初中生幾何證明的常見問題及解決策略*

汪雪梅

(陜西省漢中市南鄭區(qū)高臺(tái)鎮(zhèn)初級中學(xué) 陜西 漢中 723000)

引言

初中幾何以推理證明為教學(xué)的主要內(nèi)容，旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。但是，由于幾何推理本身具有系統(tǒng)、嚴(yán)密、抽象的特點(diǎn)，一直被認(rèn)為是一門較難的學(xué)科。特別是學(xué)生開始系統(tǒng)學(xué)習(xí)形式化演繹推理之后，問題表現(xiàn)更為突出。幾何證明成了部分學(xué)生學(xué)習(xí)的瓶頸。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際，對初中生在幾何證明中所出現(xiàn)的常見問題進(jìn)行闡述，并提出相應(yīng)的教學(xué)解決策略，以期對廣大同行的教學(xué)有所幫助。

1.問題闡述

1.1 證明的語言不精煉，書寫不規(guī)范。此類現(xiàn)象主要表現(xiàn)在學(xué)生不能熟練使用幾何符號(hào)語言進(jìn)行描述，過多使用文字語言，條件、結(jié)論和理論依據(jù)混淆不清，沒有嚴(yán)格按照要求規(guī)范書寫。例如在利用平行四邊形的性質(zhì)推兩對角線互相平分時(shí)，學(xué)生描述為“因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，AC和BD是對角線，平行四邊形的對角線互相平分，所以O(shè)A=OC,0B=OD”，表面上看，學(xué)生的邏輯清晰，有理有據(jù)。實(shí)際上，這種推理方式只能稱之為“說理”，而非證明。這樣的書寫的最大弊端就是整個(gè)過程看起來非常繁瑣，且一旦遇到復(fù)雜、過程較長的證明題，書寫量過大，條理不容易表達(dá)清楚。

1.2 證明的邏輯不嚴(yán)密，僅憑直覺進(jìn)行推理。這種情況主要體現(xiàn)在學(xué)生對于一些自認(rèn)為正確的結(jié)論，在解題時(shí)不加證明，直接使用。例如圖1中，已知E為AB的中點(diǎn)，DE∥BC，求證AD=BD。學(xué)生的證明過程如下：

∵E為AC的中點(diǎn)，且DE∥BC

∴DE是△ABC的中位線

∴AD=BD

顯然，此過程的第一步是學(xué)生憑借直觀感覺所得。雖然利用已知條件確實(shí)可得DE是△ABC的中位線，但是須結(jié)合其他定理具體證明，不能“想當(dāng)然”。幾何證明重在體現(xiàn)執(zhí)因索果的過程，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性，誠如上述這般直截了當(dāng)，倒不像是證明，更像是概括命題。

1.3 證明的方法不簡潔，不能學(xué)以致用。幾何證明題的解題思路通常不止一種。學(xué)生由于思維的局限性及證明習(xí)慣，往往會(huì)選擇自己常用的方法，而不去進(jìn)行思考和比較哪種方法更簡單。例如，在證明線段的垂直平分線的判定定理時(shí)，用等腰三角形的“三線合一”定理是非常簡潔的，但是實(shí)際教學(xué)反映的情況是，有6成以上學(xué)生更愿意選擇用三角形全等證明。方法雖然可行，但卻將簡單的問題復(fù)雜化，入了定理重復(fù)證明的誤區(qū)。

1.4 證明復(fù)雜問題時(shí)毫無思路，條理不清。許多學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何證明時(shí)，對于簡單的題目還能獨(dú)立完成，一旦遇到較為復(fù)雜的幾何證明題就會(huì)“卡殼”，要么毫無思路，無從下手，或者有思路卻不能完整的寫出證明過程，需要有他人的幫助才能完成。究其原因，主要是學(xué)生的頭腦中缺乏知識(shí)的歸納和方法的積累，不能夠?qū)⒅R(shí)靈活應(yīng)用，導(dǎo)致幾何思維能力水平較弱。

