矩TI＝470 N·m；阻力矩TO＝320 N·m；穩(wěn)態(tài)傳動(dòng)誤差的導(dǎo)數(shù)e˙（t）=0.002 7 cos（28t+21pi）。

3.2 仿真結(jié)果及分析

單級(jí)平行軸輪系的極點(diǎn)-零點(diǎn)圖如圖 7 所示。由圖 7 中可得出，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的 2 對(duì)極點(diǎn)和零點(diǎn)等于 0，則構(gòu)成了偶極子而相互消除。同時(shí)，在該系統(tǒng)中在復(fù)平面 [S] 的右側(cè)無極點(diǎn)、零點(diǎn)，故該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為非最小相位系統(tǒng)。另外，也說明系統(tǒng)閉環(huán)的極點(diǎn)都在復(fù)平面 [S] 的左側(cè)，所有閉環(huán)極點(diǎn)都有負(fù)實(shí)部。當(dāng)時(shí)間t→∞ 時(shí)，系統(tǒng)指數(shù)項(xiàng)和阻尼指數(shù)項(xiàng)分量都將快速趨于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)最大超調(diào)量Mp＝1.186×10-6，上升時(shí)間tr＝4 416.96 ms，最終在調(diào)整時(shí)間內(nèi)振蕩 7 次趨于穩(wěn)定。

圖7 單級(jí)平行軸輪系的極點(diǎn)-零點(diǎn)圖Fig.7 Pole-zero diagram of single-stage parallel shaft gear train

單級(jí)平行軸輪系的動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)如圖 8 所示。從圖 8（a）可得出，系統(tǒng)的相位裕量γ（ωc）=-3.15×10-6deg＜0（3.26×10-11rad/s），幅值裕量Kg=-244 dB＜0（0.166 rad/s）。故此，根據(jù)博德圖中的穩(wěn)定裕量值可判斷該系統(tǒng)穩(wěn)定。圖 8（b）所示的尼柯爾斯圖縱軸是幅值的對(duì)數(shù)，橫軸是相角，該圖反映了幅值與相角的變化關(guān)系。圖 8（b）也能進(jìn)一步說明 P 型單元體在此種模擬工況下，其閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由圖 8（c）所示的尼奎斯特圖中可得出，該系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，且開環(huán)無右極點(diǎn)。同時(shí)，可從尼奎斯特圖的局部放大圖中得出，開環(huán)系統(tǒng)相圖包圍原點(diǎn)2 次。

圖8 單級(jí)平行軸輪系的動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)Fig.8 Dynamic characteristic indexes of single-stage parallel shaft gear train

4 結(jié)論

通過單級(jí)平行軸輪系精確化的建模方法，建立了該齒輪系的鍵合圖模型?？紤]了齒間系統(tǒng)的非線性因素，如時(shí)變嚙合剛度、齒面摩擦和穩(wěn)態(tài)傳動(dòng)誤差 3 種因素，并分別建立了鍵合圖模型，研究非線性因素齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響情況。

（1）根據(jù)鍵合圖建模法的建模原理和優(yōu)勢(shì)，總結(jié)出采用該法建立單級(jí)平行軸輪系的等效建模規(guī)則。

（2）研究了齒間系統(tǒng)的時(shí)變嚙合剛度、齒面摩擦和穩(wěn)態(tài)傳動(dòng)誤差 3 種非線性因素的建模方法，并采用功率結(jié)型結(jié)構(gòu)（SPJ）法，分別建立了非線性因素的鍵合圖模型。

（3）采用鍵合圖法，建立了單級(jí)平行軸輪系的非線性鍵合圖模型。

（4）采用數(shù)值仿真法，得出了單級(jí)平行軸輪系的極點(diǎn)-零點(diǎn)圖、博德圖、尼柯爾斯圖和尼奎斯特圖 4個(gè)動(dòng)態(tài)指標(biāo)?？膳袛喑鰡渭?jí)平行軸輪系，在非線性狀態(tài)下，其系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性較好。