2.教學(xué)應(yīng)對策略

2.1 加強(qiáng)幾何語言的訓(xùn)練，規(guī)范書寫要求。符號(hào)語言、圖形語言和文字語言是數(shù)學(xué)常用的三種語言，在幾何證明時(shí)，我們常用文字語言來陳述題設(shè)和結(jié)論及推理的理論依據(jù)，輔以圖形來直觀體現(xiàn)各要素的結(jié)構(gòu)特征和相互間的關(guān)系，而主要用幾何符號(hào)語言來描述推理的過程。要在學(xué)生開始學(xué)習(xí)“圖形與幾何”時(shí)就刻意訓(xùn)練學(xué)生三種語言之間的轉(zhuǎn)換。并在學(xué)習(xí)證明的起始階段就要求學(xué)生用規(guī)范的符號(hào)語言書寫證明過程，熟練掌握三段論推理形式，逐步培養(yǎng)學(xué)生用“簡潔的數(shù)學(xué)語言清晰的表達(dá)世界”的習(xí)慣。

2.2 培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S習(xí)慣。證明過程講究嚴(yán)謹(jǐn)性，要求做到步步有據(jù)，這里所謂的“據(jù)”就是證明的出發(fā)點(diǎn)即公理，以及已證得的正確命題即定理。要在平時(shí)教學(xué)中多問“為什么”，引導(dǎo)學(xué)生暴露思維過程，教會(huì)有條理地表述問題。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到觀察和猜想是獲得結(jié)論的有效途徑，但要說明結(jié)論的正確性，必須要有憑有據(jù)，講清道理，也就是要證明。在強(qiáng)調(diào)證明必要性的同時(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的幾何推理能力。

2.3 注重知識(shí)和方法的更新，通過對比進(jìn)行優(yōu)化。學(xué)生證明方法過于保守，這就需要教師在教學(xué)中有效引導(dǎo)。一方面，我們在教授幾何概念和定理時(shí)要讓學(xué)生了解所學(xué)知識(shí)在解決問題時(shí)的作用，并有意識(shí)地通過適量的練習(xí)加以強(qiáng)化應(yīng)用，讓學(xué)生在新知識(shí)與方法的應(yīng)用上積累足夠的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；另一方面，當(dāng)同一個(gè)命題有多種證明思路時(shí)，可讓學(xué)生將多種方法進(jìn)行比較和討論，體會(huì)不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)。激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)證明的興趣，發(fā)展思維的廣闊性和靈活性。

2.4 學(xué)會(huì)方法歸納和建構(gòu)，打開證明的思路。想讓學(xué)生在面對問題時(shí)心中有“法”，首先要從證明方法的總結(jié)和歸納入手。例如，在學(xué)習(xí)了三角形中位線的性質(zhì)定理時(shí)，要逐步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：中位線性質(zhì)定理的作用是判斷兩條線段之間的位置關(guān)系(平行)和數(shù)量關(guān)系(倍半)的；并適時(shí)追問：根據(jù)現(xiàn)在所學(xué)，判斷兩直線平行都有哪些方法？判斷兩線段之間存在二倍的數(shù)量關(guān)系又有哪些方法？目的是及時(shí)將所學(xué)知識(shí)納入學(xué)生原有的知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)和方法的遷移。

其次，對于較復(fù)雜的證明題，筆者在教學(xué)中嘗試應(yīng)用畫步驟圖的方法，即先讓學(xué)生像列作文提綱那樣，把證明思路用簡單的符號(hào)和文字記下來，再進(jìn)行具體的證明過程書寫。這種方法可以讓學(xué)生用較短時(shí)間理清思路，避免由于反復(fù)修改而造成條理不清，書寫凌亂的情況。

結(jié)語

范·希爾理論指出，學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展在很大程度上取決于課程教學(xué)，并需要有教師的指導(dǎo)。因此，幾何教學(xué)中要多從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，因勢利導(dǎo)，針對問題制定切實(shí)有效的對策，這樣才能提升學(xué)生的推理能力，使得幾何證明不再成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。